青海师范大学附属第二中学2015届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题 Word版含答案.doc

1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学 (第三次模拟考试 ) 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第 22 24 题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2 选择题答案使用 2B铅笔填涂 ,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择 题答案使用 0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3 请按照题号

2、在各题的答题区域 (黑色线框 )内作答 ,超出答题区域书写的答案无效。 4保持卡面清洁，不折叠，不破损。 5做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 第 I 卷 一、选择题 :本大题共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 ,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 1 设集合 06| 2 xxRxM ， 2|1| xRxN . 则 NM = A (-3， -2 B B C D 7执行如图所示的程序框图 ,则输出的结果为 A 2 B 1 C 21 D 1 8变量 X 与 Y 相对应的一组数据为（ 10， 1）， （ 11.3，

3、2），（ 11.8， 3），（ 12.5， 4），（ 13， 5） 变量 U 与 V 相对应的一组数据为（ 10， 5）， （ 11.3， 4），（ 11.8， 3），（ 12.5， 2），（ 13， 1）， 1r 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数， 2r 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数，则 A 210rr B 210rr C 210 rr D 21rr 9在 ABC 中 ,角 A、 B、 C 的对边分别是 cba ， . 若 22 3s i n 2 s i n , 2B C a b b c ,则角 A 等于 A 6 B 3 C 32 D 65 10. 一个几何体的三视图如图

4、所示 (单位： m)， 则该几何体的 表面积 为 （单位： m2） A. ）（ 2411 B. ）（ 2412 C. ）（ 2413 D. ）（ 2414 11 已知双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 的右焦点为 (2,0)F ，设 A ， B 为双曲线上关于原点对称的两点， AF 的中点为 M ， BF 的中点为 N ，若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上，直线 AB的斜 率为 377 ，则双曲线的离心率为 A. 4 B. 2 C. 5 D. 3 12已知函数 ,c oss i n3s i n)( 2 Rxxxxf ，又 ,21)( f 21)( f . 若 的最小值为

5、 43 ，则正数 的值为 A. 21 B. 31 C. 41 D. 51 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共 4 小题 ，每小题 5 分 13 已知向量 a =（ 3 ， 1）， b =（ 0， -1）， c =（ k， 3 ） .若 ba 2 与 c 共线，则 k=_. 14 若曲线 ）（ R1 xy 在点 (1,2)处的切线经过坐标原点，则 _. 15 已知 )(xf 是定义在 R 上的奇函数当 0x 时， xxxf 4)( 2 ，则不等式 xxf )( 的解集用区

6、间表示为 _. 16 如图，在三棱锥 P ABC 中， PA、 PB、 PC 两两垂直，且 PA 3， PB 2， PC 1. 设 M 是底面 ABC 内的一点，定义 f(M) (m， n， p)，其中 m、 n、 p 分别是三棱锥 M PAB、三棱锥 M PBC、三棱锥 M PCA 的 体积若 ),21()( yxMf ，且 81 yax恒成立，则正实数 a 的最小值为 _ 三、解答题 :解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 理科数学试卷 第 3 页 (共 6 页 ) 理科数学试卷 第 4 页 (共 6页 ) 17.（本小题满分 12 分） 已知等差数列 na 的首项 1 3, 0ad公 差

7、 ,其前 n 项和为 nS ,且 1 4 13,a a a 分别是等比数列nb 的第 2 项 ,第 3 项 ,第 4 项 . (I)求数列 na 与 nb 的通项公式 ; (II)证明121 1 1 1 3 .34nS S S 18 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面是边长为 32 的菱形， 且 BAD 120，且 PA 平面 ABCD， PA 2 6， M， N 分 别为 PB， PD 的中点 (1)证明： MN 平面 ABCD； (2) 过点 A 作 AQ PC，垂足为点 Q，求二面角 A MN Q 的平面角的余弦值 19 （本小题满分 12 分） 甲、乙、丙

8、三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试 ,考试分笔试和面试两部分 ,笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生 (可在高考中加分录取 ),两次考试过程相互独立 .根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析 ,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是 0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是 0.5,0.6,0.75. (1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率 ; (2)设经过两次考试后 ,能被该高校预录取的人数为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望)(XE . 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 ）（ 012222 babyax 的一 个焦点与抛物线 xy 342 的

