微观经济学计算题.doc

1、第二章 需求、供给计算题1、 假设X商品的需求曲线为直线，QX=40-0.5PX,Y商品的需求曲线也为直线,X与Y的需求线在Px=8的那一点相交,在Px=8的那一点上,X的需求弹性的绝对值只有的Y的需求弹性的绝对值的一半，请根据上述条件求Y的需求函数。解:当PX=8时,QX=36,且|EX|=1/9,故|EY|=2/9,设Y商品的需求函数为QY=a-bPY, 由此可得b=1,由于36=a-8,得a=44,故Y商品的需求函数为QY=44-PY.2、 某人每周收入120元，全部花费在X和Y两种商品上，他的效用函数为U=XY，PX=2元，PY=3元。求（1）为获得最大效用，他会购买几单位X和Y？（2

2、）货币的边际效用和总效用各多少？（3）假如X的价格提高44%，Y的价格不变，为使他保持原有的效用水平，收入必须增加多少？解:（1）由U=XY，得MUX=Y，MUY=X，根据消费者均衡条件得Y/2=X/3 考虑到预算方程为2X+3Y=120 解得X=30，Y=20（2）货币的边际效用=MUX/PX=Y/PX=10 总效用TU=XY=600（3）提价后PX=2.88 新的消费者均衡条件为Y/2.88=X/3 由题意知XY=600，解得X=25，Y=24 将其代入预算方程M=2.8825+324=144元 M=144-120=24元 因此，为保持原有的效用水平，收入必须增加24元。3、证明需求曲线P

3、=a/Q上的点均为单一弹性证明：dQ/dP=-aP-2, Ed=(dQ/dP)(P/Q)=(-aP-2)(P/aP-1)=-1, 故| Ed|=1，为单一弹性。4、1986年7月某外国城市公共汽车票价从32美元提高到40美元,1986年8月的乘客为880万次,与1985年同期相比减少了12%,求需求的弧弹性.解:由题设, P1=32, P2=40, Q2=880 Q1=880/(1-12%)=880/88%=1000 于是,Ed=(Q2-Q1)/( P2-P1)(P1+P2)/(Q1+Q2)-0.57 故需求弹性约为-0.57.5、设汽油的需求价格弹性为-0.5，其价格现为每加仑1.20美元，

4、试问汽油价格上涨多少才能使其消费量减少10？解：因为（dQ/Q）（P/dP）=-0.5 要使dQ/Q=-10%，则有dP/P=1/5 dP=1.20.2=0.24 所以每加仑汽油价格要上涨0.24美元6、某电脑公司生产的芯片的需求弹性为-2，软盘驱动器的弹性为-1，如果公司将两种产品都提价2%，那么这些产品的销售将会怎样变化？解：因为芯片弹性（dQ/Q）（P/dP）=-2 所以dQ/Q=-22%=-4%因为软盘驱动器弹性（dQ/Q）（P/dP）=-1 所以dQ/Q=-12%=-2%即提价2%后，芯片销售下降4%，软盘驱动器销售下降2%。7、消费x,y两种商品的消费的效用函数为：u=xy, x,

5、y的价格均为4，消费者的收入为144，求x价格上升为9，所带来的替代效应和收入效应。解：Mux=y Muy=x 因为Mux/Px=Muy/Py 得X=y 又因为4X+4y=144 得X=y=18 购买18单位x与18 单位y，在x价格为9时需要的收入M=234 在实际收入不变时，Mux/Muy=Px/Py=y/x=9/4 且9x+4y=234得x=13，可以看出由于替代效应对X商品的购买减少5单位。再来看价格总效应，当Px=9,Py=4时，Mux=y Muy=x Y/x=9/4且 9x+4y=144得X=8 y=18 由此可见价格总效应使X商品的购买减少10单位，收入效应与替代效应各为5单位。

