浅谈逆矩阵的求法及其应用.doc

1、本科生毕业论文（设计）册学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学班级2010级A班学生指导教师河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目浅谈逆矩阵的求法及其应用学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学班级2010级A班学生姓名学号2010011043指导教师职称教授1、论文（设计）研究目标及主要任务研究几种可逆矩阵求逆的求法，进一步了解逆矩阵的一些在实际中的应用2、论文（设计）的主要内容先介绍矩阵和逆矩阵的基础知识知识，然后是求逆矩阵的方法，最后是逆矩阵的几个应用3、论文（设计）的基础条件及研究路线矩阵是数学中的一个重要工具，矩阵及逆矩阵的相关基础知识，矩阵可逆的条件，可逆矩阵求逆

2、的方法，逆矩阵的应用4、主要参考文献【1】葛红军、阳军著矩阵方法，浙江大学出版社【2】邱森编著高等代数，武汉大学出版社【3】闫慧臻编著线性代数及其应用，科学出版社【4】邱森、朱林生编著高等代数探究性课题集，武汉大学出版社5、计划进度阶段起止日期1论文任务书，开题报告2013122201312272毕业论文初稿写作2014123020143283论文二稿写作，中期检查201433120144154进一步修改，并定稿20144202014585论文答辩20145102014516指导教师年月日教研室主任年月日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书数学与信息科学学院数学与应用数学专业2014届

3、学生姓名论文（设计）题目浅谈逆矩阵的求法及其应用指导教师专业职称教授所属教研室数学教研室研究方向代数组合与编码课题论证见附页方案设计首先介绍矩阵以及逆矩阵的相关的基础知识，再详细介绍几种求逆矩阵的方法，最后探究几个逆矩阵在数学以及实际中的应用进度计划1、论文任务书，开题报告2013122201312272、毕业论文初稿写作2014123020143283、论文二稿写作，中期检查201433120144154、进一步修改，并定稿20144202014585、论文答辩20145102014516指导教师意见指导教师签名年月日教研室意见教研室主任签名年月日课题论证（附页）矩阵是数学中的一个重要的基本

4、概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩阵列区别于行列式而发现了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。根据世界数学发展记载，矩阵概念产生于19世纪50年代，是为了解线性方程组的需要而产生的。然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。在我国的九章算术一书中已经有所描述，只

5、是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论。1850年，英国数学家西尔维斯特（SYLVESTER，18141897）在研究方程的个数与未知数的个数不相同的线性方程组是，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。1855年，英国数学家凯莱（CAYLAG，18211895）在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。1858年，凯莱在矩阵论的研究报告中定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零矩阵、单位矩阵等特殊矩阵，更重要的是在该文中他给出了矩阵相乘、矩阵可逆等概念，以及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法，证明了有

6、关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律。两个非零矩阵乘积可以为零矩阵等结论，定义了转置阵、对称阵、反对称阵等概念。1878年，德国数学家弗洛伯纽斯（FROBENIWS，18491917）在他的论文中引入了矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义，1879年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念。矩阵的理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它已经发展称为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。矩阵是从许多实际问题的计算中抽象出来的一个极其重要的数学概念，在讨论线性方程组的解的存在性与

7、解的结构时，这些解及其结构与系数矩阵和增广矩阵的性质密切相关。矩阵不仅是解方程组的强有力工具，也是线性空间中线性变换的最直接表现形式，甚至在数学的其他分支、物理学、工程科学领域、经济学及其他社会科学领域有着广泛的应用。例如在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴（逆时针旋转），将坐标X0Y逆时针旋转某角度得到新坐标，我们可以利用坐标变换公式可以用矩阵表示该坐标进行了怎样的变换，即坐标变换的矩阵。二次曲线的一般方程形式的左边可以简单地写作矩阵的形式。再有在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵，关于企业内部各部门之间的生产与分配之间的数量关系，往往可以利用矩阵进行分析。河北师范大学本科

