降幂公式、辅助角公式应用.doc

1、 降幂公式、辅助角公式应用 降幂公式 (cos)2=(1+cos2)/2 (sin)2=(1-cos2)/2 (tan)2=(1-cos(2)/(1+cos(2)推导公式如下 直接运用二倍角公式就是升幂，将公式 Cos2 变形后可得到降幂公式： cos2=(cos)2(sin)2=2(cos)21=1 2(sin)2 cos2=2(cos)21,(cos)2=(cos2+1)/2 cos2=12(sin)2,(sin)2=(1-cos2)/2 降幂公式 例 10、 （2008 惠州三模）已知函数 xxxf cosinsi3)(2 （I）求函数 的最小正周期； （II ）求函数 的值域. )(x

2、f ,0)(f在 解： xf cosinsi32 x2sin1co3 （I ） 2i1x 3)in(xT （II） 20431)32sin(x 所以 的值域为： )(xf 2, 点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值 域的求法。 例 11、 （2008 广东六校联考）已知向量 (cos x，sin x)， ( )，且a23b2sincox， x0， 2 （1）求 ba （2）设函数 + ，求函数 的最值及相应的 的值。xf)(ba)(xfx 解：（I）由已知条件： ， 得：20x33(cos,sini)22xxab 233(cos)(sini)xi （

3、2） 2sin32cosi xxxf x2cosi ，因为： ，所以：)1(i1sn2 01sin0x 所以，只有当： 时， ， ，或 时，xmaxf 1x)(minf 点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等 知识。 例 12、 （2008 北京文、理）已知函数 的最2()sin3si()(02fxx 小正周期为 . （）求 的值； （）求函数 f(x)在区间0， 上的取值范围.23 解：（） 1cossin2xx = 1in2 = s().62x 因为函数 f(x)的最小正周期为 ,且 0 ，所以 2 解得 =1. （）由（）得 1()sin2).6

4、f 因为 0x ，23 所以 167. 所以 1.2()x 因此 0 ，即 f(x)的取值范围为0， 1sin2332 点评：熟练掌握三角函数的降幂，由 2 倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训 练时，要注意公式的推导过程。 辅助角公式与三角函数的图像变换 例 9、 （2008 深圳福田等）已知向量 ,函数(3sin,co),(cs,o)axbx()21fxab (1)求 的最小正周期; (2)当 时, 若 求 的值()f 62x()1,fx 解：(1) . 23sincos1xx3sincos2in()6x 所以，T . (2) 由 得 ，()1,fsi26 ， ,6x7,x526

5、x3x 点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向 量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是 三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点. 例 10、 （2007 山东文）在 中，角 的对边分别为 ABC ， ， tan37bcC， ， ， （1）求 ；cosC （2）若 ，且 ，求 52BA9abc 解：（1） sintn3737oC， 又 解得 22sicos1C1c8 ， 是锐角 ta0s （2）由 ， ， 52BA5co2ab20ab 又 9b8141 22cs36caCc 点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考

6、查向量的数量积，余弦定理等内容。 例 11、 （2007 湖北）将 的图象按向量 平移，则平移后所得图象2cos36xy24，a 的解析式为（ ） 2cos234xy 2cos234xy 11 解： 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点 ， ，,Pxy, 则 ，代入到已知解析式中可得选24，a ,Pxy ,24xy 点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。 注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移 个单位，再向下平移 2 个4 单位，误选 例 12、 （2008 广东六校联考）已知向量 (cos x，sin x)，

7、( )，且a23bsincox， x0， 2 （1）求 ba （2）设函数 + ，求函数 的最值及相应的 的值。xf)(ba)(xfx 解：（I）由已知条件： ， 得：20x 22)sin3(i)cos3()sin3i,2cos3( xxxba xi （2） 2sin32cos3sin)( xxf x2cosi 3)1(1i2x 因为： ，所以：0xsi0 所以，只有当： 时， 22)(maxf ，或 时，x11in 点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数 图象，要注意 sinx 的取值范围，否则容易搞错。 降幂公式、辅助角公式题库 1.（2010 浙

8、江理） （11）函数 2()sin2)sin4fxx的最小正周期是 _ . 解析： 42sinxxf 故最小正周期为 ，本题主要考察了三角恒等变换及相关 公式，属中档题 2.（2010 浙江文） （12）函数 2()sin()4fx的最小正周期是 。 答案 2 1.（2010 湖南文）16. （本小题满分 12 分） 已知函数 2()sinifxx （I）求函数 的最小正周期。 (II) 求函数 ()fx的最大值及 ()fx取最大值时 x 的集合。 5.（2010 北京文） （15） （本小题共 13 分） 已知函数 2()cosinfxx （）求 3的值； （）求 ()fx的最大值和最小值

9、解：（） 22cosin3= 314 （） ()1)(cos)fxxx 2cs,R 因为 ox,所以，当 cs1x时 ()fx取最大值 2；当 cos0x时，()f 去最小值-1。 6.（2010 北京理） （15） （本小题共 13 分） 已知函数 (x)f2cosin4cosx。 （）求 3的值； （）求 ()f的最大值和最小值。 解：（I） 2392cosin4cos134 （II） 2()1)()fxxx = 2cs = 273(cos)3x,xR 因为 1,， 所以，当 csx时， ()fx取最大值 6；当 2cos3x时， ()fx取最小值 73 9.（2010 湖北文）16.（本

