1、 全等证明 解题方法归纳 第 1 页 共 20 页 【第 1 部分 全等基础知识归纳、小结】 1、全等三角形的定义: 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中, 互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫对应边,互相重 合的角叫对应角。 概念深入理解: (1)形状一样,大小也一样的两个三角形称为全等三角形。 (外观长的像) (2)经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。 (位置变化) 2、全等三角形的表示方法:若ABC 和ABC 是全等的,记作“ABCABC” 其中, “”读作“全等于” 。记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对 应的位置上。
2、3、全等三角形的性质: 全等是工具、手段,最终是为了得到边等或角等,从而解决某些问题。 (1)全等三角形的对应角相等、对应边相等。 (2)全等三角形的对应边上的高,中线,角平分线对应相等。 (3)全等三角形周长,面积相等。 4、寻找对应元素的方法 (1)根据对应顶点找 如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的 边是对应边。通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因 此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 (2)根据已知的对应元素寻找 图 3图 1 图 2 全等证明 解题方法归纳 第 2 页 共 20 页 全等三角形对应角所对的边是对
3、应边,两个对应角所夹的边是对应边; (3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一 个经过下列各种运动而形成的;运动一般有 3 种:平移、对称、旋转; 5、全等三角形的判定:(深入理解) 边边边(SSS ) 边角边( SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS) 斜边,直角边(HL) 注意:(容易出错) (1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等(边定全等) ; (2)不能证明两个三角形全等的是,三个角对应相等,即 AAA;有两边和其中一 角对应相等,即 SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工
4、具,同时也是移动图形位置的工具。在 平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置, 常常需要借助全等三角形的知识。 6、常见辅助线写法:(照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯) 如: 过点 A 作 BC 的平行线 AF 交 DE 于 F 过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 D 延长 AB 至 C,使 BCAC 在 AB 上截取 AC,使 ACDE 作ABC 的平分线,交 AC 于 D 取 AB 中点 C,连接 CD 交 EF 于 G 点 同一条辅助线,可以说法不一样,那么得到的条件、证明的方法也不同。 全等证明 解题方法归纳 第 3 页 共 20 页
5、 【第 2 部分 中点条件的运用】 1、还原中心对称图形(倍长中线法) 中心对称与中心对称图形知识: 把一个图形绕着某一个点旋转 180,如果它能够与 另一个图形重合,那么就说 这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。这两个图形中的 对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称的两条基本性质: (1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平 分。 (2)关于中心对称的两个图形是全等图形。 中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这 个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。 (一个图形)如:平行
6、四边形 线段本身就是中心对称图形,中点就是它的对称中心,所以遇到中点问题,依托中点借助 辅助线还原中点对称图形,可以把分散的条件集中起来(集散思想) 。 例 1、AD 是ABC 中 BC 边上的中线, 若 AB 2,AC 4,则 AD 的取值范围是 _。 例2、已知在ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,延长 BE 交 AC 于 F,AF EF,求证:AC BE。 A CB B C AO DAB C A BCDEF 全等证明 解题方法归纳 第 4 页 共 20 页 例 3、如图,D 是ABC 的边 BC 上的点,且 CD=AB,ADB= BAD,AE 是ABD 的中线。