8、生毕业论文（设计）文献综述矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩阵列区别于行列式而发现了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先

9、引进矩阵以简化记号。1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可交换性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程个特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。矩阵是从许多实际问题的计算中抽象出来的一个极其重要的数学概念，在讨论线性方程组的解的存在性与解的结构时，这些解及其结构与系数矩阵和增广矩阵的性质密切相关。矩阵不仅是解方程组的强有力工具，也是线性空间中线性变换的最直接表现形式，甚至在数学的其他分支、物理学、工程科学领域、经济学及其他社会科学领域有

10、着广泛的应用。例如在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴（逆时针旋转），将坐标X0Y逆时针旋转某角度得到新坐标，我们可以利用坐标变换公式可以用矩阵表示该坐标进行了怎样的变换，即坐标变换的矩阵。二次曲线的一般方程形式的左边可以简单地写作矩阵的形式。再有在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵，关于企业内部各部门之间的生产与分配之间的数量关系，往往可以利用矩阵进行分析。求解可逆矩阵的逆矩阵有多种方法，陈东升的线性代数与空间解析几何及其应用中详细介绍了用初等变换法求解可逆矩阵的逆矩阵。逆矩阵的应用也是多方面的，在矩阵方法一书中，作者列举了逆矩阵在实际中的几个应用，比如有逆矩阵在解矩阵方阵

11、中的应用、逆矩阵在解线性方程组中的应用、逆矩阵在信息传输中的应用等等。河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章摘自张文博线性代数（第7版）求解线性方程组或许是数学问题中最重要的问题。超过75的科学研究和工程应用中的数学问题，在某个阶段都涉及求解线性方程组。利用新的数学方法，通常可以将较为复杂的问题化为线性方程组。线性方程组广泛应用于商业、经济学、社会学、生态学、人口统计学、遗传学、电子学、工程学以及物理学等领域。一般地，如果NM的线性方程组可以化简为严格三角形式，则它将有一个唯一解，并可通过三角形方程组的回代法得到。我们可将化简的过程看成是一个N1步的算法。第一步，从矩阵的第一列所有非零元中

12、选择一个主元。包含主元的行称为主行（PIVOTALROW）。交换行（若需要）使得主行称为第一行。然后其余N1行减去主行的某个倍数，使得从第二到第N行中的第一个元为0第二步，从矩阵的第二行到第N行中选择第二列的一个非零元作为主元，将包含主元的行作为主行，消去第二列中主元下面的所有元。从第三列到第N1列重复相同的过程。注意，在第二步中，第一行和第一列的元素并不发生变化；进行第三步时，前两行以及前两列的元素保持不变，以此类推。在每一个步骤中，方程组的维数实际上有效减少1。如果能像上述方式进行消元过程，N1步之后，即可得到一个等价的严格三角形方程组。然而，上述过程中，如果在任何一步所有可能选择的主元均

13、为0，此时该过程就将在这一步停止。当这种情况发生时，可以考虑将方程化为某种特殊的梯形或者阶梯形。阶梯形的方程组将在下一节进行讨论。他们还可用于NM的方程组，其中MN。给定一线性方程组AXB，可以在其两端同乘一系列特殊矩阵，以得到一个等价的行阶梯形方程组。我们将使用的这些特殊矩阵称为初等矩阵（ELEMENTARYMATRICES）。它们将用来观察如何计算非奇异矩阵的逆矩阵，以及得到一个重要的矩阵分解。下面从考虑线性方程组两端同乘一个非奇异矩阵的作用开始。给定一个NM线性方程组AXB，可以通过再其两端同乘一个非奇异的NM矩阵M，得到它的一个等价方程组AXBMAMXB显然，任何（1）的解也将为（2）