9、焦点 F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点 F 构成正三角形 (1)求椭圆的方程； (2)若过点 (1,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 P， Q，试问在 x 轴上是否存在定点 E(m,0)，使PE QE 恒为定值？若存在，求出 E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2ln)( xxaxf (a 为实常数 ) . (1)当 4a 时 ,求函数 )(xf 在 1,e 上的最大值及相应的 x 值 ; (2)当 ex ,1 时 ,讨论方程 0xf 根的个数 . (3)若 0a ,且对任意的 12, 1,x x e ,都有 212111 xxxf

10、xf ,求实数 a 的取值范围 . 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 .答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 . 22.（本小题满分 10 分）选修 4 1；几何证明选讲 如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形， AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB CE. （ 1）证明： D E; （ 2）设 AD 不是圆 O 的直径， AD 的中点为 M， 且 MB MC，证明： ADE 为等边三角形 . 23.（本小题满分 10 分）选修 4 4: 坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原

11、点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴。已知曲线 C1 的极坐标方程为 2 2 sin( )4，曲线 C2 的极坐标方程为 sin ( 0)aa，射线, , ,4 4 2 与曲线 C1 分别交异于极点 O 的四点 A， B， C， D. （ 1）若曲线 C1 关于曲线 C2 对称，求 a 的值，并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程； （ 2）求 |OA|OC|+|OB|OD|的值 . 24.（本小题满分 10 分）选修 4-4： 坐标系与参数方程 已知函数 aaxxf 2)( (I)若不等式 6)( xf 的解集为 32 xx ，求实数 a 的值； (II)在 (I)的条件下，若存在实数

12、 n 使 )()( nfmnf 成立，求实数 m 的取值范围 理科数学试卷 第 5 页 (共 6 页 ) 理科数学试卷 第 6 页 (共 6页 ) zyxQNMPDCBA2015 届高三第三次模拟考试数学 (理科 )参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A A D D B C B C B B B 二、填空题： 13. k=1; 14. 2 ;15.x(-5,0)(5,+ );16. 1. 17. 18【解析】 (1)如图，连接 BD. M， N 分别为 PB， PD的中点， 在 PBD中， MN BD. 又 MN平面 ABCD， MN 平面

13、 ABCD. (2)如图建系： A(0,0,0)， P(0,0,2 6)， M 32 ， 32， 6 ， N( 3， 0， 6)， C( 3， 3,0) 设 Q(x， y， z)，则 C (x 3， y 3， z)， C ( 3， 3， 2 6) C C ( 3， 3， 2 6)， Q( 3 3， 3 3， 2 6) 由 A CAC 0，得 13.即： Q 2 33 ， 2， 2 63 . 对于平面 AMN：设其法向量为 n (a， b， c) A 32 ， 32， 6 ， A ( 3， 0， 6) 则 32 a32b 6c 0，3a 6c 0 a 39 ，b 13，c 618 . n 39

14、， 13， 618 . 同理对于平面 QMN，得其法向量为 v 33 ， 1， 5 66 . 记所求二面角 A MN Q 的平面角大小为 ，则 cos nv|n|v| 3333 . 所求二面角 A MN Q 的平面角的余弦值为 3333 . 19.解： （ 1）分别记 “甲、乙、丙三位同学通过笔试 ”为事件 321 , AAA ， E 表示事件 “甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试 ” 则： )()()()( 321321321 AAAPAAAPAAAPEP =0.6*0.5*0.6+0.6*0.5*0.4+0.4*0.5*0.4+0.6*0.5*0.4 =0.5 (2) “甲、乙、丙

15、三位同学各自经过两次考试后能被该校预录取 ”分别记为事件 A， B， C. 则 3.0)()()( CPBPAP 又题意，知 X 所有可能的取值 为 0， 1， 2， 3.根据事件的独立性和互斥性得 3 4 3.07.0)()()()()0( 3 CPBPAPA BCPXP 4 4 1.07.03.0)1( 213 CXP 1 8 9.07.03.0)2( 223 CXP 0 2 7.03.0)3( 3 XP 所求分布列为： X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 20. 解 (1)由题意，知抛物线的焦点为 F( 3， 0)， 所以 c a2 b2 3. 因为椭