6、8、某消费者消费X和Y两种商品时，无差异曲线的斜率处处是Y/X，Y是商品Y的消费量，X是商品X的消费量。（1）说明对X的需求不取决于Y的价格，X的需求弹性为1；（2）PX=1，PY=3，该消费者均衡时的MRSXY为多少？（3）对X的恩格尔曲线形状如何？对X的需求收入弹性是多少？解：（1）消费者均衡时，MRSXY=Y/X=PX/PY，即PXX=PYY， 又因为PXX+PYY=M，故X=M/2PX，可见对X的需求不取决于Y的价格。 由于dX/dPX=-M/2PX2 |EX|=-(dX/dPX)(PX/X)=1 (2)已知PX=1，PY=3，消费者均衡时，MRSXY=PX/PY=1/3。 （3）因为

7、X=M/2PX，所以dX/dM=1/2PX， 若以M为纵轴，X为横轴，则恩格尔曲线是从原点出发，一条向右上方倾斜的直线，其斜率是dM/dX =2PX。 对X的需求收入弹性EM=（dX/dM）（M/X）=19、已知销售商品X的总收益（R=PQ）方程为：R=100Q-2Q2，计算当边际收益为20时的点价格弹性。解：由R=100Q-2Q2，得MR=dR/Dq=100-4Q 当MR=20时，Q=20，考虑到R=PQ=100-2Q2，得P=100-2Q=60 Ed=(dQ/dP)(P/Q)=(-1/2)(60/20)=-3/210、X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别

8、为：PX=1000-5QX，PY=1600-4QY，这两家公司现在的销售量分别为100单位X和250单位Y。（1）求X和Y当前的价格弹性；（2）假定Y降价后，使QY增加到300单位，同时导致X的销售量QX下降到75单位，试问X公司产品X的交叉价格弹性是多少？（3）假定Y公司的目标是谋求销售收入最大化，你认为它降价在经济上是否合理？解：（1）PX=1000-5QX=1000-5100=500 PY=1000-5QY=1600-4250=600 EdX=(dQX/dPX)(PX/QX)= (-1/5)(500/100)=-1 EdY=(dQY/dPY)(PY/QY)= (-1/4)(600/250

9、)=-3/5 （2）由题设，QY=300,QX=75 则 PY=1600-4QY=400 QX=-25, QY=-200 于是EXY=(QX/PY)(PY+PY)/22/(QX+QX)=5/7 (3)根据(1)得知Y公司产品在价格P=600时,需求价格弹性为-3/5,说明缺乏弹性, 这时降价会使销售收入减少,故降价不合理.第三章 消费者行为理论计算题1、某人每周花 360元买X和Y,Px=3,Py=2,效用函数为:U=2X2Y,求在均衡状态下,他如何购买效用最大?解:max:U=2X2Y S.T 360=3X+2Y构造拉格朗日函数得:W=2X2Y+(360-3X-2Y)dW/Dx=MUx-3=

10、4xy-3=0dW/Dy=MUy-2=2x2-2=0求得:4Y=3X,又360=3X+2Y,得X=80,Y=602、求最佳需求，maxU=X1+(X2-1)3/3 S.T 4X1+4X2=8(1) 如果效用函数变为U=3X1+(X2-1)3,而预算约束不变则最佳需求会改变吗？(2）如果效用函数不变，而预算约束变为2X1+2X2=4, 则最佳需求会改变吗？解：运用拉格朗日函数，L=X1+(X2-1)3/3+(8-4X1-4X2) dL/dX1=1-4=0 dL/dX2=(x2_1)2-4=0 显然，（X2-1）2=1,求得：X2=0,X1=2;或X2=2, X1=0 代入总效用函数,可将X2=2

