待定系数法求递推数列通项公式.doc

1、第 12 页 共 12 页 最全的待定系数法求递推数列通项 用待定系数法求递推数列通项公式初探 摘要: 本文通过用待定系数法分析求解9个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。关键词:变形 对应系数 待定 递推数列 数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根据递推公式推导出通项公式，对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点，递推公式千奇百怪，推导方法却各不相同，灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高，解题的关键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式

2、法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法。但是对比较复杂的递推公式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式进行变形，变成新的数列等差数列或等比数列。下面就分类型谈谈如何利用待定系数法求解几类数列的递推公式。一、 型（为常数，且）例题1.在数列中，,试求其通项公式。分析：显然，这不是等差或等比数列，但如果在的两边同时加上1，整理为，此时，把和看作一个整体，或者换元，令，那么，即，因此，数列或就是以2为首项，以2为公比的等比数列，或者，进一步求出。启示：在这个问题中，容易看出在左右两边加上1就构成了新的等比数列，那不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢？其实，已知，可变形为的形

3、式，然后展开括号、移项后再与相比较，利用待定系数法可得。这样，对于形如（其中为常数，且）的递推数列，先变为的形式，展开、移项，利用待定系数法有 ，即 则数列首项为等比数列 因此，形如这一类型的数列，都可以利用待定系数法来求解。 那么，若变为,是关于非零多项式时，该怎么办呢？是否也能运用待定系数法呢？二 型例题2.在数列中，,试求其通项公式。分析：按照例题1的思路，在两边既要加上某一常数同时也要加上n的倍数，才能使新的数列有一致的形式。先变为，展开比较得 进一步 则数列是的等比数列，所以 ，同样，形如的递推数列，设展开、移项、整理，比较对应系数相等，列出方程解得 即则数列是以为首项，以p为公比的

4、等比数列。于是就可以进一步求出的通项。 同理，若其中是关于n的多项式时，也可以构造新的等比数列，利用待定系数法求出其通项。比如当=时，可设 展开根据对应系数分别相等求解方程即可。 为n的三次、四次、五次等多项式时也能用同样的思路和方法进行求解。 而如果当是n的指数式，即时，递推公式又将如何变形呢？三 例题3.在数列中，,试求其通项。分析1：由于与例题1的区别在于2n是指数式，可以用上面的思路进行变形，在两边同时加上变为即 则数列是首项为3，公比为3的等比数列，则 分析2：如果将指数式先变为常数，两边同除 就回到了我们的类型一。进一步也可求出。例题4.在数列中，,试求的通项。分析：若按例题3的思

5、路2，在两边同时除以，虽然产生了、，但是又增加了，与原式并没有大的变化。所以只能运用思路1，在两边同时加上10整理 进一步 则数列是首项为15，公比为3的等比数列 即 启示：已知数列的首项，1） 当,即由例题3知，有两种思路进行变换，利用待定系数法构造首项和公比已知或可求的等比数列。思路一：在两边同时除以，将不含的项变为常数，即 为前面的类型一，再用类型一的待定系数法思想可得数列最终求解出的通项。思路二：在两边同时加上的倍数，最终能变形为对应系数相等得 ，即即 求出数列的通项，进一步求出的通项。2） 当时，即由例4可知只能在选择思路二，两边既要加的倍数，也要加常数，最终能变形为比较得x，y的方

6、程组 于是 求出数列的通项，进一步求出的通项。四：其中可以为常数、n的多项式或指数式）以=0为例。例题5.在数列中，,试求的通项。分析：这是三项之间递推数列，根据前面的思路，可以把看做常数进行处理，可变为，先求出数列的通项 然后利用累加法即可进一步求出的通项。 对于形如的递推数列，可以设展开，利用对应系数相等，列方程 于是数列就是以为首项，y为公比的等比数列，不难求出的通项进一步利用相关即可求出。 同理，当为非零多项式或者是指数式时，也可结合前面的思路进行处理。问题的关键在于先变形 然后把看做一个整体就变为了前面的类型。五：型，为正项数列例题6.在数列中，试求其通项。分析：此题和前面的几种类型

