圆锥曲线部分常见结论.doc

1、 1 沈阳市第三十一中学 李曙光编辑整理，希望对大家有帮助，疏漏之处请指正 椭圆常见结论 焦点的位置 焦点在 轴上x焦点在 轴上y 图形 标准方程 210xyab210yxab 范围 且y且by 顶点 、1,0aA2, 、b 、10,aA2, 、0b 轴长 短轴的长 长轴的长b 焦点 、1,0Fc2, 、10,Fc2, 焦距 221Fca 对称性 关于 轴、 轴、原点对称xy 离心率 e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁 2101cbea 1.椭圆的两焦点分别为 , 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立: (1)12FP ; (2) ; (3) ;12PF1cac221bPFa 2. 椭圆的方

2、程为 （ab0）, 左、右焦点分别为 , 是椭圆上 2xy120xy 任意一点,则有: (1) ; (2) , 2222000,axby10|PFaex ; (3) ; 20|PFaexbOPa为 原 点 2 (3) ;0cosinxayb为 参 数 3.设 P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记 ，则(1)12FP .(2) .(3)当 P 点位于短轴顶点处时, 212|cosF12|=tanPFPScyb 最大,此时 也最大;(4) （5）点 M是 21内心， 交12PFS .os2e21 于点 N，则 aM|. 4.AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB

3、的中点，则 2xyab),(0yx ，2OMABk 即 。0yaxK 5. 椭圆的方程为 （ab0） ， 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长 2112,A 轴顶点的任一点，则有 12PAK 6. 椭圆的方程为 （ab0） ， 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短 2xy12,B 轴顶点的任一点，则有 12PB 7. 椭圆的方程为 （ab0） ，过原点的直线交椭圆于 两点，P 点是椭圆 2xy ,AB 上异于 两点的任一点，则有,A2PABKa 8. 若 在椭圆 上，则（1）以 为切点的切线斜率为0(,)Pxy2xyb0(,)xy ；（2）过 的椭圆的切线方程是 .0bkay021xyab

4、 9.若 在椭圆 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切点(,)x21xyab 弦 P1P2的直线方程是 .02 10.椭圆的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2时 A1P1与1()A2(0)a A2P2交点的轨迹方程是 .2xyb 11.过椭圆上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC0(,) 有定向且 （常数）.2BCkay 3 12. 若 P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, , ，12PF21 则 .sincea 13. P 为椭圆上任一点,F 1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 ,

5、当且仅当 三点共线时，等号成立.211|2|AFPaAF,P 14.O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 .（1） ;OQ2221|OQab （2）|OP| 2+|OQ|2的最大值为 ;（3） 的最小值是 . 24baPSab 15. 已知 A、 B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 , 则0()Px . 220abx 16. 离心率 e= = 、e 2=1-ac1（b2（a 17. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度 为 ab 2 18.如图所示, ABF 2 的周长为 4a, 19. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点

6、. 20. 过椭圆 21(0)xyab左焦点的焦点弦为 AB,则 )(221xea；过右焦 点的弦 2xeAB. 21. 内接矩形最大面积： . 22. 若椭圆方程为 21(0)xyab，半焦距为 ，焦点 ，设c12,0,Fc 过 的直线 的倾斜角为 ，交椭圆于 A、B 两点，则有：1Fl ； 2211,coscosbbABFaa2cosab 若椭圆方程为 2(0)xyb，半焦距为 ，焦点 ，设12,0,Fc 4 过 的直线 的倾斜角为 ，交椭圆于 A、B 两点，则有：F l ； 22,coscosbbABFaa 2cosab 同理可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为 （a 为长半轴，b 2s

7、inABac 为短半轴，c 为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： 2cosinbxaABy 焦 点 在 轴 上焦 点 在 轴 上 23.若 AB 是过焦点 F 的弦,设 ,则,mF21ab 双曲线常见结论 焦点的位置 焦点在 轴上x焦点在 轴上y 图形 标准方程 210,xyab210,yxab 范围 或 ，yR或 ，xR 顶点 、1,0aA2, 、10,aA2, 轴长 虚轴的长 实轴的长b 焦点 、1,Fc2, 、1,Fc2, 焦距 221Fca 对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称xy 离心率 ， 越大，双曲线的开口越阔 2cbeea 5 渐近线方程 byxaayxb 1.双曲线

8、的两焦点分别为 , 是双曲线上任意一点,则有以下结论成立: (1)12FP ; (2) ;12PFa2minmincFcaP在 右 支 上1minin,c在 左 支 上 2. 双曲线的方程为 （a0 ，b 0 ）, , 是双曲线上任意一点,则有: 2xy0xy ; 22220000,bya 3.设 P 点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记 ，则(1)12FP .(2) . 212|cosbF12|=cotPFPSyb 4.AB 是双曲线 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 2xya ),(0yx ， 2OMABbk 即 。02xKay 5. 双曲线的方程为 （

