1、4.2平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理： 三条_截两条直线，所得的_线段的比_。如下图，如果，则，.2. 平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_线段的比_.如图，在三角形中，如果，则3. 平行的判定定理： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，那么这条直线 于三角形的第三边。如上图，如果有，那么 。专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，且,若，求的长。【例2】 如图，已知，若，求证：.【巩固】如图，垂足分别为、，和相交于点，垂足为.
2、证明：.【巩固】如图，找出、之间的关系，并证明你的结论. 【例3】 如图，在梯形中， ，过对角线交点作 交于，求的长。【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形中，分别是的中点，交于，交于，求的长。 专题二、定理及推论与中点有关的问题（1）如图（1），在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，则_.（2）如图（2），已知中，与相交于，则 的值为（ ）A. B.1 C. D.2例4、如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值；（3）试猜想时的值，并证明你的猜想.【例4】 如图，是的中线，点在上，是延长线与的交点.（1）如果是的中点，求证：
3、；（2）由（1）知，当是中点时，成立，若是上任意一点（与、 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知中，是边上的中线，是上的一点，且，延长交于。求证：。【例5】 （宁德市中考题）如图，中，为边的中点，延长至，延长交的延长线于。若，求证:。【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， 中，若分别是的中点，则；若分别是的中点，则；若分别是的中点，则；若分别是的中点，则_.专题三、利用平行线转化比例【例6】 如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且与、及的延长线分别相交于点、和.求证：【巩固】已知，如图，四边形，两组对边延长后交于
4、、，对角线，的延长线交于求证：【例7】 已知：为的中位线上任意一点，、的延长线分别交对边、于、，求证：【例8】 在中，底边上的两点、把三等分，是上的中线，、分别交于、两点，求证：【例9】 如图，、为边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和的延长线于点、和.求证：.【例10】 已知：如图，在梯形中，是的中点，分别连接、，且与交于点，与交于.（1）求证：（2）若,，求的长.【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形中，,，若，且梯形与梯形的周长相等，求的长。【例11】 （山东省竞赛题）如图，的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接交于点，若,求的值。【例12】 已知等腰直角中，、分别为直角边、上的点，且，过、分别作的垂线，交斜边于，求证：家庭作业【习题1】 如已知，求证：.【习题2】 在中，的延长线交的延长线于， 求证：.【习题3】 如图，在的边上取一点，在取一点，使，直线和的延长线相交于，求证：5