10、小题满分 12 分） 已经函数 22osin1(),()sin2.4fxgx ()函数 f的图象可由函数 的图象经过怎样变化得出？ （）求函数 ()()hxfgx的最小值，并求使用 ()hx取得最小值的 x的集合。 10.（2010 湖南理）16 （本小题满分 12 分） 已知函数 2()3sinifxx （）求函数 的最大值； （II）求函数 ()fx的零点的集合。 1.(2009 年广东卷文)函数 1)4(cos2xy是 A最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 2的偶函数 答案 A 解析 因为 2cos()1cossin4y

11、xxx为奇函数, 2T, 所以选 A. 8.（2009 安徽卷理）已知函数 ()3sic(0)fxx， ()yfx的图像与直线 2y的两 个相邻交点的距离等于 ，则 的单调递增区间是 A. 5,12kkZ B. 51,2kkZ C. 36 D. 63 答案 C 解析 ()2sin()6fx，由题设 ()fx的周期为 T， 2， 由 2kk得， ,36kkz，故选 C 9（2009 安徽卷文）设函数 ，其中 ，则导数 的取值范围是 A. B. C. D. 答案 D 解析 21(1)sin3cosxfxsin3cos2in()350,i(),(),f ，选 D 10.（2009 江西卷文）函数 (

12、13tancosfxx的最小正周期为 A 2 B 32 C D 2 答案：A 解析 由 ()1tan)cos3sini()6fxxxx可得最小正周期为 2,故选 A. 11.（2009 江西卷理）若函数 ()1ta)cosf ， 02，则 ()fx的最大值为 A1 B 2 C 3 D 3 答案：B 解析 因为 ()1tan)cosfxx= sinx=2cos()3x 当 3是，函数取得最大值为 2. 故选 B 24.（2009 年上海卷理）函数 2csiyx的最小值是_ . 答案 12 解析 ()cosin21sin(2)14fxxx，所以最小值为： 12 27.（2009 上海卷文）函数 (

13、)cof 的最小值是 。 答案 12 解析 ()cosin21sin(2)14fxxx，所以最小值为： 12 30.（2009 北京文） （本小题共 12 分）已知函数 sin()cosfx. （）求 ()fx的最小正周期； （）求 f在区间 ,62上的最大值和最小值. 解析 本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值 等基础知识，主要考查基本运算能力 解（） 2sincos2incosi2fxxxx， 函数 ()的最小正周期为 . （）由 263xx， 3sin21x， ()f在区间 ,上的最大值为 1，最小值为 . 33.(2009 山东卷理)(本小题满

14、分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ 3)+sin 2x. (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设 A,B,C 为 ABC 的三个内角，若 cosB= 1， 1()24cf，且 C 为锐角，求 sinA. 解: （1）f(x)=cos(2x+ 3)+sin 2x.= cos213cossinsin233xxxx 所以函数 f(x)的最大值为 1,最小正周期 . （2） ()cf= 13sin2C= 41, 所以 3sin2C, 因为 C 为锐角, 所以 3, 又因为在 ABC 中, cosB= , 所以 iB, 所以 132sini()sincosin236AB

15、. 34.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=20(sic2osi xxx 在 x处取最小值. （1） 求 .的值; （2） 在 ABC 中, cba,分别是角 A,B,C 的对边,已知 ,2,1ba3)(Af,求角 C 解: （1） 1os()2sinsinfxxx sincoix cosin si()x 因为函数 f(x)在 处取最小值，所以 si()1,由诱导公式知 1,因为0 ,所以 2.所以 ()ncs2fxx （2）因为 3)(Af,所以 3cosA,因为角 A 为 ABC 的内角,所以 6A.又因为,1ba 所以由正弦定理,得 siniabB,也就是

16、sin12iba, 因为 ,所以 4B或 3. 当 4时, 7612C;当 4时, 36412C. 44.（2009 重庆卷文） （本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分 ） 设函数 22()sincos)cs(0)fxxx的最小正周期为 3 （）求 的最小正周期 （）若函数 ()yg的图像是由 ()yf的图像向右平移 2个单位长度得到，求 ()ygx的 单调增区间 解：（） 2222()sincos)csincosin12cosfxxxxx2i()4 依题意得 3，故 的最小正周期为 32. （）依题意得: 5()2sin()sin(3)244gxxx 由 5234kk

17、Z 解得 7()12x 故 ()yg的单调增区间为: 7,()3412kkZ 3、 （2008 广东）已知函数 ()cos)in,fxxR，则 fx是（ ） A、最小正周期为 的奇函数 B、最小正周期为 的奇函数 C、最小正周期为 的偶函数 D、最小正周期为 2的偶函数 答案：D 解析 2221cos4()1cos)incosinsixfxxxx 4.（2008 海南、宁夏文科卷）函数 ()f的最小值和最大值分别为（ ） A. 3，1 B. 2，2 C. 3， 2D. 2， 3 解析 1sinisinfxxx 当 1sin2时， max32f，当 i时， min3f；故选； 答案：C 6.（2

18、007 广东）若函数 21()sin()fxR，则 ()fx是（ ） A最小正周期为 2的奇函数 B最小正周期为 的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的偶函数 答案 D 9.（2006年天津）已知函数 xbaxfcossin)(（ a、 b为常数， 0a， Rx）在4x 处取得最小值，则函数 )43y是（ ） A偶函数且它的图象关于点 )0,(对称 B偶函数且它的图象关于点 ),23(对称 C奇函数且它的图象关于点 2对称 D奇函数且它的图象关于点 0对称 答案 D 11.（2005 全国卷） （6）当 0x时，函数 xxf2sin8co1)(的最小值为 A.2 B. 32C.4 D. 34 答案 C 13.（广东理科卷）已知函数 ()sinco)sifxx， R，则 ()fx的最小正周期是 答案： 解析 21cos2()sinisinxfxx,所以函数的最小正周期 2T。