1、初二下期末几何及解析1、以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE,连接EB、FD,交点为G(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1),EB和FD的数量关系是_;(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2),EB和FD具有怎样的数量关系?请加以证明;(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中,EGD是否发生变化?如果改变,请说明理由;如果不变,请在图3中求出EGD的度数难度一般:证全等即可(第三问,图1中就能看出是45。)解 (1)EB=FD。(2)EB=FD。证:AFB为等边三角形,AF=AB,FAB=60ADE为等边三角形,AD=AE,EAD=6
2、0,FAB+BAD=EAD+BAD即FAD=BAE,FADBAE,EB=FD(3)解:ADE为等边三角形,AED=EDA=60FADBAE,AEB=ADF设AEB为x,则ADF也为x于是有BED为(60-x),EDF为(60+x)EGD=180-BED-EDF=180-(60-x)-(60+x)=602、已知:如图,在ABCD中,点E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF(1)求证:ABEFCE;(2)若AF=AD,求证:四边形ABFC是矩形简单题证明:(1)如图1图1在ABE和FCE中,1=2, 3=4,BE=CE,ABEFCE(2)ABEFCE,AB=FCABFC,四边
3、形ABFC是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形,AD=BCAF=AD,AF=BC四边形ABFC是矩形3、已知:ABC是一张等腰直角三角形纸板,B=90,AB=BC=1(1)要在这张纸板上剪出一个正方形,使这个正方形的四个顶点都在ABC的边上小林设计出了一种剪法,如图1所示请你再设计出一种不同于图1的剪法,并在图2中画出来图4图3图2图1(2)若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪,记图1为第一次裁剪,得到1个正方形,将它的面积记为,则=_;余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪(如图3),图2得到2个新的正方形,将此次所得2个正方形的面积的和记为,则=_;在余下的4个三角形
4、中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪(如图4),得到4个新的正方形,将此次所得4个正方形的面积的和记为;按照同样的方法继续操作下去,第次裁剪得到_个新的正方形,它们的面积的和=_(题外题:把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。)本题相当于中考12题的简单题解:(1)如图2; -1分(2), -6分4、已知:如图,平面直角坐标系中,正方形ABCD的边长为4,它的顶点A在轴的正半轴上运动,顶点D在轴的正半轴上运动(点A,D都不与原点重合),顶点B,C都在第一象限,且对角线AC,BD相交于点P,连接OP(1)当OA=OD时,点D的坐标为_,POA=_;(2)当OAOD时,求证:OP平
5、分DOA;(3)设点P到y轴的距离为,则在点A,D运动的过程中,的取值范围是_(第二问:如果点P到OP“所平分的角”的两边的距离相等,即可。)(第二问的题外题:当OAOD时,求证:OP平分DOA;)解:(1)(),; 图3证明:(2)过点P作PM轴于点M,PN轴于点N(如图3)四边形ABCD是正方形, PD=PA,DPA=90 PM轴于点M,PN轴于点N,PMO=PNO=PND=90NOM=90,四边形NOMP中,NPM=90DPA=NPM1=DPANPA,2=NPMNPA,1=2 在DPN和APM中, PND =PMA,1=2,PD=PA,DPNAPM PN=PM OP平分DOA (3) -
6、5、已知:如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为(4,0),(0,3)将OCA沿直线CA翻折,得到DCA,且DA交CB于点E(1)求证:EC=EA;(2)求点E的坐标;(3)连接DB,请直接写出四边形DCAB的周长和面积(第二问,有坐标,用代数法勾股定理可得CE=AE的长)(第三问的证明:过D做DMAC于M,过B做BNCA于N,则由相似可得,DM=BN=梯形的高(能求出具体数),CM=AN(具体数)还看得DB=MN(具体数)这样即可求出周长,有可求出面积。)证明:(1)如图1OCA沿直线CA翻折得到DCA,OCADCA 1=2四边形OABC是矩形,OACB1=32=3EC