7、求证:AC=2AE 例 4 ABC 中,AD、BE、CF 是三边对应中线。 (则 O 为重心) 求证:AD、BE 、CF 交于点 O。 (类倍长中线) ; ABOCASS 练习 1、在ABC 中,D 为 BC 边上的点,已知BAD CAD,BD CD,求证:AB AC A B CD 2、如图,已知四边形 ABCD 中,AB CD,M、N 分别为 BC、AD 中点,延长 MN 与 AB、CD 延长线交于 E、F ,求证 BEM CFM 3、如图,AB=AE,AB AE,AD=AC,ADAC,点 M 为 BC 的中点,求证:DE=2AM (基本型:同角或等角的补角相等、K 型) MDEBAC EF
8、ACDMB OFEDAB C 全等证明 解题方法归纳 第 5 页 共 20 页 2、两条平行线间线段的中点(“八字型”全等) 如图, ,C 是线段 AB 的中点,那么过点 C 的任何1l2 直线都可以和二条平行线以及 AB 构造“8 字型”全等 例 1 已知梯形 ABCD,ADBC ,点 E 是 AB 的中点,连接 DE 、CE。 求证: ABCD12DECSA梯 例 2 如图,在平行四边形 ABCD 中,AD=2AB,M 是 AD 的中点,CEAB 于点 E, CEM=40,求 DME 的大小。 (提示:直角三角形斜边中线等于斜边的一半) 例 3 已知ABD 和ACE 都是直角三角形,且 A
9、BD ACE=90,连接 DE,设 M 为 DE 的中点。求证:MB MC;设BAD CAE,固定 RtABD,让 RtACE 移至图示位置,此时 MB MC 是否成立?请证明你的结论。 l2l1CBA EADCB EMAB DC EACDMB EACDMB 全等证明 解题方法归纳 第 6 页 共 20 页 练习 1、已知:如图,梯形 ABCD 中,ADBC,ABC=90若 BD=BC,F 是 CD 的 中点,试问:BAF 与BCD 的大小关系如何?请写出你的结论并加以证明; 2、Rt ABC 中,BAC=90,M 为 BC 的中点,过 A 点作某直线 ,过 B 作 于lDl 点 D,过 C
10、作 于点 E。l (1)求证:MD=ME (2)当直线 与 CB 的延长线相交时,其它条件不变, (1)中的结论是否任然成立?l 3、如图(1) ,在正方形 ABCD 和正方形 CGEF(CGBC)中,点 B、C、G 在同一直 线上,M 是 AE 的中点, (1)探究线段 MD、MF 的位置及数量关系,并证明; (2)将图(1)中的正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转,使正方形 CGEF 的对角线 CE 恰 好与正方形 ABCD 的边 BC 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变。 (1)中得到的两 个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明。 (结合前面“8 字型”全等,仔细思考) M D
11、A EF GCB MDA E F G CB ACDF lEDMAB C lEDMAB C 全等证明 解题方法归纳 第 7 页 共 20 页 3、构造中位线 三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线性质:三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 重点区分:要把三角形的中位线与三角形的中线区分开,三角形中线是连结一顶点和它对 边的中点;而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。 (全等法)在ABC 中,D 、E 分别是 AB、AC 边的中点,证明: DEBC,DE= BC12 证明:延长 DE 至 F 点,使 DE=EF,连接 CF(倍长中线) 三角形的中位
12、线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来,将题目给 出 的分散条件集中起来(集散思想) 。注:题目中给出多个中点时,往往中点还是不够用的。 例 1 在四边形 ABCD 中,E 、F 、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。 求证:四边形 EFGH 是平行四边形。 例 2 已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,且 AC=BD,M 、N 分别是 AB、CD 的中点, MN 分别交 BD、AC 于点 E、F. 你能说出 OE 与 OF 的大小关系并加以证明吗? 练习 1、三角形 ABC 中,AD 是BAC 的角平分线,BDAD,点 D 是垂足,点 E 是
13、边 BC 的中点,如果 AB=6,AC=14,求 DE 的长。 FEDBCA HGFEAB CD FEONMAB CD EDABC 全等证明 解题方法归纳 第 8 页 共 20 页 2、AB CD,BCAD ,DEBE ,DF=EF,甲从 B 出发,沿着 BA-AD-DF 的方向运 动,乙 B 出发,沿着 BC-CE-EF 的方向运动,如果两人的速度是相同的,且同时从 B 出发,则谁先到达 F 点? 3、等腰 RtABC 与等腰 RtCDE 中,ACB=EDC=90 ,连 AE、BE,点 M 为 BE 的中点,连 DM。 (1)当 D 点在 BC 上时,求 的值DMAE (2)当CDE 绕点
