正多边形和圆的计算.doc

1、圆和正多边形的有关计算(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2015凉山州期末)O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是()A.32B.11C.12D.23【解析】选A.如图所示,连接CO,过点O作OECD于点E,四边形AMNB是O的外切正方形,O切AB于点C,CFD是O的内接正三角形,设圆的外切正方形的边长为a,则CO=a2,OCE=30,CE=a2cos30=3a4,O的内接正三角形的边长为2EC=3a2,3a2a=32.2.(2015广州越秀区期末)如图,AB与O相切于点B,OA=2,OAB=30,弦BCOA,则劣弧BC的弧长是()A.2B.3C.4D.6【解析】选B

2、.连接OB,OC,AB为O的切线,ABO=90,在RtABO中,OA=2,OAB=30,OB=1,AOB=60,BCOA,OBC=AOB=60,又OB=OC,BOC为等边三角形,BOC=60,则劣弧BC的长为601180=3.3.如图,O为正五边形ABCDE的外接圆,O的半径为2,则AB的长为()A.5B.25C.35D.45【解析】选D.如图所示,O为正五边形ABCDE的外接圆,O的半径为2,AOB=3605=72,AB的长为:722180=45.【知识拓展】正n边形的有关计算(1)边长:an=2Rnsin180n.(2)周长:Pn=nan.(3)边心距:rn=Rncos180n.(4)面积

3、:Sn=12anrnn.(5)每一个内角的度数为(n-2)180n.(6)每一个外角的度数为360n.(7)中心角的度数为360n.4.如图,正方形ABCD中,分别以B,D为圆心,以正方形的边长a为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的周长为()A.aB.2aC.12aD.3a【解析】选A.四边形ABCD是正方形,B=D=90.则扇形ABC的弧长为l=90a180=12a,同理可求扇形ADC的弧长为12a,树叶形图案的周长为12a2=a.【一题多解】选A.由题意知树叶形图案的周长为以a为半径的圆周长的一半,树叶形图案的周长为122a=a.【互动探究】若求阴影部分的面积呢?提示:S

4、阴影=290a2360-12a2=-22a2.二、填空题(每小题4分,共12分)5.如图所示,正六边形ABCDEF内接于O,若O的半径为4,则阴影部分的面积等于_.【解析】正六边形的六条半径把正六边形分成六个全等的等边三角形,阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积,即为圆面积的13.阴影部分的面积为423=163.答案:163如图,在扇形OAB中,AOB=90,半径OA=6,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在AB上点D处,折痕交OA于点C,求整个阴影部分的周长和面积.【解析】连接OD,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在AB上点D处,OB=BD,OC=CD.又OD=OB,OBD

5、是等边三角形,C阴影部分=906180+AC+CD+BD=3+12.OBD是等边三角形,DBC=OBC=30.在RtOCB中,tanOBC=OCOB=OC6,OC=tan306=23.S阴影=S扇形OAB-2SOCB=9062360-26232=9-123.6.如图,在ABC中,AB=4cm,BC=2cm,ABC=30,把ABC以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C处,那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是_cm2.【解析】根据旋转的性质和全等三角形的性质可知,AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积=扇形BAA与扇形BCC的面积差,为150360(42-22)=

6、5(cm2).答案:57.(2015密云期末)如图,边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系中,顶点A与坐标原点O重合,点B在x轴上.将正方形ABCD沿x轴正方向作无滑动滚动,当点D第一次落在x轴上时,D点的坐标是_,D点经过的路径的总长度是_;当点D第2014次落在x轴上时,D点经过的路径的总长度是_.【解析】如图,正方形ABCD每滚动4次为一个周期,当点D第一次落在x轴上时,正方形ABCD滚动2次,D点的坐标是(3,0);D点经过的路径的总长度是902180+901180=2+12.每一个周期中D点经过的路径的总长度是902180+9011802=22+1,当点D第2014次落在x轴上

7、时,D点经过的路径的总长度是:201322+1+2+12=1 0072+4 0272.答案:(3,0)2+121 0072+4 0272三、解答题(共22分)8.(6分)(2015官渡期末)如图,已知O的半径为8cm,点A为半径OB延长线上一点,射线AC切O于点C,BC的长为83.求AOC的度数和线段AC的长.【解析】设AOC=n;n8180=83,解得:n=60,AOC=60.AC切O于点C,ACO=90,A=90-AOC=30,AO=2OC=16,AC=AO2-OC2=162-82=83.9.(7分)(2015南昌期末)如图,边长为4cm的等边ABC与O等高(即高与直径相等),O与BC相切