7、=EA 解:(2)设CE= AE=点A,C的坐标分别为(4,0),(0,3),OA=4,OC=3四边形OABC是矩形,CB=OA=4,AB=OC=3,B=90在RtEBA中,解得 点E的坐标为() (3), 6、已知:ABC的两条高BD,CE交于点F,点M,N分别是AF,BC的中点,连接ED,MN(1)在图1中证明MN垂直平分ED;(2)若EBD=DCE=45(如图2),判断以M,E,N,D为顶点的四边形的形状,并证明你的结论图2第一问,连接EM,EN,DM,DN,利用三角形斜边中线等于斜边一半得,ME=MD,NE=ND,所以点M、N都在线段ED的垂直平分线上。(有ADFBDC,得AF=BC,
8、(还得MDA=NDB,证直角时用),进而得菱形,再证一直角得正方形,)(1)证明:连接EM,EN,DM,DN(如图2)BD,CE是ABC的高,BDAC,CEABBDA=BDC=CEB=CEA=90 在RtAEF中,M是AF的中点,EM=AF同理,DM=AF,EN=BC,DN=BCEM=DM, EN=DN 点M,N在ED的垂直平分线上MN垂直平分ED 图3 (2)判断:四边形MEND是正方形 证明:连接EM,EN,DM,DN(如图3)EBD=DCE=45,而BDA=CDF=90,BAD=ABD=45,DFC=DCF=45AD=BD,DF=DC在ADF和BDC中, AD=BD, ADF=BDC,(
9、Rt) DF=DC,ADFBDC AF=BC,1=2由(1)知DM=AF=AM,DN=BC=BN,DM=DN,1=3,2=43=4由(1)知EM=DM,EN=DN,DM=DN=EM=EN四边形MEND是菱形 3+MDF=ADF=90,4+MDF=NDM=90四边形MEND是正方形 7、(6分)如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,联结BP、BH。(1)求证:APBBPH;(2)求证:APHCPH;(3)当AP1时,求PH的长。第一问,设EPB=EBP=m,则BPH=90
10、-m,PBC=90-m,所以BPH=PBC,又因为APB=PBC,所以,APB=BPH。第二问的题外题:将此题与北京141之东城22和平谷24 放在一起,旋转翻折共同学习;此题中用旋转把ABP绕点B顺时针旋转90不能到达目的,于是延BP翻折,翻折后的剩余部分BQH与BCH也可全等,即可到达目的,还有意外收获:证得PBH=45。第三问,代数方法的勾股定理。(1)证明:PEBE,EPBEBP,又EPHEBC90,EPHEPBEBCEBP。即BPHPBC。又四边形ABCD为正方形,ADBC,APBPBC。APBBPH。(2分)(2)证明:过B作BQPH,垂足为Q,由(1)知,APBBPH,又ABQP
11、90,BPBP,ABPQBP,APQP,BABQ。又ABBC,BCBQ。又CBQH90,BHBH,BCHBQH,CHQH,APHCPH。(4分)(3)由(2)知,APPQ1,PD3。设QHHC,则DH。在RtPDH中,即,解得,PH3.4(6分)8、(6分)如图,在ABC中,ACAB,D点在AC上,ABCD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长,与BA的延长线交于点G,若EFC60,联结GD,判断AGD的形状并证明。(也可问ADG的度数。)判断:AGD是直角三角形。证明:如图联结BD,取BD的中点H,联结HF、HE,F是AD的中点,13。同理,HE/CD,HE,2EFC。ABCD,HF
12、HE,12,3EFC。EFC60,3EFCAFG60,AGF是等边三角形。AFFGAFFD,GFFD,FGDFDG30,AGD90,即AGD是(特殊)直角三角形。(GE=BG-BE,GH是直角三角形的斜边,这样证全等。)10、阅读下列材料:小明遇到一个问题:AD是ABC的中线, 点M为BC边上任意一点(不与点D重合),过点M作一直线,使其等分ABC的面积他的做法是:如图1,连结AM,过点D作DN/AM交AC于点N,作直线MN,直线MN即为所求直线D图1MBANC 请你参考小明的做法,解决下列问题:(1)如图2,在四边形ABCD中,AE平分ABCD的面积,M为CD边上一点,过M作一直线MN,使其
13、等分四边形ABCD的面积(要求:在图2中画出直线MN,并保留作图痕迹);图3图2(2)如图3,求作过点A的直线AE,使其等分四边形ABCD的面积(要求:在图3中画出直线AE,并保留作图痕迹)(第二问,把ABC的面积接到DC的延长线上。)11、 已知:四边形ABCD是正方形,点E在CD边上,点F在AD边上,且AFDE (1)如图1,判断AE与BF有怎样的位置关系?写出你的结果,并加以证明;(2)如图2,对角线AC与BD交于点O BD、AC分别与AE、BF交于点G,点H求证:OGOH;连接OP,若AP4,OP,求AB的长 ABCDOPEF图2GHABCDEFP图1【第二问,证AOGBHO,第二问,