11、, X1=0舍去,因此最佳需求为X2=0,X1=2 当U=3X1+(X2-1)3时，同理求得X1=2,X2=0,即最佳需求不变. 当预算约束变为2X1+2X2=4时,同理求得:X1=2,X2=0,最佳需求也不变.3、某人的收入为10000元，全部用于购买商品X和商品Y（各自的价格分别为50、20元），其效用函数为u=xy2。假设个人收入税率为10%，商品X的消费税率为20%。为实现效用极大化，该人对商品x、y的需求量应分别为多少？解：M=10000（1-10%）=9000 Px=50（1+20%）=60 Py=20 预算约束式：60x+20y=9000 由此可得 y=450-3x 代入u=xy

12、2的得u=9(x3-300x2+22500x） 由du/dx=9（3x2-600x+22500）=0得 x1=150 x2=50 由于x1=150时,u=0不合题义，所以该人需求量为x=50，y=300。4、所有收入用于购买x,y的一个消费者的效用函数为u=xy，收入为100，y的价格为10，当x的价格由2上升至8时，其补偿收入（为维持效用水平不变所需的最小收入）是多少？解：最初的预算约束式为2x+10y=100效用极大化条件MUx/Muy=Px/Py=2/10由此得y/x=1/5x=25,y=5,u=125价格变化后，为维持u=125效用水平，在所有组合(x,y)中所需收入为m=8x+10y

13、=8x+10125/x最小化条件（在xy=125的约束条件下）dm/dx=8-1250x-2=0解得x=12.5,y=10,m=2005、若某消费者的效用函数为U=XY4，他会把收入的多少用于商品Y上？ 解:由U=XY4，得MUX=Y4，MUY=4XY3，根据消费者均衡条件得Y4/PX=4XY3/PY，变形得：PXX=（1/4）PYY，将其代入预算方程得PYY=（4/5）M，即收入中有4/5用于购买商品Y。6、设某消费者的效用函数为U（x,y）=2lnx+(1-)lny；消费者的收入为M; x,y两商品的价格分别为PX，PY；求对于X、Y两商品的需求。解: 构造拉格朗日函数L=2lnX+(1-

14、)lnY+(M-PXX-PYY) 对X 、Y 分别求一阶偏导得2Y/(1-)X=PX/PY 代入PXX+PYY=M 得:X=2M/(3-) PX Y=(1-)M/(3-) PY7、某人的效用函数依赖于全年不劳动的闲暇天数X，和对商品Y的消费量，购买Y的支出全部来源于其劳动天数L所得的工资。假设日工资为100元，商品Y的价格为50元，问该人若想实现效用最大化（U=X2Y3），则他每年应安排多少个劳动日？解：预算约束式为50Y=100L， 即Y=2L=2（365-X）构造拉格朗日函数L= X2Y3-(Y +2X -730） 对X 、Y 分别求一阶偏导得Y =3X ，进而得X =146，Y =438

15、，L =219,即该人每年应安排219个工作日.8、消费X ，Y两种商品的消费者的效用函数为 U = X3Y2 ，两种商品的价格分别为 PX = 2 ，PY = 1 ，消费者收入为 M = 20 ，求其对 X ，Y 的需求量。解：PXX + PYY = M2X + Y = 20U = X3（20-2X）2 = 400X3 80X4 + 4X5效用极大 1200X2 -320X3 + 20X4 = 0解得X1 = 0 ，X2 = 6 ，X3 = 10X = 0或10时U = 0 ，不合题意所以X = 6 ，Y = 8 。9、令消费者的需求曲线为P=a-bQ,a,b0,并假定每单位商品征收t 单位

16、的销售税，使得他支付的价格提高到P(1+t)。证明，他的消费者剩余的损失将总是超过政府因征税提高的收益。解:设价格为P时，消费者的需求量为Q1，由P=a-bQ1,得Q1= （a-P）/b。又设价格为P(1+t)时，消费者的需求量为Q2，则Q2=a-P(1+t)/b消费者剩余的损失=0Q1(a-bQ)dQ-PQ1-0Q2(a-bQ)dQ-P(1+t)Q2=Q1Q2(a-bQ)dQ+ P(1+t)Q2-PQ1=(aQ-bQ2/2)Q1Q2+ P(1+t)Q2-PQ1政府征税而提高的收益= P(1+t)Q2-PQ1消费者剩余损失政府征税得到的收益=(aQ-bQ2/2)Q1Q2=(aQ1-bQ12/2