9、a 0 ，b0） ， 为双曲线的实轴顶点，P 点是双曲 21y12,A 线上异于实轴顶点的任一点，则有 12PAK 6. 双曲线的方程为 （a 0 ，b0） ， 为双曲线的虚轴端点，P 点是双曲 2xy12,B 线上异于虚轴端点的任一点，则有 12PB 7. 双曲线的方程为 （a 0 ，b0） ，过原点的直线交双曲线于 两点，P 点 2xy ,AB 是双曲线上异于 两点的任一点，则有,AB2PABbKa 8. 若 在双曲线 上，则（1）以 为切点的切线斜率为0(,)Pxy2xyab0(,)xy ；（2）过 的双曲线的切线方程是 .0bka0 021xyab 6 9.若 在双曲线 外 ，则过 P

10、o 作双曲线的两条切线切点为 P1、P 2，则0(,)Pxy21xyab 切点弦 P1P2的直线方程是 .02 10. 双曲线的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、 P2时1()A2(0)a A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 .2xyab 11.过双曲线上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直0(,) 线 BC 有定向且 （常数）.2BCky 12. 离心率 e= = 、e 2=ac1b（ ） 2+ba（ ） 13. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为 , 2 14.双曲线焦点到渐近线的距离总是 .顶点到渐近线的距离为babc 15.双曲线

11、实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值 2 16. 与双曲线 （a 0 ，b0）有相同渐近线的双曲线方程可设为 21xy20xyab 17.已知双曲线的渐近线方程为 ，则双曲线方程可设为0bxay20xyab 18. 双曲线 22ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y，离心率 e. 19. 设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过 的直线 的倾斜 21b12,0,Fc1Fl 角为 ，交双曲线于 A、B 两点， 焦点在 x 轴的焦点弦长为 7 2cosabAB A,B在 同 一 支 曲 线 上在 两 支 曲 线 上 其中 a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距， 为 AB 的倾斜角。 20. 若 AB

12、 是过焦点 F 的弦,设 , ,AB 交在同支时 , ,AB 交在两,AmBFn21amnb 支时, (设 )21amnbn 21. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项 抛物线常见结论： 标准方程 2ypx02ypx02py02xpy0 范围 xxyy 顶点 0, 对称轴 轴x 轴y 焦点 ,02pF,02pF,2pF0,2pF 准线方程 xxyy 离心率 ， 越大，抛物线的开口越大1ep 焦半径 0,()Mxy02Fx02MFx02pFy02pMFy 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： H 1.设 为过抛物线 焦点的弦， ，直线 的AB2(0)ypx

13、12(,)(,)AxyB、 AB 倾斜角为 ，则 8 1. 2. 2211,;4pxy1 2,2cos1cosppAFxBFx 3. 4. ；5. ；122;sinpAB|P34OA 6. ； 21i sinAOB FpSAOBh 7.以 为直径的圆与准线相切，以 为直径的圆与 轴相切；或 y 8.焦点 对 在准线上射影的张角为F、 2； 9.如图所示，以 两点为切点引抛物线的两条切线，,AB 两条切线交于一点 M，则有：（1）M 点必在准线上； （2）设线段 AB 的中点为 N，则 ，即/x轴 ；（3） 12MyF 10. AB 的中垂线与 X 轴交于点 R，则 2ABFR 11.以 A 为

14、切点的切线斜率为 ，切线方程为1py 11ypx 12.已知抛物线方程为 ，定点 M ，直线 过点 M 交抛物2(0)ypx,0ml 线于 A，B 两点， ，则有 ；12(,),xB、 211xyp 13.已知 A，B 是抛物线 两点，且直线 AB 不垂直于 轴，则有：()y x12pKAy中中 为 线 段 中 点 纵 坐 标 14. px 2（或 py）的参数方程为 ptyx2（或 2ptyx） （ 为参数）. 15.抛物线 y2=2px(p0)内接直角三角形 OAB 的性质： 2114,4P； ABl恒过定点 )0(p； ,中点轨迹方程： )(pxy； OM，则 轨迹方程为： 22py；

15、9 2min4)(pSAOB. 16.抛物线 y2=2px(p0)，对称轴上一定点 )0,(aA，则： 当 a0时，顶点到点 A 距离最小，最小值为 ； 当 时，抛物线上有关于 x轴对称的两点到点 A 距离最小，最小值为 2pa. 17. 抛物线 y2=2px(p0)与直线 相交于 且该直线与 轴交于点ykb12,xyBy ，则有3,C13 18. 过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 的直线交该抛物线于 、 两点，自 、 两点向准线FAB 作垂线，垂足分别为 ，则 ；其逆命题：若 ，则 A、F、B 三点1,AB019019 共线。 若点 M 是准线上任一点，则 M 一些有用的结论： 若一个圆

16、 内含于另一个圆 ，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，1C2C 两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和； 在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长 轴长为已知圆的半径。 过两点的两条直线的斜率之积为一负常数 的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。两定点m 为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。（ 时，焦点在 x 轴上；当 10 时，焦点在 y 轴上）1m 将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的 倍，该圆变成椭圆； 连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨 迹为一椭圆。方椭圆的长半轴与圆的半径长相等； 两个同心