8、于点C,O与AC相交于点E.求:(1)CE的长.(2)阴影部分的面积.【解析】(1)连接OC,并过点O作OFCE于F,且ABC为等边三角形,边长为4,故高为23,即OC=3,又ACB=60,O与BC相切,OCBC,故有OCF=30,在RtOFC中,可得OF=32,FC=32,即CE=3.(2)连接OE,S阴影=S扇形OCE-SOCE=120(3)2360-12332=-334.【知识拓展】与直角三角形有关的计算公式(1)直角三角形外接圆半径等于斜边的一半(R=c2).(2)直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半(r=a+b-c2).(3)直角三角形两条直角边的乘积等于斜边与斜边上的

9、高的乘积,即12ab=12ch.10.(9分)(2015龙岩期末)如图,ABC中,AB=AC,以AB为直径的O,交BC于点D,交AC于点F,过点D作DEAC,垂足为E.(1)求证:BD=DF.(2)求证:DE为O的切线.(3)若CE=2,BAC=60,求由DC,CF与DF所围成图形的面积S.【解析】(1)连接AD.AB为O的直径,ADB=90,即ADBC.AB=AC,CAD=BAD,BD=DF,(2)连接OD.AB为O的直径,AO=BO.ADBC,AB=AC,CD=DB.OD是ABC的中位线,ODAC,DEAC,ODDE.OD是半径,DE为O的切线.(3)连接OF.AB=AC,OF=OA,BA

10、C=60,ABC,AFO都是等边三角形.AFO=C=60.OFCD.ODAC,四边形DCFO是平行四边形.OD=OF,四边形DCFO是菱形.C=FOD=60,OD=DC=CF.DEAC,DC=2CE=4=OD=CF,DE=CD2-CE2=23.S=S四边形DCFO-S扇形FOD=423-6042360=83-83.【备选习题】1.(2014内蒙古中考)如图,菱形ABCD的对角线BD,AC分别为2,23,以点B为圆心的弧与AD,DC相切,则阴影部分面积为()A.23-B.43-C.23-33D.43-33【解析】选A.如图,连接AC,BD,相交于点O,设以B为圆心的弧与AD相切于E点,连接BE,

11、则BEAD,菱形ABCD的对角线BD,AC分别为2,23,S菱形ABCD=12ACBD=12232=23,在RtAOD中,tanDAO=ODOA=13=33,DAO=30,ABC=120,DAB=2DAO=60,ABD是等边三角形,BE=OA=3,S扇形=120360(3)2=,阴影部分的面积是S菱形ABCD-S扇形=23-.2.(2014河北中考)如图,将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形,则S扇形=_cm2.【解析】由题意可知扇形的弧长为:l=4cm,所以S扇形=12lr=1242=4cm2.答案:43.(2014荆门中考)如图,在ABCD中,以点A为圆心,AB的长为半径的

12、圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延长BA与A相交于点F.若EF的长为2,则图中阴影部分的面积为_.【解析】连接AC,设A的半径为R,CD切A于点C,ACCD,即ACD=90,在ABCD中,ABCD,BAC=ACD=90,AB=AC,BAC是等腰直角三角形,B=45,ADBC,FAD=B=45,又EF的长为2,45R180=2,解得R=2,D=B=45,ACD也是等腰直角三角形,即AC=CD=R=2,CAD=45,S阴影=SACD-S扇形ACE=1222-4522360=2-2.答案:2-24.(2014抚顺中考)如图,在矩形ABCD中,E是CD边上的点,且BE=BA,以点A为圆心、AD长

13、为半径作A交AB于点M,过点B作A的切线BF,切点为F.(1)请判断直线BE与A的位置关系,并说明理由.(2)如果AB=10,BC=5,求图中阴影部分的面积.【解析】(1)过点A作AGBE,垂足为G,连接AE.四边形ABCD是矩形,ABCD,BAE=AED.又BE=BA,BAE=AEB,即BAE=AEG.AEG=AED.又AGE=ADE=90,AE=AE,AEGAED(AAS).AG=AD.直线BE与A相切.(2)连接AF,BF与BG都是A的切线,由切线长定理得,ABFABG,BAF=BAG,于是S阴影=SABF-S扇形AMF=SABG-S扇形AMG.由(1)知,AG=AD,AG=AD=BC=

14、5.在RtABG中,AG=5,AB=10,ABG=30,BAG=60.BG=ABcosABG=1032=53.S阴影=SABG-S扇形AMG=12535-6025360=2532-256.5.(2014昆明中考)如图,在ABC中,ABC=90,D是边AC上的一点,连接BD,使A=21,E是BC上的一点,以BE为直径的圆O经过点D.(1)求证:AC是O的切线.(2)若A=60,O的半径为2,求阴影部分的面积(结果保留根号和).【解析】(1)连接OD,OB=OD,则1=BDO,DOC=21=A,在RtABC中,A+C=90,即DOC+C=90ODC=90,即ODDC.AC为O的切线.(2)当A=60时,即在RtOCD中,C=30,OD=r=2.DOC=60,CD=23.SODC=12ODDC=23,S扇形=6022360=23,S阴影=SODC-S扇形=23-23.