7、没有相同之处，左边是一次式，而右边是二次式，关键在于通过变形，使两边次数相同，由于，所以可联想到对数的相关性质，对两边取对数，即 就是前面的类型一了，即 变形得 对于类似的递推数列，由于两边次数不一致，又是正项数列，所以可以利用对数性质，两边同时取对数，得 然后就是前面的类型一了，就可以利用待定系数法进一步构造数列为已知首项和公比的等比数列了。求出最终就可以得出的通项。 同样，如果将中的p换为指数式时，同样可以利用相同的方法。即：两边取对数 变为类型二 即可进一步得出的通项。 以上是一些整式型的递推数列通项公式的求解，接下来再看看比较复杂的分式型递推数列。六：例题7.在数列中，试求其通项。分析

8、：这是一个分式型数列，如果去分母变为后就无法进行处理了。两边同时取倒数 就是前面的类型一了。 所以数列是首项为，公比为2的等比数列，不难求出 例题8.在数列中，试求其通项。分析：此题比例题7的区别多了常数项，两边取倒 左右两边与并不一致。但可以对照例题7的思路，取倒数之后分母会具有一致的结构，根据等式和分式的性质，我们可在两边同时加上某一常数，整理：此时如果，那么递推式左边和右边分母就一致了。解方程得因此 此时可选择其中一个递推式按照例题7的方式进行处理，这里选择，两边取倒 回到了类型一 根据类型一的方法易求出： 现在我们将两式相比： 则数列是我已知首项和公比的等比数列，进一步化简求出。 通过

9、以上两个例题可知，形如这一类型的递推数列，对学生的综合能力要求较高。1、如果右边分子缺常数项，即，那么直接对两边取倒数即可得： 此时，若，那就是我们熟悉的等差数列，若，那就是前面的类型一用待定系数法求解。2、 若，就需要先变形，使左边和右边分子结构一致。两边同时加上某一个常数() 然后令，解出的值。而另一种思路是直接设变形之后为 然后展开，根据对应项系数相等得二元方程组 求出。 两种思路都是解的一元二次方程，设其解为。 若时，那就只能利用例题7的方法，两边取倒数，部分分式整理即可转变为类型一。 最终求出。 当时，可以选择其中的一个按照上面的方式进行求解，但是此时计算量颇大，于是直接将两式相比得

10、： 所以数列是首项为，公比为的等比数列。进一步求出。七：例题9.在数列中，试求其通项。分析：本题属于分式非线性递推式，与类型五又有相似之处，所以我们可以结合类型五、六的思路，进行变换：两边同时加上某个常数，设最终变为： 与原式比较，对应系数相等，得 解方程得 即有： 对单个式子进行处理，无从下手，两式相比得 然后，两边取对数得： 则数列是首项为，公比为2的等比数列。 进一步解得 显然，按照例题9的思路，形如这一类型的参数必须满足一定的条件，所得方程应有两个不相等的实根。现在来探讨应该满足哪些条件？设，即： 所以 对应系数相等得 方程要满足设方程的两根为则有 两式相比得 两边取对数得 数列是首项

11、为，公比为的等比数列。求出的通项再整理一下就得出了的通项，问题就得以解决了。 本文主要是通过例题的分析讲解，并进行归纳总结概括而形成的，是我在平时的学习中，通过平时自己的一些积累和参考其他作者的思路，对用待定系数法求解递推数列的初步探讨和认识。例题的深度层层深入，前面的类型是后面的基础，特别是第一种类型，是学习其他几种类型的充分依据，其他的类型最终都会转变为第一种类型之后再进行求解。参考文献1李春雷 用不动点法探究递推数列的通项公式J.中学数学研究 2006.05期2用待定系数法求解递推数列的通项公式J.中学数学研究 2007.07期3例析待定系数法求解递推数列的通项公式J.中学数学研究 2009.07期