14、(在OB上截取BQ=AP,则APOBQO,得OP=OQ,AP=BQ,也可得OPG=OQP,又EPB=90,最终得OPQ是等腰直角三角形,可得PQ=2,从而求得PB=6,在RtAPB中由勾股定理得的值。2倍根号13.)】12、已知:如图,梯形ABCD中,ADBC,B=90,AD=,BC=,DC=,且,点M是AB边的中点(1)求证:CMDM;(2)求点M到CD边的距离(用含,的式子表示)(我认为答案的思路不是最好。本题还有这样的思路:过M做BC的平行线,交DC于Q,则可证MQ=DQ=CQ,MD平分ADC,MC平分BCD,及DMC=90,;M到CD的距离也就是RtDMC斜边的高MN,MN的平方=DN
15、乘以NC=AD乘以BC=ab,) 证明:(1)延长DM,CB交于点E(如图3)梯形ABCD中,ADBC,ADM=BEM图3点M是AB边的中点,AM=BM在ADM与BEM中,ADM=BEM, AMD=BME, AM=BM,ADMBEM AD=BE=,DM=EMCE=CB+BE=CD=,CE=CD CMDM 图4解:(2)分别作MNDC,DFBC,垂足分别为点N,F(如图4)CE=CD,DM=EM, CM平分ECD ABC= 90,即MBBC, MN=MB ADBC,ABC=90,A=90DFB=90,四边形ABFD为矩形BF= AD=,AB= DF FC= BCBF = RtDFC中,DFC=9
16、0, = DF= MN=MB=AB=DF= 即点M到CD边的距离为 13、已知:如图1,平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点A,C的坐标分别为(6,0),(0,2)点D是线段BC上的一个动点(点D与点B,C不重合),过点D作直线交折线OAB于点E(1)在点D运动的过程中,若ODE的面积为S,求S与的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(2)如图2,当点E在线段OA上时,矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形OABC,CB分别交CB,OA于点D,M,OA分别交CB,OA于点N,E探究四边形DMEN各边之间的数量关系,并对你的结论加以证明; (3)问题(2)中的四边形DMEN中,ME的长为
17、_图2图1 本题难度对于初二学生相当于25题。【好好学习第一问的解题方法,第二问由两组平行可得平行四边形,OED=O1ED(对称性质),得菱形。第三问,E在OA上时,DE的长度不变,为2倍根号5,(延x轴平移DME使D与C重合,设DM=EM=x,代数法用勾股定理可求得ME的值。】解:(1)矩形OABC中,点A,C的坐标分别为,图6 点B的坐标为若直线经过点C,则; 若直线经过点A,则;若直线经过点B,则当点E在线段OA上时,即时,(如图6) 点E在直线上,图7当时,点E的坐标为 当点E在线段BA上时,即时,(如图7) 点D,E在直线上,当时,;当时,点D的坐标为,点E的坐标为 综上可得:图8(
18、2)DM=ME=EN=ND证明:如图8四边形OABC和四边形OABC是矩形,CBOA, CBOA,即DNME,DMNE四边形DMEN是平行四边形,且NDE=DEM矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形OABC,DEM=DENNDE=DENND=NE四边形DMEN是菱形DM=ME=EN=ND -(3)答:问题(2)中的四边形DMEN中,ME的长为 2. 5 14、探究问题1 已知:如图1,三角形ABC中,点D是AB边的中点,AEBC,BFAC,垂足分别为点E,F,AE,BF交于点M,连接DE,DF若DE=DF,则的值为_ 拓展问题2 已知:如图2,三角形ABC中,CB=CA,点D是AB边的中点
19、,点M在三角形ABC的内部,且MAC=MBC,过点M分别作MEBC,MFAC,垂足分别为点E,F,连接DE,DF求证:DE=DF推广问题3 如图3,若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CBCA”,其他条件不变,试探究DE与DF之间的数量关系,并证明你的结论(第三问,取BM和AM的中点,构造全等三角形,)122某区的模拟题与此高度相似,图9问题1 的值为 1 -问题2 证明:如图9CB=CA,CAB=CBAMAC=MBC,CABMAC=CBAMBC, 即MAB=MBAMA=MBMEBC,MFAC,垂足分别为点E,F,AFM=BEM=90 在AFM与BEM中, AFM=BEM, MAF =M