14、的解。另一方面，如X果为（2）的解，则11MMAMMXBAXB因此，这两个方程组是等价的。为了获得一个容易求解的等价方程组，我们可以将一系列非奇异矩1KEE阵应用到方程的AXB两端，从而得到一个较为简单的方程组UXC其中1UEEAK，且1CEEKB。由于1MEEK为非奇异的，因此新的方程组和原有的方程组是等价的。然而，因为M为非奇异矩阵的乘积，故它也是非奇异的。下面将说明三个初等行运算可以用A左乘一个非奇异矩阵来实现。如果从单位矩阵I开始，只进行一次初等行运算，得到的矩阵称为初等（ELEMENTARY）矩阵。分别对应于三类初等行运算，有三类初等矩阵。类型1第1类初等矩阵由交换矩阵I的两行得到。

15、类型2第2类初等矩阵由单位矩阵I的某一行乘以一个非零常数得到。类型3第3类初等矩阵由矩阵I的某一行的倍数加到另一行得到。一般地，假设E为一NN的初等矩阵，我们可以认为E是由I经过一个行运算或一个列运算得到的。若A为一NR的矩阵，A左乘E的作用就是对A进行相应的运算，若B为一个MN的矩阵，B右乘E等价于对B进行相应的运算。数学和统计建模中的一个基本方法是，根据最小二乘（LEASTSQUARES）拟合平面上的点集。最小二乘曲线的图形通常是基本类型的函数，例如线性函数、多项式或三角多项式。由于数据可能会有测量误差或实验误差，我们不要求曲线通过所有数据点。事实上，我们需要在所有数据点处的Y值和逼近曲线

16、相应点处的Y值之间误差的平方和最小意义下的最佳曲线。最小二乘技术是由勒让德（AMLEGENDRE）和高斯（CARLFRIEDRICHGAUSS）独立地提出的。尽管有明确的证据表明，在高斯还是一个学生的时候，早于勒让德的文章九年就已经提出这种方法并使用它进行了天文计算，然而有关这个主题的第一篇文章是勒让德在1806年发表的。SEVENJLEONLINEARALGEBRAWITHAPPLICATION（SEVENTHEDITION）PROBABLYTHEMOSTIMPORTANTINMATHEMATICSISTHATOFSOLVINGASYSTEMOFLINEAREQUATIONSWELLOVER

17、75PERCENTOFALLMATHEMATICALPROBLEMSENCOUNTEREDINSCIENTIFICORINDUSTRIALAPPLICATIONSINVOLVESOLVINGALINEARSYSTEMATSOMESTAGEBYUSINGTHEMETHODSOFMODERNMATHEMATICS,ITISOFTENPOSSIBLETOTAKEASOPHISTICATEDPROBLEMANDREDUCEITTOASINGLESYSTEMOFLINEAREQUATIONSLINEARSYSTEMARISEINAPPLICATIONSTOSUCHAREASASBUSINESS,ECON

18、OMICS,SOCIOLOGY,ECOLOGY,DEMOGRAPHY,GENETICS,ELECTRONICS,ENGINEERING,ANDPHYSICSINGENERAL,IFANNNLINEARSYSTEMCANBEREDUCEDTOSTRICTLYTRIANGULARFORM,THENITWILLHAVEAUNIQUESOLUTIONTHATCANBEOBTAINEDBYPERFORMINGBACKSUBSTITUTIONONTHETRIANGULARSYSTEMWECANTHINKOFTHEREDUCTIONPROCESSASANALGORITHMINVOLVINGN1STEPATT

19、HEFIRSTSTEP,APIVOTELEMENTISCHOSENFROMAMONGTHENONZEROENTRIESINTHEFIRSTCOLUMNOFTHEMATRIXTHEROWCONTAININGTHEPIVOTELEMENTISCALLEDTHEPIVOTALROWWEINTERCHANGEROWSIFNECESSARYSOTHATTHEPIVOTALROWISTHENEWFIRSTROWMULTIPLESOFTHEPIVOTALROWARETHENSUBTRACTEDFROMEACHOFTHEREMAININGN1ROWSSOASTOOBTAIN0SINTHEFIRSTENTRIE