17、圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作 x 轴的垂线， 则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。 7. 斜率为 k 的直线交圆锥曲线于两点 ， 时，则1y,xA2,B = =AB2121x2k2114ka = =2k21y2k21122yyk 8. 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： nmx （ n,同时大于 0 时表 示椭圆， 0mn时表示双曲线） ； 9. 对于 y2=2px(p0) 抛物线上的点的坐标可设为 20(,)yp ，以简化计算. 10. 有心型二次曲线（圆、椭圆、双曲线）上任一弦中点与中心连线的斜率与弦所在直线 10 的斜率之积为 （对圆则是，

18、为什么？）1x 2焦 点 在 轴 上 ， e焦 点 在 y轴 上 , 直线与圆常见结论 1直线的斜率与倾斜角 倾斜角 ， 0,)； 斜率： tank(2；斜率公式： 21ykx2()x. ；0+且 ， ；2k不 存 在 022kk且 ， - 2直线方程 点斜式： 00()yx；斜截式： bxy. 两点式： 1212；截距式： 1a. 一般式： CBA， （ ,AB不全为 0） ；直线的方向向量： (,)BA或 (1,k， 法向量 (,). 3直线的平行关系与垂直关系 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注2211:bxkyl12,kb121k21,l 斜率存在0CBA1BA 且21C

19、（验证） 0BA不可写成分式 4两条直线的交点 联立方程 5两点间的距离，点到直线的距离，平行线间的距离 （1 ） 22211Pxy （2 ）点 0(,)y到直线 0ABC的距离： 20BACyxd. （3 ）两条平行线 1与 2xy的距离是 21. 6方程： ,ykxbmya中 ,kb的几何意义是什么？ 7. 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零，直线在两轴上的截距相等 直线的斜 率为 1或直线过原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点；直线在 两轴上的截距绝对值相等 直线的斜率为 1或直线过原点。 8. 直线系 已知直线 bkxy0CByAx 平行直线系 mm 垂直直

20、线系 相交直线系 0)(2211 yxCyBxA 11 9.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 .22()()xaybr （2）圆的一般方程 ( 0).0DEF24EF （3）圆的参数方程 .cosinry （4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、1212()()xy1(,)Axy ).2(,)Bxy 10.圆中有关重要结论: （1 ）切线方程： 一般方程若点(x 0 ,y0)在圆上，则( x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆2ry 上一点 xP的切线方程为 2r.(注 :该点在圆上，则切线方程只有一 条) 若点(x 0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则 1

21、)(2001Rxakyb ，联立求出 k切线方程.（注： 过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于 X 轴的直线。 ） (2) 若 P( , )是圆 外一点,由 P( , )向圆引两条切线, 切点分别为0xy22xyr0xy A,B 则直线 AB 的方程为 20 (3) 若 P( , )是圆 外一点, 由 P( , )向圆引两条切线, 切0xy2()()xaybr0xy 点分别为 A,B 则直线 AB 的方程为 200()xaybr 11. 直线与圆、圆与圆的位置关系（B） （主要掌握几何法） 点与圆的位置关系：（ d表示点到圆心的距离） Rd点在圆上；

22、 R点在圆内； Rd点在圆外. 直线与圆的位置关系：（ 表示圆心到直线的距离） 相切； 相交； 相离. 圆与圆的位置关系：（ 表示圆心距， r,表示两圆半径，且 r） r相离； d外切； 相交； d内切； 0内含. 12. 直线必过点： 含有一个参数- ，12123yaxyax 令： 22,3x必 过 点 含有两个参数- 030mnxynmxynx 令： 联立方程组求解 必过点3021xy 1,7 13. 动点 P 到两个定点 A、B 的距离“最值问题”： y xo 12 的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：PBA 的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边” ； 的最值：函数思想“转换成一

23、元二次函数，找对称轴” 。2 14. 过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为： ，2111: 0CxyDEyF 则过两圆的交点圆方程可设为：222: 0CxyDxEyF21120xyDxEyF 过两圆的交点的直线方程： （两圆的方程相减2112:l 得到的方程就是直线方程） 15. 与圆有关的计算： 直线与圆相交弦长的计算： 其中 是圆的半径， 等于圆心到直线的距2ABRdd 离 其中 是直线的斜率， 与 是直线与圆的方程联立之后得到的21ABkxk1x2 两个根（尽量少用） 过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线 圆内的最长弦是直径 16.圆的一些最值问题 圆上的点到直线的最短距离= 圆心到直线的距离减去半径 圆上的点到直线的最长距离= 圆心到直线的距离加上半径 假设 是在某个圆上的动点，则 的最值可以转化为圆上的点与该点,Pxyybxa 的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。,ab 假设 是在某个圆上的动点，则求 或 的最值可以转化为：设,xyy 或 求解；也可以用三角换元tt