20、BE, MA=MB,AFMBEM AF=BE点D是AB边的中点,BD = AD在BDE与ADF中, BD = AD, DBE =DAF, BE = AF,BDEADF DE=DF 问题3 解:DE=DF证明:分别取AM,BM的中点G,H,连接DG,FG,DH,EH(如图10)点D,G,H分别是AB,AM,BM的中点,DGBM,DHAM,且DG=BM,DH=AM四边形DHMG是平行四边形DHM =DGM,MEBC,MFAC,垂足分别为点E,F,图10AFM=BEM=90 FG=AM= AG,EH=BM= BH FG= DH,DG= EH, - GAF =GFA,HBE =HEBFGM =2FAM
21、,EHM =2EBMFAM=EBM,FGM =EHMDGM+FGM =DHM+EHM,即DGF=DHE在EHD与DGF中,EH = DG,EHD =DGF,HD = GF,EHDDGF DE=DF 16、 如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC上任意一点,DEAG于点E,BFAG于点F。(1)求证:DEBFEF;(2)若点G为CB延长线上一点,其余条件不变请你在图中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明);(3)若AB=2a,点G为BC边中点时,试探究线段EF与GF之间的数量关系,并通过计算来验证你的结论。第一问,证全等即可得AE=BF,AF=DE。第三问,各三角形相似
22、,两直角边的比是1:2,所以可得AE=BF=EF=2FG。 解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,BFAG,DEAGDA=AB,BAF+DAE=DAE+ADE=90BAF=ADE,ABFDAEBF=AE,AF=DE;DE-BF=AF-AE=EF(2)如图,DE+BF=EF(3)EF=2FG过程:AB=2a,点G为BC边中点,BG=a由勾股定理可求又ABBC,BFAC,由等积法可求由勾股定理可求,,,EF=2FG。17、如图,在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG(BEAB),连接EG并延长交DC于点M,作MNAB,垂足为点N,MN交BD于点P,设正方形ABCD的边长为1。(1)证明
23、:四边形MPBG是平行四边形;(2)设BE=x,四边形MNBG的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)如果按题设作出的四边形MPBG是菱形,求BE的长。 (图中的三角形多是等腰直角三角形,)证明:(1)ABCD、BEFG是正方形CBA=FEB=90,ABD=BEG=45,DBME。MNAB,CBAB,MNCB。四边形MPBG是平行四边形;(2)正方形BEFG,BG=BE=x。CMG=BEG=45,CG=CM=BN=1x。y=(GB+MN)BN=(1+x)(1x)= x,(0x1);(3)由四边形BGMP是菱形,则有BG=MG,即x=(1x)。解得x=2, BE=2。
24、18、将一张直角三角形纸片ABC折叠,使点A与点C重合,这时DE为折痕, CBE为等腰三角形;再继续将纸片沿CBE的对称轴EF折叠,这时得到了两个完全重合的矩形(其中一个是原直角三角形的内接矩形,另一个是拼合成的无缝隙、 无重叠的矩形),我们称这样两个矩形为“叠加矩形”请完成下列问题:(1)如图,正方形网格中的ABC能折叠成“叠加矩形”吗?如果能,请在图中画出折痕;(2)如图,在正方形网格中,以给定的BC为一边,画出一个斜ABC,使其顶点A在格点上,且ABC折成的“叠加矩形”为正方形;(3)如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形,那么它必须满足的条件是 解:(1) 2分 (说明:只需画出折
25、痕)(2)(说明:只需画出满足条件的一个三角形;答案不惟一,所画三角形的一边长与该边上的高相等即可)(3)三角形的一边长与该边上的高相等 19、考考你的推理与论证(本题6分)如图,在中,是边上的一点,是的中点,过点作的平行线交的延长线于,且,连结(1)求证:是的中点;(2)如果,试判断四边形的形状,并证明你的结论难度一般解(1)证明:AFBC,AFE=DCE.E是AD的中点,AE=DEAEF=DEC,AEFDECAF=DC.AF=BD,BD=CD.,D是BC的中点(2)四边形AFBD是矩形,AB=AC,是的中点,ADBC,即ADB=90AF=BD,AFBC,四边形AFBD是矩形20、拓广与探索