20、SOF2THROUGHNATTHESECONDSTEP,APIVOTELEMENTISCHOSENFROMTHENONZEROENTRIESINCOLUMN2,ROWS2THROUGHN,OFTHEMATRIXTHEROWCONTAININGTHEPIVOTISTHENINTERCHANGEDWITHTHESECONDROWOFTHEMATRIXANDISUSEDASTHENEWPIVOTALROWMULTIPLESOFTHEPIVOTALROWARETHENSUBTRACTEDFROMTHEREMAININGN2ROWSSOASTOELIMINATEALLENTRIESBELOWTHEPIV

21、OTINTHESECONDCOLUMNTHESAMEPROCEDUREISREPEATEDFORCOLUMNS3THROUGHN1NOTETHATATTHESECONDSTEPROW1ANDCOLUMN1REMAINUNCHANGED,ATTHETHIRDSTEPTHEFIRSTTWOROWSANDFIRSTTWOCOLUMNSREMAINUNCHANGED,ANDSOONATEACHSTEP,THEOVERALLDIMENSIONSOFTHESYSTEMAREEFFECTIVELYREDUCEDBY1SEEFIGURE112IFTHEELIMINATIONPROCESSCANBECARRIE

22、DOUTASDESCRIBED,WEWILLARRIVEATANEQUIVALENTSTRICTLYTRIANGULARSYSTEMAFTERN1STEPHOWEVER,THEPROCEDUREWILLBREAKDOWNIF,ATANYSTEP,ALLPOSSIBLECHOICESFORAPIVOTELEMENTAREEQUALTO0WHENTHISHAPPENS,THEALTERNATIVEISTOREDUCETHESYSTEMTOCERTAINSPECIALECHELON,ORSTAIRCASESHAPED,FORMSTHESEECHELONFORMSWILLBESTUDIEDINTHEN

23、EXTSECTIONTHEYWILLALSOBEUSEDFORMNSYSTEMS,WHEREMNGIVENALINEARSYSTEMAXB,WECANMULTIPLYBOTHSIDESBYASEQUENCEOFSPECIALMATRICESTOOBTAINANEQUIVALENTSYSTEMINROWECHELONFORMTHESPECIALMATRICESWEWILLUSEARECALLEDELEMENTARYMATRICESWEWILLUSETHEMTOSEEHOWTOCOMPUTETHEINVERSEOFANONSINGULARMATRIXANDALSOTOOBTAINANIMPORTA

24、NTMATRIXFACTORIZATIONWEBEGINBYCONSIDERINGTHEEFFECTSOFMULTIPLYINGBOTHSIDESOFALINEARSYSTEMBYANONSINGULARMATRIXGIVENANMNLINEARSYSTEMAXB,WECANOBTAINANEQUIVALENTSYSTEMBYMULTIPLYINGBOTHSIDESOFTHEEQUATIONBYANONSINGULARMNMATRIXMAXBMAMXBCLEARLY,ANYSOLUTIONOF1WILLALSOBEASOLUTIONOF2ONTHEOTHERHAND,IFXISASOLUTIO

25、NOF2,THEN11MMAMMXBAXBANDITFOLLOWSTHATTHETWOSYSTEMSAREEQUIVALENTTOTRANSFORMTHESYSTEMAXBTOASIMPLERFORMTHATISEASIERTOSOLVE,WECANAPPLYASEQUENCEOFNONSINGULARMATRICES12EETOBOTHSIDESOFTHEEQUATIONTHENEWSYSTEMWILLTHENBETHEFORMUXCWHERE1UEEAKAND1CEEKBTHETRANSFORMEDSYSTEMWILLBEEQUIVALENTTOTHEORIGINAL,PROVIDEDTH

