几种证明全等三角形添加辅助线的方法.docx

1、个性化教案 全等三角形复习课 适用学科 数学 适用年级 初中二年级 适用区域 通用 课时时长（分钟） 120 知识点 全等三角形的性质和判定方法 教学目标 熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，并学会用应用 教学重点 学会做辅助线证明三角形全等，常用的几种作辅助线的方法 教学难点 通过学习全等三角形，提高学生观察能力和分析能力 教学过程 构造全等三角形几种方法 在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论 之间的联系。现分类加以说明。 一、延长中线构造全等三角形 例 1. 如图 1，AD 是ABC 的中线，求证：ABAC2AD 。 证明：延长 AD 至 E，使 ADDE，连接

2、 CE。如图 2。 AD 是ABC 的中线，BD CD。 又12，AD DE ， ABD ECD（SAS） 。ABCE 。 在ACE 中， CEACAE ， ABAC2AD。 个性化教案 二、沿角平分线翻折构造全等三角形 例 2. 如图 3，在ABC 中，12，ABC2C。求证：AB BDAC。 证明：将ABD 沿 AD 翻折，点 B 落在 AC 上的 E 点处，即：在 AC 上截取 AE AB，连接 ED。如图 4。 12，AD AD ，ABAE， ABD AED（SAS） 。 BDED，ABC AED2C。 而AED CEDC， C EDC。所以 ECEDBD。 ACAEEC，ABBDAC

3、 。 三、作平行线构造全等三角形 例 3. 如图 5，ABC 中，AB AC。E 是 AB 上异于 A、B 的任意一点，延长 AC 到 D，使 CDBE，连接 DE 交 BC 于 F。求证： EFFD。 证明：过 E 作 EMAC 交 BC 于 M，如图 6。 则EMB ACB，MEFCDF。 ABAC，B ACB。 BEMB 。故 EM BE。 BE CD，EMCD。 个性化教案 又EFM DFC，MEFCDF， EFM DFC（AAS） 。EFFD。 四、作垂线构造全等三角形 例 4. 如图 7，在ABC 中，BAC90，ABAC。M 是 AC 边的中点。 ADBM 交 BC 于 D，交

4、BM 于 E。求证：AMB DMC。 证明：作 CFAC 交 AD 的延长线于 F。如图 8。 BAC90，AD BM， FAC ABM90BAE。 ABAC，BAMACF90， ABM CAF（ASA） 。 FAMB，AM CF。 AMCM，CFCM。 MCDFCD45，CDCD ， MCDFCD（SAS） 。所以F DMC。 AMB FDMC。 五、沿高线翻折构造全等三角形 例 5. 如图 9，在ABC 中，ADBC 于 D，BAD CAD。求证：ABAC 。 个性化教案 证明：把ADC 沿高 AD 翻折，点 C 落在线段 DB 上的 E 点处，即：在 DB 上截取 DE DC，连接 AE

5、。如图 10。 ADCADE （SAS） 。ACAE，C AED 。 AED B，CB 。从而 ABAC 。 六、绕点旋转构造全等三角形 例 6. 如图 11，正方形 ABCD 中，12，Q 在 DC 上，P 在 BC 上。求证： PAPBDQ 。 证明：将ADQ 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，使 AD 与 AB 重合，得到 ABM，即：延长 CB 到 M，使 BMDQ，连接 AM。如图 12。 ABM ADQ（SAS） 。 421，M AQD 。 ABCD，AQD BAQ13 43MAP。 M MAP。 PA PM PBBM PBDQ（因 BMDQ） 。 【课堂练习】 1、如图，已知 A

6、D=AE,AB=AC.求证：BF=FC 个性化教案 2、如图，在 ABC 中，AB=AC，延长 AB 到 D，使 BD=AB，取 AB 的中点 E，连 接 CD 和 CE.F 为 CD 中点 求证：CD=2CE 3、如图，ABC 中，C2B ，12。求证：ABACCD 4、 已知：AB=CD ，A=D，求证：B=C 个性化教案 A B C D 5、 已知：如图，CDAB 于点 D，BE AC 于点 E，BE、CD 交于点 O，且 AO 平 分BAC 求证： OBOC 6、如图，已知 C 为线段 AB 上的一点， ACM 和 CBN 都是等边三角形，AN 和 CM 相交于 F 点，BM 和 CN

7、 交于 E 点。求证： CEF 是等边三角形。 A B C M N E F 1 2 个性化教案 7、如图所示，已知 AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1） EC=BF；（2）ECBF 8、如图 10，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N 求证： ；CGAE 9、如图，在等腰 RtABC 中，C90，D 是斜边上 AB 上任一点，AECD 于 E，BFCD 交 CD 的延长线于 F，CHAB 于 H 点，交 AE 于 G 求证：BDCG AE B M C F 个性化教案 10、已知：如图，在梯形 A

8、BCD 中，ADBC，BC=DC，CF 平分 BCD，DF AB，BF 的延长线交 DC 于点 E。求证：（1）BFC DFC；（2）AD=DE F ED CBA 11、 已知：BC=DE ， B=E，C=D ，F 是 CD 中点，求证：1=2 A B C D E F 21 12、 已知：AC 平分 BAD，CEAB ，B+D=180，求证：AE=AD+BE 13、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 个性化教案 E D F CB A E D CB A BE+CF 与 EF 的大小. 补充： 常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三角形，可作底边

9、上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全 等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利 用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是 三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中 的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将 某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这 种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段 连接起来，利用三角形面积的知识解答 1、如图，ACBD，EA,EB 分别平分CAB,DBA，CD 过点 E，求证;ABAC+BD 个性化教案 2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= ，AC= ，求 AE、BE 的长.ab 3、 E D G FCB A 个性化教案