14、C 顺时针旋转一个锐角时,上结论是否任然成立,试证明 A F B E DC M A C BED MA CBDE 全等证明 解题方法归纳 第 9 页 共 20 页 4、 ABC、CEF 都为等腰直角三角形,当 E、F 在 AC、BC 上,ACB=90,连 BE、 AF,点 M、N 分别为 AF、BE 的中点 (1)MN 与 AE 的数量关系 (2)将CEF 绕 C 点顺时针旋转一个锐角,MN 与 AE 的数量关系 4、与等面积相关的图形转换 在涉及三角形的面积问题时,中点提供了底边相等的条件,这里有个基本几何图形 如图,ABC 中,E 为 BC 边的中点,那么显然 ABE 和AEC 有相同的高
15、AD,底边也相等,故面积相等。 例 E、F 是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点,连 AF、CE 交于点 G,则 =AGCDBS四 边 形矩 形 DE A B C G FEA BCD MN EA C BF NME A C BF 全等证明 解题方法归纳 第 10 页 共 20 页 扩展 如图,等腰 RtACD 与 RtABC 组成一个四边形 ABCD,AC=4 ,对角线 BD 把 四边形 ABCD 分成了二部分,求 的值。ABDCS 【5、等腰三角形中的“ 三线合一” 】 “三线合一”是相当重要的结论和解题工具,它告诉我们等腰三角形与直角三角形有着 极为亲密的关系。 例 ABC 中,AB=
16、AC,BDAC 于 D,问CBD 和 BAC 的关系? 分析:CBD 和BAC 分别位于不同类型的三角形中,可以考虑转为同类三角形。 例 在ABC 中,AB=AC=5,BC=6,点 M 为 BC 中点, MNAC 于点 N,则 MN=_ 【6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】 这可以作为一个定理直接运用,关于这个定理的证明有多种方法,包括利用前面所讲 中点的一些知识。 例 如图 RtABC 中, ACD=90,CD 为斜边 AB 上的中线 N B M A C DB A C DB A C DB A C ADC B 全等证明 解题方法归纳 第 11 页 共 20 页 求证:CD= AB12
17、(1)利用垂直平分线的性质:垂直平分线上任一点到线段 的二个端点的距离相等。 取 AC 的中点 E,连接 DE。则 DEBC(中位线性质) ACB=90 BCAC ,DEAC 则 DE 是线段 AC 的垂直平分线 AD=CD (2)全等法,证法略。 例 在三角形 ABC 中,AD 是三角形的高,点 D 是垂足,点 E、F 、G 分别是 BC、AB、AC 的中点,求证:四边形 EFGD 是等腰梯形。 练习 1、在 RtABC 中,A=90,AC=AB,M、N 分别在 AC、AB 上,且 AN=BM。 O 为斜边 BC 的中点。试判断OMN 的形状,并说明理由。 2、ABC 中,A=90 ,D 是
18、 BC 的中点,DE DF。求证: 22BECF (集散思想) 3、ABC 中,AB=AC,点 D 在 BC 上,E 在 AB 上,且 BD=DE,点 P、M、N 分别为 AD、BE、BC 的中点 (1)若BAC=90 ,则 PMN=_,并证明 (2)若BAC=60 ,则 PMN=_ (3)若BAC= ,则 PMN=_ EFDCA B FDCA B GF EDAB C OCAB NM F DACBE NPME CABD NMPE CABD MPENB CAD 全等证明 解题方法归纳 第 12 页 共 20 页 【中点问题练习题】 1、假设给出如下定义:有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形
19、请解答下列问 题: (1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称; (2)如图 1,在ABC 中,AB=AC,点 D 在 BC 上,且 CD=CA,点 E、F 分别为 BC、AD 的中点,连接 EF 并延长交 AB 于点 G求证:四边形 AGEC 是等邻角四边 形; (3)如图 2,若点 D 在ABC 的内部, (2)中的其他条件不变, EF 与 CD 交于点 H,是 否存在等邻角四边形,若存在,是哪个四边形,不必证明;若不存在,请说明理由 2、已知:ABC 和ADE 都是等腰直角三角形, ABC=ADE=90,点 M 是 CE 的中 点,连接 BM (1)如图 ,点 D 在
20、 AB 上,连接 DM,并延长 DM 交 BC 于点 N,可探究得出 BD 与 BM 的数量关系为_ ,写出证明过程。 (2)如图 ,点 D 不在 AB 上, (1)中的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果 不成立,说明理由。 GF D C A EB HGF C A EBD NMCBAED M CBADE 全等证明 解题方法归纳 第 13 页 共 20 页 3、在AOB 中,AB=OB=2,COD 中,CD=OC=3, ABO=DCO连接 AD、BC ,点 M、N 、P 分别为 OA、OD 、BC 的中点 若 A、O、C 三点在同一直线上, ABO=60,则PMN 的形状是_,此时 =_ADB