17、)- (aQ2-bQ22/2)=（2tP+t2P2）/2b因为b、t、P0 所以（2tP+t2P2）/2b0因此，消费者剩余的损失要超过政府征税而提高的收益。第四章 生产者行为理论计算题1、生产函数为Q=LK-0.5L2+0.08K2，现令K=10，求出APL和MPL 。解：APL=10-0.5L+8/L，MPL=K-L=10-L2、假定某大型生产企业，有三种主要产品X、Y、Z，已知它们的生产函数分别为： QX=1.6L0.4C0.4M0.1 QY=(0.4L2CM)1/2 QZ=10L+7C+M 试求这三种产品的生产规模报酬性质.解：fX(L,C,M)= 1.6(L)0.4(C)0.4(M)

18、0.1=0.9QX 产品X的规模报酬递减 fY(L,C,M)= 0.4(L)2(C)(M)1/2=2QY 产品Y的规模报酬递增 fZ(L,C,M)= 10L+7C+M=QZ 产品Z的规模报酬不变3、已知生产函数为Q=f（K，L）=10KL/（K+L），求解（1）劳动的边际产量及平均产量函数；（2）劳动边际产量的增减性。解：()劳动的边际产量MPL=dQ/dL=10K2/(K+L)2, 劳动的平均产量APL=Q/L=10K/（K+L） （b）因为MPL=10K2/(K+L)2,得： d(MPL)/dL=-10K22(K+L)/(K+L)4 =-20K2/(K+L)3(a/b)2时,(PB0.5b

19、)/a1,即第1种生产方法的产品平均成本大于第2种生产方法,故应选用第2种生产方法.12、某企业成本函数为c=x2+100，c为总成本，x为产品x的产量(1) 画出边际成本曲线和平均成本曲线(2) 若产品市场价格p=40，那么x为多少(3) 产品价格达到多少时，企业利润为正解：(1)MC=2x AC=x+100/x(2)=PX-C=40x-x2-100d/dx=40-2x=0 x=20(3)企业利润为正 即=PX-C0PC/X=X+100/X 即 p20第五章 完全竞争市场计算题1.设完全竞争市场中代表性厂商的总成本函数TC=240Q-25Q2+Q3，若该产品的市场价格是1440元，试问该厂商

20、利润最大时的产量和利润。解：均衡条件为P=MC，即240-50Q+3Q2，可得Q=30，=315002.一个完全竞争的厂商每天利润最大化的收益为5000美圆。此时，厂商的平均成本是8美圆，边际成本是10美圆，平均变动成本是5美圆。试求该厂商每天的产量和固定成本各是多少？解：根据利润最大化条件P=MR=MC，得P=10由TR=PQ=5000，得Q=TR/P=500又AC= 8 TC=ACQ=4000（元） TVC=AVCQ=5500=2500（元）TFC=TC-TVC=4000-2500=1500（元）即产量为500，固定成本为1500元。3.完全竞争产业中某厂商的成本函数为TC=q36q2+3

21、0q+40 ,假设产品的价格为66元.（1）求利润最大时的产量及利润总额;（2）若市场价格为30 元,在此价格下,厂商是否会发生亏损?如果会,最小亏损额为多少?（3）该厂商在什么情况下才会退出该产业?解：(1)根据利润最大化条件P=MR=MC 可算出q=6 =176 (2)当短期均衡时, P=MR=MC ,可得q=4,AC=q26q+30+40/q=32 可知单位产品的亏损额为2元. 因此总的亏损额为8元 (3)AVC=q26q+30 MC=3q212q+30 根据AVC=MC,求出实现最低平均可变成本时,产出q=3 代入P=AVC=q26q+30,可得p=21 即当p21时 该厂商退出该产业