26、AT1MEEKISNONSINGULARHOWEVER,MISNONSINGULAR,SINCEITISAPRODUCTOFNONSINGULARMATRIXWEWILLSHOWNEXTTHATANYOFTHETHREEELEMENTARYROWOPERATIONSCANBEACCOMPLISHEDBYMULTIPLYINGAONTHELEFTBYANONSINGULARMATRIXIFWESTARTWITHTHEIDENTITYMATRIXIANDTHENPERFORMEXACTLYONEELEMENTARYROWOPERATION,THERESULTINGMATRIXISCALLEDANE

27、LEMENTARYMATRIXTHEREARETHREETYPESOFELEMENTARYMATRICESCORRESPONDINGTOTHETHREETYPESOFELEMENTARYROWOPERATIONSTYPE1ANELEMENTARYMATRIXOFTYPEIISAMATRIXOBTAINEDBYINTERCHANGINGTWOROWSOFITYPE2ANELEMENTARYMATRIXOFTYPE2ISAMATRIXOBTAINEDBYMULTIPLYINGAROWOFIBYANONZEROCONSTANTTYPE3ANELEMENTARYMATRIXOFTYPE3ISAMATR

28、IXOBTAINEDFROMIBYADDINGAMULTIPLEOFONEROWTOANOTHERROWINGENERAL,SUPPOSETHATEISANNNELEMENTARYMATRIXWECANTHINKOFEASBEINGOBTAINEDFROMIBYEITHERAROWOPERATIONORACOLUMNOPERATIONIFAISANNRMATRIX,PREMULTIPLYINGABYEHASTHEEFFECTOFPERFORMINGTHATSAMEROWOPERATIONONAIFBISANMNMATRIX,POSTMULTIPLYINGBBYEISEQUIVALENTTOPE

29、RFORMINGTHATSAMECOLUMNOPERATIONONBASTANDARDTECHNIQUEINMATHEMATICALANDSTATISTICALMODELINGISTOFINDALEASTSQUARESFITTOASETOFDATEPOINTSINTHEPLANETHELEASTSQUARESCURVEISUSUALLYTHEGRAPHOFASTANDARDTYPEOFFUNCTION,SUCHASALINEARFUNCTION,APOLYNOMIAL,ORATRIGONOMETRICPOLYNOMIALSINCETHEDATAMAYINCLUDEERRORSINMEASURE

30、MENTOREXPERIMENTRELATEDINACCURACIES,WEDONOTREQUIRETHECURVETOPASSTHROUGHALLTHEDATAPOINTSINSTEAD,WEREQUIRETHECURVETOPROVIDEANOPTIMALAPPROXIMATIONINTHESENSETHATTHESUMOFSQUARESOFERRORSBETWEENTHEYVALUESOFTHEDATAPOINTSANDTHECORRESPONDINGYVALUESOFTHEAPPROXIMATINGCURVEAREMINIMIZEDTHETECHNIQUEOFLEASTSQUARESW

31、ASDEVELOPEDINDEPENDENTLYBYADRIENMARIELEGENDREANDCARLFRIEDRICHGAUSSTHEFIRSTPAPERONTHESUBJECTWASPUBLISHEDBYLEGENDREIN1806,ALTHOUGHTHEREISCLEAREVIDENCETHATGAUSSHADDISCOVEREDITASASTUDENTNINEYEARSPRIORTOLEGENDRESPAPERANDUSEDTHEMETHODTODOASTRONOMICALCALCULATIONS本科生毕业论文设计浅谈逆矩阵的求法及其应用作者姓名指导教师所在学院数学与信息科学学院专业