26、(本题7分)如图(1),RtABC中,ACB=90,中线BE、CD相交于点O,点F、G分别是OB、OC的中点.(1)求证:四边形DFGE是平行四边形;(2)如果把RtABC变为任意ABC,如图(2),通过你的观察,第(1)问的结论是否仍然成立?(不用证明);(3)在图(2)中,试想:如果拖动点A,通过你的观察和探究,在什么条件下?四边形DFGE是矩形,并给出证明;(4)在第(3)问中,试想:如果拖动点A,是否存在四边形DFGE是正方形或菱形?如果存在,画出相应的图形(不用证明)(图1) (图2)(第三问,AB=AC时。第四问,AB=AC,且底边上的高是BC的3/2倍时是正方形。保持这种高与边的
27、比,但是,ABAC时是菱形。)21、如图,点A(0,4),点B(3,0),点P为线段AB上的一个动点,作轴于点M,作轴于点N,连接MN,当点P运动到什么位置时,MN的值最小?最小值是多少?求出此时PN的长.(MN=OP,所以OPAB时,MN也就是OP最小,OP=12/5.)初三相似形22、如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=AD=DC=4, ,于点E,F是CD的中点,连接EF(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;(2)点G是BC边上的一个动点,当点G在什么位置时,四边形DEGF是矩形?并求出这个矩形的周长;(3)在BC边上能否找到另外一点,使四边形DEF的周长与(2)中矩形DEGF的周长
28、相等?请简述你的理由.(第二问,点G为BC中点时,也是AE的延长线与BC的交点。第三问,能找到。以EF为一边在EF的下方做G1EFGFE,G1在BC上,但是不与G重合,)23、 (9分)在梯形中,且,。对角线和相交于点,等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点上,使三角板绕点旋转。(1)如图9-1,当三角板旋转到点落在边上时,线段与的位置关系是 ,数量关系是 ;(2)继续旋转三角板,旋转角为,请你在图9-2中画出图形,并判断(1)中结论还成立吗?如果成立请加以证明;如果不成立,请说明理由;【】(3)如图9-3,当三角板的一边与梯形对角线重合时,与相交于点P,若,求的长。 图9-1 图9-2 图9
29、-3(第三问,证明两次相似,推导比例关系。)多看看 解:(1)垂直,相等;2分(2)画图如图(答案不唯一)(1)中结论仍成立。证明如下:过A作于M,则四边形ABCM为矩形。AM=BC=2,MC=AB=1。,。DC=BC。, ,。又,线段和相等并且互相垂直。(3),。同理可求得。,。由(2)知,。又,。初三相似形 24、(9分)将一矩形纸片放在平面直角坐标系中,。动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动,运动秒时,动点从点出发以相等的速度沿向终点运动。当其中一点到达终点时,另一点也停止运动。设点P的运动时间为(秒)。(1)用含的代数式表示;(2)当时,如图10-1,将沿翻折,点恰好落在边上
30、的点处,求点的坐标;(3)连结,将沿翻折,得到,如图10-2。问:与能否平行?与能否垂直?若能,求出相应的值;若不能,说明理由。解:(1),。(2)当时,过点作,交于,如图1,3分则,。(3)能与平行。若,如图2,则,即,而,。不能与垂直。若,延长交于,如图3,则。7分又,。而, t不存在。 25、锐角ABC中,AB=AC,点D在AC边上,DEAB于E,延长ED交BC的延长线于点F.(1) 当A=40时,求F的度数;(2) 设F为x度,FDC为y度,试确定y与x之间的函数关系式.第二问,B+x=90,x+y=B,所以y=90-2x。解(1) AB=AC, . . A=40, . DEAB ,
31、. (2) , 在BEF中, , . . . 26、如图1,正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上,连接AE、GC(1)试猜想AE与GC有怎样的数量关系;(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转,使点E落在BC边上,如图2,连接AE和GC.你认为(1)中的结论是否还成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由;(3)在(2)的条件下,求证:AEGC(友情提示:旋转后的几何图形与原图形全等)延长相交可证得垂直,解:(1)猜想:AE=GC(2)答:AE=CG成立. 证明: 四边形ABCD与DEFG都是正方形, AD=DC,DE=DG,ADC= =EDG=90. 1+3=2+3=90.