21、C 4、已知:如图 ,正方形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F,连接 DF,G 为 DF 中点,连接 EG,CG (1)求证:EG=CG; (2)将图 中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45,如图 所示,取 DF 中点 G,连接 EG,CG 问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理 由 (3)将图 中BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图 所示,再连接相应的线段,问(1) 中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均要求证明) P NMDB ACO G FB C A DE GF B C A DE GF B C
22、A DE 全等证明 解题方法归纳 第 14 页 共 20 页 全等三角形综合二 知识点: 1、全等三角形的判定及性质: 2、角平分线的性质与判定: 3、常用辅助线: 例题讲解 例 1、如图,在 RtABC 中,ACB=90,CDAB 于 D,AE 平分BAC,交 CD 于 K,交 BC 于 E,F 是 BE 上一点,且 BF=CE, 求证:FKAB 例 2、如图 1,ABC 中,BAC=90,BA=AC, (1)D 为 AC 的中点,连 BD,过 A 点作 AEBD 于 E 点,交 BC 于 F 点,连 DF,求证: ADB=CDF (2)若 D,M 为 AC 上的三等分点,如图 2,连 BD
23、,过 A 作 AEBD 于点 E,交 BC 于点 F, 连 MF,判断 ADB 与CMF 的大小关系并证明 例 3、如图,在ABC 中,C=90,M 为 AB 的中点,DM AB,CD 平分ACB, 求证:MD=AM 全等证明 解题方法归纳 第 15 页 共 20 页 例 4、在ABC 中,ACB 为锐角,动点 D(异于点 B)在射线 BC 上,连接 AD,以 AD 为边在 AD 的右侧作正方形 ADEF,连接 CF (1)若 AB=AC,BAC=90 那么 如图一,当点 D 在线段 BC 上时,线段 CF 与 BD 之间的位置、大小关系是 _ (直接写出结论) 如图二,当点 D 在线段 BC
24、 的延长上时,中的结论是否仍然成立?请说明理由 (2)若 ABAC,BAC 90点 D 在线段 BC 上,那么当ACB 等于多少度时?线 段 CF 与 BD 之间的位置关系仍然成立请画出相应图形,并说明理由 例 5、如图所示,已知 A,B 为直线 l 上两点,点 C 为直线 l 上方一动点,连接 AC、BC,分别以 AC、BC 为直角边向ABC 外作等腰直角CAD 和等腰直角CBE,满足 CAD=CBE=90,过点 D 作 DD1l 于点 D1,过点 E 作 EE1l 于点 E1 (1)如图,当点 E 恰好在直线 l 上时,试说明 DD1=AB; (2)在图中,当 D,E 两点都在直线 l 的
25、上方时,试探求三条线段 DD1,EE 1,AB 之间 的数量关系,并说明理由 例 6、如图 1,已知点 A(a,0) ,点 B(0,b) ,且 a、b 满足 04ba (1)求 A、B 两点的坐标; (2)若点 C 是第一象限内一点,且 OCB=45,过点 A 作 ADOC 于点 F,求证: FA=FC; 全等证明 解题方法归纳 第 16 页 共 20 页 (3)如图 2,若点 D 的坐标为( 0,1) ,过点 A 作 AEAD ,且 AE=AD,连接 BE 交 x 轴于点 G,求 G 点的坐标 巩固: 1、如图,已知BAC=90,ADBC 于点 D,1=2,EFBC 交 AC 于点 F试说明
26、 AE=CF 2、如图,ABC 中,AD 平分BAC,DGBC 且平分 BC,DEAB 于 E,DFAC 于 F (1)说明 BE=CF 的理由; (2)如果 AB=5,AC=3 ,求 AE、BE 的长 3、如图,ABC 中,AC=2AB ,AD 平分BAC 交 BC 于 D,E 是 AD 上一点,且 EA=EC。 求证:EBAB 全等证明 解题方法归纳 第 17 页 共 20 页 4、如图,在ABC 中,ACB=90 ,P 为 AC 上一点, PQAB 于 Q,AM AB 交 BP 的延长线于 M,MNAC 于 N,AQ=MN (1)求证:AP=AM; (2)求证:PC=AN 5、如图,AB