32、（系）数学与应用数学班级（届）2014届数学A班二一四年四月十六日目录中文摘要、关键字11基础知识211矩阵的定义及性质212逆矩阵的定义及性质413矩阵可逆的充分必要条件152求逆矩阵的方法521定义法622伴随矩阵法623初等变换法924分块矩阵法1025解方程组法143逆矩阵的应用1631在解线性方程组中的应用1632在解矩阵方程中的应用1833在加密传输中的应用2034用逆矩阵求不定积分2235在投入产出分析中的应用2536在调配问题中的应用26参考文献29英文摘要、关键字301浅谈逆矩阵的求法及其应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师作者摘要本论文主要讨论的是可逆矩阵的求法

33、及其简单的应用。本论文总共分为三个章节，第一章简单的介绍了一些相关的基础知识，包括矩阵的定义及其性质、逆矩阵的定义及其性质；第二章介绍了几种求逆矩阵的方法，详细介绍了五种求逆矩阵的方法，包括定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法，并且分别举例进行进一步解释，并且研究了适用范围，指出了针对不同的矩阵采用不同的求逆方法；第三章介绍了逆矩阵的几个应用，分两个部分进行举例，一是在数学中的应用，二是在实际生活中的应用，具体包括在解线性方程组中的应用、在解矩阵方程中的应用、在解不定积分中的应用、在加密传输中的应用、在投入产出分析中的应用、在调配问题中的应用。关键词矩阵逆矩阵伴随矩阵分块矩阵

34、初等变换21基础知识11矩阵的定义及性质111矩阵的定义定义1由MN个数IJAI12MJ12N（，；，）排成的行列的数表A11121N21222NM1M2MNAAAAAAAAA叫做M行N列矩阵，简称为MN矩阵，其中IJA表示位于第I行第J列的数，又称矩阵的元矩阵常用大写黑体字母A，B，C，或者（IJA），（IJB），（IJC），表示如果题目中需要指明矩阵的行数和列数，我们经常写坐MNA或IJMNAA（）（I1,2M，；J1,2N，），这里下标指明行序数，下标指明列序数元是实数的矩阵为实矩阵，元是复数的矩阵是复矩阵一般的矩阵除特别说明之外，都是指实矩阵如果MN，我们就称A为N阶矩阵或称为N阶方阵

35、，N阶矩阵也可以记作NA，只有一行的矩阵12NAAAA（）称为行矩阵，为了避免元素之间的混淆，一般行矩阵也可记为12NAAAA（，），同理，只有一列的矩阵12NBBBB称为列矩阵如果两个矩阵的行数和列数都相等，那么称这两个矩阵为同型矩阵如果IJAA（）和IJBB（）是同型矩阵并且这两个矩阵相对应的元素也相等，也就是IJIJAB（I1,2,MJ1,2N，；，），那么我们就称这两个矩阵相等，记作AB称只有一个元素A的矩阵为一阶矩阵，简记为A（），称所有元素都为数0的矩阵为零矩阵，简记作0。注意不同型的零矩阵是不同的N阶方阵3N100010E001叫做N阶单位矩阵，简记作E或I，容易看出，该方阵的特

36、点是从矩阵的左上角到右下角的直线（主对角线）上的元素为1，其余的元素全部是数0，即E（IJ）其中IJ1,0,IJIJ，（IJ1,2N，）112矩阵的性质性质1矩阵的加法运算具有以下运算规律（1）加法交换律ABBA；（2）加法的结合律ABCABC；（3）A00AA；其中ABC、都是MN阶矩阵性质2矩阵的数乘运算具有以下运算规律（1）KLAKLALKA；（2）KABKAKB；（3）KLAKALA；其中ABC、都是MN阶矩阵，KL、为任意实数性质3矩阵乘法运算满足的运算规律和性质（1）结合律ABCABC；（2）分配律ABCABAC，BCACBC；（3）数与乘法的结合律KABAKBKAB；（4）当AB