32、 1=2 ., ADECDG ., AE=CG .(3)延长AE,GC相交于H,由(2)可知5=4.又 5+6=90,4+7=180-DCE=90, 6=7. 又 6+AEB=90, AEB=CEH. . CEH+7=90. EHC=90., AEGC . 27、如图所示,在直角梯形ABCD中,AD/BC,A90,AB12,BC21,AD=16。动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q同时从点A出发,在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动,当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t(秒)。(1)当为何值时,四边形的面积是梯形的面积的一半
33、;(2)四边形能为平行四边形吗?如果能,求出的值;如果不能,请说明理由(3)四边形能为等腰梯形吗?如果能,求出的值;如果不能,请说明理由(第一问,t=37/6,第二问,t=5,第三问,不能,QPC大于90,不能等于DCP,;本题扩展:如果延DA、CB方向移动,则可以出现等腰梯形。)28、(12分)如图,等腰梯形ABCD中,ADBC,M、N分别是AD、BC的中点,E、F分别是BM、CM的中点(1)在不添加线段的前提下,图中有哪几对全等三角形?请直接写出结论;(2)判断并证明四边形MENF是何种特殊的四边形?(3)当等腰梯形ABCD的高h与底边BC满足怎样的数量关系时?四边形MENF是正方形(直接
34、写出结论,不需要证明)ADCBEGF两对;菱形;一半。39、E是正方形ABCD的对角线BD上一点,EFBC,EGCD,垂足分别是F、G.求证:.简单题:连接CE,则CE=FG,再证全等即可。证明:连接CE四边形ABCD为正方形ABBC,ABDCBD45,C90EFBC,EGCD,四边形GEFC为矩形GFEC在ABE和CBE中ABECBE,AECEAECF 30、在ABC中,BAC=90,AB=AC,点D是AB的中点,连接CD,过B作BECD交CD的延长线于点E,连接AE,过A作AFAE交CD于点F.(1)若AE=5,求EF; (2)求证:CD=2BE+DE. (第一问,EBD+ABC+BCE=
35、90,又ABC=45,所以,EBD+BCE=45,又ACF+BCE=45,所以,EBD=ACF,可得EBAFCA,得AE=AF,EF=根号2AE,;第二问,过A做AHCE于H,则EBDHAD,BE=AH ,又已证BE=CF,可证AH=FH,则结论得证。)解:(1) BECD,BAC=90ABE+BDE=90 ACF+CDA=90BDE=CDA ABE=ACF AFAE BAE+BAF=90CAF+BAF=90 BAE=CAFAB=AC ABEACF AE=AF=5 EF= (2) 作AHCD于H AE=AF EAF=90 AH=HE=HFAHD=BED=90 BDE=ADH BD=AD BDE
36、ADH DE=DH BE=AHABEACF CF=BE=AH=HF CH=2BE CD=DH+CH CD=DE+2BE 31、矩形ABCD中,AB=DC=6,AD=BC=,动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在射线AB上运动,设点P运动的时间是t秒,以AP为边作等边APQ(使APQ和矩形ABCD在射线AB的同侧).(1)当t为何值时,Q点在线段DC上?当t为何值时,C点在线段PQ上?(2)设AB的中点为N,PQ与线段BD相交于点M,是否存在BMN为等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.(3)设APQ与矩形ABCD重叠部分的面积为s,求s与t的函数关系式. (备用图1) 第一
37、问:,Q在DC上时,等边QAP的高是,;,C点在线段PQ上时,P在AB的延长线上,CBP是含60角的Rt,可求得BP,t=AB+BP。第二问:分四种情况讨论,有一定难度。解:(1) 当Q点在线段DC上时 AD=, ADQ=90, DAQ=30 DQ=x,则AQ=2x x=2 AP=4 t=4当 t=4秒时,Q点在线段DC上. 当C点在线段PQ上时,点P在AB的延长线上,由题意得BP=2 AP=6+2=8 t=8当 t=8秒时,点C在线段PQ上.(2)BMN为等腰三角形,有以下三种情况: 当MN=BN时,NMB=NBM=30 ANM=60 此时,Q点在BD上,P点与N重合 AP=AN=3 t=3 当BM=BN时,作MIAB于I BM=BN=3 BI= MI= IP= BP=MP= AP=6- t=6- 当 BM=NM时,BP=MP=NP BP=1 AP=5 t=5 综上所述,当t=3或6-或5时,BMN为等腰三角形 (3)当0t4时,s= 当4t6时,s= 当6t8时, 即 当t8时, 22
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