27、C 内,BAC=60,ACB=40,P,Q 分别在 BC,CA 上,并且 AP,BQ 分别 是BAC, ABC 的平分线, 求证:BQ+AQ=AB+BP 6、将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图(1)方式摆放,其中ACB= DEB=90, A= D=30,点 E 落在 AB 上,DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F (1)求证:CF=EF; (2)若将图(1)中的DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 a,且 0a60,其他条件 不变,如图(2) 请你直接写出 AF+EF 与 DE 的大小关系:AF+EF_ DE (填“” 或“=”或“” ) (3)若将图(1)中DBE 的绕点
28、B 按顺时针方向旋转角 ,且 60180,其他 条件不变,如图(3) 请你写出此时 AF、EF 与 DE 之间的关系,并加以证明 7、如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,ABC 的三点坐标分别为 A(0,5) , B(-5,0) , C(2,0) ,BDAC 于 D 且交 y 轴于 E,连接 CE (1)求ABC 的面积; 全等证明 解题方法归纳 第 18 页 共 20 页 (2)求 的值及ACE 的面积AEO 8、如图 1,在平面直角坐标系中,点 A(4,4) ,点 B、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上, S 四边形 OBAC=16 (1)COA 的值为_ ; (2)求CAB
29、的度数; (3)如图 2,点 M、N 分别是 x 轴正半轴及射线 OA 上一点,且 OHMN 的延长线于 H,满足HON=NMO,请探究两条线段 MN、OH 之间的数量关系,并给出证明 9、在平面直角坐标系中,点 A(2,0) ,点 B(0,3)和点 C(0.2) ; (1)请写出 OB 的长度:OB=_ ; (2)如图:若点 D 在 x 轴上,且点 D 的坐标为(-3,0) ,求证:AOBCOD; (3)若点 D 在第二象限,且 AOBCOD,则这时点 D 的坐标是_ (直接写 答案) 10、已知,在ABC 中,CA=CB,CA、CB 的垂直平分线的交点 O 在 AB 上,M、N 分别 全等
30、证明 解题方法归纳 第 19 页 共 20 页 在直线 AC、BC 上,MON=A=45 (1)如图 1,若点 M、N 分别在边 AC、BC 上,求证:CN+MN=AM; (2)如图 2,若点 M 在边 AC 上,点 N 在 BC 边的延长线上,试猜想 CN、MN、AM 之 间的数量关系,请写出你的结论(不要求证明) 11、 (1)如图 1,以ABC 的边 AB、AC 为边分别向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG, 连接 EG,试判断ABC 与AEG 面积之间的关系,并说明理由 (2)园林小路,曲径通幽,如图 2 所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺 成已知中间的所有正方形的
31、面积之和是 a 平方米,内圈的所有三角形的面积之和是 b 平 方米,这条小路一共占地多少平方米 12、如图,将两个全等的直角三角形ABD、ACE 拼在一起(图 1) ABD 不动, (1)若将ACE 绕点 A 逆时针旋转,连接 DE,M 是 DE 的中点,连接 MB、MC(图 2) , 证明:MB=MC (2)若将图 1 中的 CE 向上平移, CAE 不变,连接 DE,M 是 DE 的中点,连接 MB、MC(图 3) ,判断并直接写出 MB、MC 的数量关系 (3)在(2)中,若CAE 的大小改变(图 4) ,其他条件不变,则(2)中的 MB、MC 的数量关系还成立吗?说明理由 全等证明 解
32、题方法归纳 第 20 页 共 20 页 13、如图,ABC 中,D 是 BC 的中点,过点 D 的直线 MN 交 AC 于 N,交 AC 的平行线 BM 于 M, PDMN ,交 AB 于点 P,连接 PM、PN (1)求证:BM=CN; (2)请你判断 BP+CN 与 PN 的在数量上有何关系,并说明你的理由 14、如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点A 、B 两点的坐标分别为 A(m,0) 、 B(0,n) ,且 ,点 P 从 A 出发,以每秒 1 个单位的速度沿射线0623nm AO 匀速运动,设点 P 运动时间为 t 秒 (1)求 OA、OB 的长; (2)连接 PB,若POB 的面积不大于 3 且不等于 0,求 t 的范围; (3)过 P 作直线 AB 的垂线,垂足为 D,直线 PD 与 y 轴交于点 E,在点 P 运动的过程中, 是否存在这样的点 P,使EOPAOB?若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理 由
Copyright © 2018-2021 Wenke99.com All rights reserved
工信部备案号:浙ICP备20026746号-2
公安局备案号:浙公网安备33038302330469号
本站为C2C交文档易平台,即用户上传的文档直接卖给下载用户,本站只是网络服务中间平台,所有原创文档下载所得归上传人所有,若您发现上传作品侵犯了您的权利,请立刻联系网站客服并提供证据,平台将在3个工作日内予以改正。