37、、皆为N阶方阵时，有ABAB；（5）TTTABBA；（6）RABMINRARB，；性质4矩阵乘法不满足交换律4例1已知10A00，00B10，求和解100000AB001000，001000BA100010，12逆矩阵的定义及性质121逆矩阵的定义定义2设为阶矩阵，若存在阶矩阵，使得，则称矩阵是可逆的，并且称为的逆矩阵，简称为的逆阵或的逆，记为例2设20A11，102B112则1020102ABE11101121020102BAE1110112所以ABBAE，因而说是可逆矩阵，且B是A的逆矩阵显然定义中矩阵A与B的地位是相同的，所以也可以说矩阵B可逆，而A是B的逆矩阵，并且从定义可知，可逆阵及

38、其逆矩阵都是方阵容易验证单位矩阵E是可逆矩阵，且逆矩阵就是其本身，即1EE设矩阵00C11我们可以看出，对任何二阶矩阵，乘积的第一行元素必全为零，故总有CDE，因而C可不能有逆矩阵，这说明，不是任何方阵都有逆矩阵122逆矩阵的性质性质5如果矩阵是可逆的，那么的逆矩阵是唯一的证明设B和C都是方阵A的逆矩阵，则依定义有BAEAB，ACCAE5从而，BBEBACBACECC即BC，这说明的逆矩阵只有一个性质6若A是可逆矩阵，则1A也是可逆矩阵，且11AA；性质7若A是可逆矩阵，K是不为零的数，则KA也是可逆矩阵，且111KAAK；性质8若A是可逆矩阵，则TA也是可逆矩阵，且1TT1AA；性质9若A与

39、B均是N阶可逆矩阵，则AB也是N阶可逆矩阵，且111ABBA；证明因为111111ABBAABBAAEAAAE；111111BAABBAABBEBBBE；所以AB是可逆矩阵，且111ABBA13矩阵可逆的充分必要条件1本节给出判定矩阵可逆的一些充分必要条件（1）N阶方阵A可逆的充分必要条件是A0（也即RAN）；（2）N阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为N阶单位阵；（3）N阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）对于N阶方阵A，若存在N阶方阵B使得ABE（或BAE），则A可逆，且1AB；（5）N阶方阵A可逆的充分必要条件是A

40、的N个特征值不为零；例3设11122122AAAAA，求A可逆的条件，在A可逆的条件下，求1A解A可逆11221221AAAAA0，或11211222AA，或11122122AA，当A0时，22121211111221221AA11AAAAAAAAA2求逆矩阵的方法621定义法此法要求我们对矩阵乘法运算比较熟练，对于元素比较特殊的矩阵，可以直接看出满足条件的矩阵B，只需要验证ABE和BAE中的一个成立即可例4设N阶矩阵A满足2A3A4E0，求证AA3E，可逆，并求其逆矩阵解由2A3A4E0，可得AA3E4E，即A3EAE4，故A可逆，且11AA3E4；A3E也可逆，且11A3EA4，对于元素没

41、有具体给出的抽象矩阵A，判断该矩阵可逆以及求其逆矩阵常用如下结论结论设A是N阶方阵，若存在N阶方阵B，使得ABE（或BAE），则A可逆，其1AB注对于需要证明A可逆且要求出1A的题目，利用上述结论可以将两个问题一并解决例5设方阵A满足32AA2AE0，证明A及EA均可逆，并求1A和1EA解设2EAAAABECE，展开得32AA1AABABCE0与所给等式相比较得，A11，AB2，BC1，于是，A0，C1即2EAA2EE，2AAA2EE由此可得，12AAA2E，12EAA2E该例题的方法亦可称为待定系数法22伴随矩阵法2定义3设IJNNAA，令IJA为矩阵A中元素IJA的代数余子式将这2N个数I