16、圆短轴的两个端点与 F 构成正三角形， 所以 b 3 33 1. 可求得 a 2，故椭圆的方程为 x24 y2 1. (2)假设存在满足条件的点 E，当直线 l 的斜率存在时， 设其斜率为 k，则 l 的方程为 y k(x 1) 由 x24 y2 1，y k(x 1)，得 (4k2 1)x2 8k2x 4k2 4 0， 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， 所以 x1 x2 8k24k2 1， x1x24k2 44k2 1. 则 (m x1， y1)， (m x2， y2)， 所以 (m x1)(m x2) y1y2 m2 m(x1 x2) x1x2 y1y2 m2 m(x1 x2)

17、 x1x2 k2(x1 1)(x2 1) m2 8k2m4k2 14k2 44k2 1 k2(4k2 44k2 18k24k2 1 1) (4m2 8m 1)k2 (m2 4)4k2 1 (4m2 8m 1)(k2 14) (m2 4) 14(4m2 8m 1)4k2 1 14(4m2 8m 1)2m 1744k2 1 . 要使 为定值，令 2m 174 0，即 m 178 ，此时 3364. 当直线 l 的斜率不存在时，不妨取 P(1， 32 )， Q(1， 32 )， 由 E(178 ， 0)，可得 (98， 32 )， (98， 32 )，所以 8164 34 3364. 综上，存在点

18、E(178 ， 0)，使 为定值 3364. 21. 解 :(1) )0(42)( 2 xxxxf , 当 )2,1x 时 , 0)( xf . 当 ex ,2 时 , 0)( xf , 又014)1()( 2 efef ,故 4)()( 2m a x eefxf ,当 ex 时 ,取等号 (2)易知 1x ,故 ex ,1 ,方程 0xf 根的个数等价于 ex ,1 时 , 方程 xxa ln2 根的个数 . 设 xg = xxln2 , xxxx xxxxxg222ln)1ln2(ln1ln2)( 当 ex ,1 时 , 0)( xg , 函数 )(xg 递减 , 当 eex ,( 时 ,

19、 0)( xg , 函数 )(xg 递增 . 又2)( eeg , eeg 2)( ,作出 )(xgy 与直线 ay 的图像 ,由图像知 : 当 22 eae 时 ,即 eae 22 时 ,方程 0xf 有 2 个相异的根 ; 当 2ea 或 ea 2 时 ,方程 0xf 有 1 个根 ; 当 ea 2 时 ,方 程 0xf 有 0 个根 ; (3)当 0a 时 , )(xf 在 ,1 ex 时是增函数 ,又函数 xy 1 是减函数 ,不妨设 exx 211 ,则 212111 xxxfxf 等价于211211)()( xxxfxf 即11221)(1)( xxfxxf ,故原题等价于函数 x

20、xfxh 1)( 在 ,1 ex 时是减函数 , 012)( 2 xxxaxh 恒成立 ,即 221 xxa 在 ,1 ex 时恒成立 . 221 xxy 在 ,1 ex 时是减函数 221 eea 22证明：（ 1） 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， D= CBE， CB=CE， E= CBE， D= E； （ 2）设 BC 的中点为 N，连接 MN， 则由 MB=MC 知 MN BC， O 在直线 MN 上， AD 不是 O 的直径， AD 的中点为 M， OM AD， AD BC， A= CBE， CBE= E， A= E，由（ ）知， D= E， ADE 为等边三角形 23解：

21、（ 1） 1C ： 2)1()1( 22 yx ， -2 分 2C ： ay ， -4 分 因为曲线 1C 关于曲线 2C 对称， 1a ， 2C ： 1y -5 分 （ 2） )4s in (22| OA ； c o s22)2s in (22| OB sin22| OC ， )4c o s (22)43s in (22| OD -8 分 24| ODOBOCOA -10 分 24.解：（ ）由 26x a a 得 26x a a ， 6 2 6a x a a ，即 33ax ， 32a ， 1a 。 （ ）由（ ）知 2 1 1f x x ,令 n f n f n ， 则， 12 4 , 2112 1 2 1 2 4 , 2212 4 , n2nnn n n nn n 的最小值为 4，故实数 m 的取值范围是 4, 。