22、。4.假设某完全竞争厂商生产的某产品的边际成本函数为MC=0.4Q-12, 总收益的函数为TR=20Q, 并且已知生产10件产品时总成本为100元, 求生产多少件时利润极大,其利润为多少?解:TR=PQ=20Q,可得P=20 由P=MC,得均衡产量Q=80 对MC=0.4Q-12进行积分,推出TC=0.2Q2-12Q+A,其中A为任意值 将Q=10,TC=100代入上式,得A=200,即TC=0.2Q2-12Q+200 所以=TR-TC=10805.完全竞争厂商的短期成本函数STC=0.04Q3-0.8Q2+10Q+5.试求厂商的短期供给函数.解:厂商的短期供给曲线为高于停止营业点的边际成本曲

23、线. P=MC=0.12Q2-1.6Q+10 AVC=0.04Q2-0.8Q+10 当AVC=MC时,AVC达到最低点为6 故短期供给曲线:P=0.12Q2-1.6Q+10 (P6)6.用劳动L生产x的企业生产函数为x=4L1/4，x的价格设为p，求供给价格弹性解: 设工资报酬率为w，企业利润即为 =px-wL=4pL1/4-wL 利润极大化条件为d/dL=pL-3/4-w=0 由此得L=(p/w)4/3 进而有x=4L1/4=4(p/w)1/3 该式 对p价格求导 得dx/dp=(4/3)p-2/3w-1/3 所以供给价格弹性为(dx/dp)(p/x)=(4/3)p-2/3w-1/3p/4(

24、p/w)1/3=1/37.某企业的成本函数为C=X3-6X2+15X+10.C为总成本，X为产量，产品价格为15,问：（1）对企业每单位产品征收2.28单位的产品税时，企业的产量如何变化。（2）对企业只征收10单位的定额税时，企业产量如何变化？解: (1）课税前的利润极大化条件P=MC,即15=3X2-12X+15.此时产量为4单位. 征收产品税时,厂商的供给价格是消费者需求价格减去产品税, 这样一来利润极大化条件为15-2.28=3X2-12X+15, 求解得产量为3.8单位,与征税前相比产量减少0.2单位。（2） 征收定额税相当于增加厂商的固定成本,并不对边际成本产生影响, 故而按照利润极

25、大化条件，征收定额税时产量不变。8.一个完全竞争厂商成本函数为STC=10Q2+1000，1）求他的供给曲线2）产品价格为500元，为了利润最大化，产量应该是多少？解：1）P=MC=20Q 由于最低平均可变成本为零,所以短期供给曲线可记为P=20Q2）P=MC=20Q=500 得Q=25计算题1.80年代，世界铜的供给曲线和需求曲线分别为:供给Q=-4.5+16P, 需求 Q=13.5-8P 。求铜的均衡价格和均衡产量.解:因为均衡, 所以-4.5+16P=13.5-8P，所以P=0.75，则Q=7.5。2.某竞争行业所有厂商的规模都相等，都是在产量达到500单位时达到长期平均成本的最低点4元，当用最优的企业规模生产600单位产量时，每一个企业的短期平均成本为4.5元，市场需求函数为Q=70000-5000P，供给函数为Q=40000+2500P。求：（1）市场均衡价格是多少？该行业处于短期均衡还是长期均衡？（2）当处于长期均衡时，该行业有多少厂商？解：（1） QD=70000-5000P，QS=40000+2500P 市场均衡时QD=QS70000-5000P=40000+2500P 即P=4（元）P=LAC最低点=4元 该行业处于长期均衡状态。（2） 当P=4元时，QD=QS=70000-5000*4=50000单位 而长期均衡时每家厂商的产量为500单位，故该行业厂商数