1、高 2019 届文科辅优讲义解析几何 1 / 5 专题五 第二讲 离心率专题 离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常 有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于 中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线） 的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量 a 与 b 或 a 与 c 的其次式 ，从而根据 （这是椭圆） （这是双曲线） ，就可以从中求出离心 21cbea21ce 率但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些 所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血
2、，其实不然，对于这类题，用 最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！ 一、求椭圆与双曲线离心率的值： （一） 、用定义求离心率问题： 1212(05 , ,1A. B. C. D. FPFP例 、 全 国 )设 椭 圆 的 两 个 焦 点 分 别 为 、 过 作 椭 圆 长 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 点若 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 则 椭 圆 的 离 心 率 是 （ ） 【强化训练】1.在 中， ， 若以 为焦点的椭圆经ABC 7cos18BAB， 过点 ，则该椭圆的离心率 Ce 2、已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为 _； 3、
3、已知长方形 ABCD，AB 4，BC3，则以 A、 B 为焦点，且过 C、 D 两点的椭圆的离 心率为 。 高 2019 届文科辅优讲义解析几何 2 / 5 4.已知 F1、F 2 是双曲线 的两焦点，以线段 F1F2 为边作正三角形)0,(12bayx MF1F2，若边 MF1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A B C D3432133 5、如图， 和 分别是双曲线 的两个焦点，1F2 21(0,)xyab 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交ABO1F 点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）2 （A） （B） （C） （D ）352531 （二）、列
4、方程求离心率问题：构造 、 的齐次式，解出ace 根据题设条件，借助 、 、 之间的关系，构造 、 的关系（特别是齐二次式） ，进abc 而得到关于 的一元方程，从而解得离心率ee 例 2、如图，在平面直角坐标系 xoy中， 12,AB为椭圆 21(0)xyab 的四 个顶点， F为其右焦点，直线 12与直线 F相交于点 T，线段 O与椭圆的交点M 恰为线段 OT的中点，则该椭圆的离心率为 . 变式：设双曲线 （a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线 21xyb 的离心率等于( ) （A） （B）2 （C） （D） 356 【点评】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率
5、的概念,以及直线与抛物线的位置关 高 2019 届文科辅优讲义解析几何 3 / 5 系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 【强化训练】1、设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双FBF 曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) （A） （B） （C） （D）23312512 2.在平面直角坐标系中，椭圆 1(ab0) 的焦距为 2c，以 O 为圆心，a 为半 x2a2 y2b2 径的圆，过点( ，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率 e= a2c 3.已知椭圆 C： （ ab0）的离心率为 ，过右焦点 F 且斜率为 k
6、（k0 ） 21xyab32 的直线于 C 相交于 A、B 两点，若 。则 k =( )FB （A）1 （B） （C） （D）2 4.已知 是椭圆 的一个焦点， 是短轴的一个端点，线段 的延长线交 于点 ，F FCD 且 ，则 的离心率为 2D ur 5. 已知双曲线 210,xyCab： 的右焦点为 F,过 且斜率为 3的直线交 于 AB、 两点，若 4FB,则 C的离心率为（ ） . m A 65 B. 7 C. 58 D. 9 二、求椭圆或双曲线的离心率范围问题：一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取 值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大 小等；
7、二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列 出不等式. 模型三：几何性质求离心率： 例 3.已知椭圆 1(a b0) 的焦点分别为 F1，F 2， x2a2 y2b2 若该椭圆上存在一点 P，使得F 1PF260，则椭圆 离心率的取值范围是 B2 B 11 F 1 y xO F2 P 高 2019 届文科辅优讲义解析几何 4 / 5 【强化训练】1.已知椭圆 1(ab0) 的焦点分别为 F1，F 2，若该椭圆上存在一点 x2a2 y2b2 P， 使得F 1PF2 60，则椭圆离心率的取值范围是 2已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若双曲 21(0,)xyab12(,
8、0)(,Fc 线上存在一点 使 ，则该双曲线的离心率的取值范围是 P21sinFc 例 4.已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭12 120MF 圆离心率的取值范围是（ ） A B C D(0,)1(0,(,),) 【强化训练】1、椭圆 的焦点为 ， ，两条准线与 轴的交点 21(0)xyab1F2x 分别为 ，若 ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）MN， 2F 02， 0， ， ， 2、已知双曲线 的左，右焦点分别为 ,点 P 在双曲线的右 21,(0,)xyabb12F 支上，且 ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：（ ）2|4|PF A B C D353273 高 2019 届文科辅优讲义解析几何 5 / 5 3、双曲线 （a0,b0）的两个焦点为 F1、 F2,若 P 为其上一点，且 21xyb |PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ） A.(1,3) B. C.(3,+ ) D.,33,