42、JAIJ1,2N（，）排列成一个N阶方阵，记为A，即71121N11222N21N2NNNAAAAAAAAAA称A为A的伴随矩阵，即TJIIJNNNNAAA由行列式的展开定理知，AA的第I行第J列元素为NI1J1I2J2ININIKJKK1A,AAAAAAAA0,IJIJ于是AAAAAEA，同理有AAAAAEA即AAAAAE，当A0时，有AAAAE定理1方阵A是可逆矩阵的充要条件是A0，并且11AAA证明必要性若方阵A可逆，则存在1A满足11AAAAE，所以，111AAAAAAE1，故A0，充分性若A0，用矩阵1AA右乘A，则得11AAAAAA而11121N1121N121222N1222N2

43、N1NN1NNNN22NA00AAAAAA0A0AAAAAAAAAEAAAAAAA00于是，11AAAEEAA，同理可证1AAEA，故A可逆，且11AAA8例6求矩阵121102130的逆矩阵解通过计算可以得出A70，于是A可逆，再计算出每个元素的代数余子式11A6，12A2，13A3；21A3，22A1，23A5；31A4，32A1，33A2；则111213212223313233AAA634AAAA211AAA352，故163411AA211A7352例7设，请判断A是不是可逆矩阵，如果是可逆的，求出1A解容易求得，A20，所以可逆，又11A2，21A6，31A4，12A3，22A6，32

44、A5，13A2，23A2，33A2，所以，112131122232132333AAA264AAAA365AAA222，故，1132135AA3A22111注（1）有些矩阵的阶数比较低（一般不超过3阶）或者矩阵元素的代数余子式易于计算，我们往往采用此法求其逆矩阵，但是一定要注意IJNNAA元素的位置和符号，特别是2阶方阵11122122AAAAA，其伴随矩阵是22122111AAA（2）对分开矩阵ABCD不能按上述规律求伴随矩阵利用上述定理，不但可以判断矩阵是否可逆，还可用公式求出A的逆矩阵，当A是低阶矩阵时用公式求逆矩阵是方便的，尤其当A是二阶矩阵时更简单但当阶数较高时，9求一个N阶方阵的逆矩

45、阵时，先要计算2N个N1阶行列式和一个N阶行列式，还要作2N个除法，工作量是很大的23初等变换法3这是将要介绍的最常用的求逆矩阵的方法，这个方法蕴含在下面的定理之中定理2N阶方阵A可逆充分必要条件是A可以表示成若干个初等矩阵的乘积证必要性设方阵A可逆，则AE，故经过有限次初等变换可变成，也就是存在有限个初等矩阵12RPPP，使12R1SPPPEPPA，即12R1SAPPPPP，充分性如果A可以表示成若干个初等矩阵的乘积的形式，并且由于初等矩阵是可逆的，由性质可得它们的乘积也是可逆的，于是得出，A可逆推论1若AB，都是为MN矩阵，则这两个矩阵相似的充分必要条件是存在M阶可逆矩阵P和N阶可逆矩阵Q

46、使得PAQB推论2任一可逆矩阵只用初等行（列）变换可化为单位矩阵根据推论2，我们很容易得到另外一种求逆矩阵的方法，也就是利用初等行（列）变换求可逆矩阵的逆矩阵设A是可逆矩阵，因此由推论2可知，有初等矩阵12NPPP，使12NPPPAE，将上述式子两边同时右乘1A，得到112NPPPEA，上述两个式子说明，如果用一系列初等行变换把A化成E，那么可以用跟上述变换相同的步骤可以把E变成1A对于给定的阶可逆矩阵A，将一个阶单位矩阵放在A的右边，构成一个N2N阶矩阵，即11121N21222NN1N2NNAAA100AAA010AEAAA001，对上述N2N阶矩阵进行若干次初等行变换，最后把左边的A化为单位矩阵E，此时右边的E就是1A，即1AEEA若干个初等行变换，10例8设矩阵012A114210，求逆矩阵1A解对作初等行变换12RR012100114010AE114|010012|100210001210001，3132R2RR3R114010114010012|100012|10003802000232012R3323RR1RRR2100211100211010|421010|42100232100131122因此1211A42131122注（1）有些矩阵的阶数比较高