分类讨论思想在解题中的运用.doc

1、分类号论文编号本科生毕业论文分类讨论思想在解题中的运用姓名院系数学科学学院年级专业数学与应用数学指导教师年月2014年2月14日诚信承诺书本人郑重声明所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。作者签名日期关于学位论文使用授权的声明本人完全了解兴义民族师范学院有关保留、使用学位论文的规定，同意学院保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兴义民

2、族师范学院可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文和汇编本学位论文。保密论文在解密后应遵守此规定作者签名导师签名日期目录摘要IABSTRACTII第一章绪论1第二章对条件是分类给出的问题进行讨论111运用在指数函数及对数函数的单调性的讨论及定义域的判断1111指数函数及对数函数单调性的讨论212集合与不等式及函数的问题3第三章对问题的变量及参数进行分类讨论421几种常见变量及参数的问题4211级数的敛散性、函数的极值最值、参数方程所表示的曲线5第四章对图形的位置不确定进行分类讨论731运用分类思想证明几何题732运用在函数与函数之间是否存

3、在有解10第五章结论11参考文献12致谢错误未定义书签。摘要分类讨论思想是数学重要的思想方法和解题策略、也是教学的重点和难点在求解数学问题时、采用分类讨论思想、可以有效地将数学问题解决分类讨论思想在解题过程中会出现多种情形、将这些情形进行综合、进行归纳、最终使得整个问题得以解决关键词分类讨论思想采用数学问题ABSTRACTCLASSIFICATIONDISCUSSIONTHOUGHTISANIMPORTANTWAYOFTHINKING,ANDMATHEMATICSPROBLEMSOLVINGSTRATEGIES,TEACHINGIMPORTANTANDDIFFICULTINSOLVINGMAT

4、HEMATICALPROBLEMS,THEIDEAOFCLASSIFICATIONDISCUSSION,CANEFFECTIVELYTOMATHEMATICALPROBLEMSOLVINGDISCUSSIDEASINTHEPROBLEMSOLVINGPROCESSWILLAPPEARAVARIETYOFSITUATIONS,THESECIRCUMSTANCESMAKEACOMPREHENSIVE,SUMMARIZED,FINALLYMADETOSOLVETHEPROBLEMKEYWORDSCLASSIFICATIONDISCUSSIDEASUSINGMATHEMATICALPROBLEMS兴义

5、民族师范学院本科毕业论文第一章绪论分类讨论数学思想是一种重要的解题策略，对于培养学生的思维的严密性，严谨性和灵活性及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助分类讨论数学思想是中学数学的重要的思想，它在中学占有重要的位置，也是近几年中考、高考考查的重点、也是考查的热点问题之一参数问题广泛地存在于中学数学的各类问题中，含参数的问题可分为四种类型首先，对数学问题的变量或参数进行分类讨论（数学问题中含有参数，这些参数不同，讨论的结果也随之不同，因此要对参数进行讨论）其次，对条件是分类给出的问题进行讨论例如有些概念、定理、公式、法则本身就包含了分类如绝对值、直线的斜率、等比数列的求和公式等等求

6、解时，需要突破这些条件进行讨论、这些范围或条件为分类提供了理论依据再次对求解过程不便统一表述的问题进行分类讨论（在求解过程中，由于题目的限制，统一起来表达不方便，必须进行分类讨论）最后，关于图行的位置、类型的分类的问题有关几何问题中，由于图行的位置，形状的不确定，需要进行分类通过对以上四种类型题目进行分类讨论，我想学生在中考、高考中，遇到这样的题目就是小菜一碟总之，在各个教学模块中逐步渗透用分类讨论数学思想去解决问题分类讨论思想覆盖的知识点较多，有利于考查学生的知识面，分类思想方式多种多样，具有较高的逻辑性和较强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到确定对象的

7、全体、明确分类的标准、分类不重复、分类不遗漏地分析讨论、分级进行阶段性结果，最后进行归纳，综合得出结论第二章对条件是分类给出的问题进行讨论11运用在指数函数及对数函数的单调性的讨论及定义域的判断对数函数及指数函数是高考的热点、也是高考的难点其主要考其的定义域及单调性这里就要讨论兴义民族师范学院本科毕业论文底数的问题啦在书本上指数函数和对数函数看上去简单、其简单的原因是指数函数与对数函数作为一个独立部分然而在高考，并没有这么简单、其经常和其它函数复合来一起来考，这样不仅要考虑指数函数及对数函数自身限制条件，还要顾及其它函数自身限制条件，特别是这些函数含有参数的话，其难度系数就上升了，我们要对参数

8、进行讨论，讨论时要做到在同一讨论中只能按所确定的一个标准进行,分类既不重复，也不遗漏111指数函数及对数函数单调性的讨论22XXYA例如，求指数函数的单调区间解析这是一道比较典型指数函数分类讨论思想的题目，底数含有参数，指数部分又是二次根号，要讨论指数函数22XXYA的单调区间，就要分底数大于1与底数大于零且小于1这两种情况，指数部分是二次根号，显然根号里面的数要大于等于立零，有根据指数函数的定义可知，指数不等于1（如果等于1，这个函数就没有讨论的必要了），所以还要讨论指数部分大于零且小于1以及指数部分大于1解根据指数函数的定义1,21002021002022220,2112XXXXXXXXX

9、XX，是，是，且（）即是函数的定义域，当0A1时；函数F在区间是增函数函数F在区间函数F在区间是减函数当A1时；函数F在区间是减函数函数F在区间函数F在区间是增函数此题比较接近指数函数的定义，如果把底数换成一个代数式的话，那题目的难度又上升一个档次，这就要把这个代数式看成一个整体，即是化整为零，积零为整，再用上述方法进行分类讨论，进行归纳总结，最后的出结论对数函数与指数函数互为反函数,它们在某些方面既有联系也有区别，比如，指数函数恒过点0,1而对数函数恒过1,0它们的联系是指数函数的定义域是对数函数的值域，对数函数的定义域是指数函数的值域然而要讨论对数函数的单调性，则要看对数函数的底数的两种情

10、况，即底数大于零且小于1或者是底数大于1这两种情况例如求对数函数|LN2FXX的单调区间解析兴义民族师范学院本科毕业论文LN2,1|LN2|,1LN2,121,2XXFXXXXXXXX当时，F是减函数；当时，F是增函数；12集合与不等式及函数的问题在中学阶段，集合是一些元素组成的的总体叫做集合，然而在近世代数里，集合不再是简单的元素了，它们可以是我们日常生活中的具体的实物，但是在这里，我们只讨论的是元素；不等式可以分为绝对值不等式和分式不等式，其中在不等式中含有参数或者是绝对值的话，我们要对参数及绝对值做讨论；函数是不等式进一步的升华，其原因是吧不等式的大于或小于改成等于并添加一个因变量，其的

11、讨论和不等式的思想差不多，在这里不再著述了121集合与不等式之间的解集例如；已知集合22|1|,|28240AXXMBXXXXX，求分别满足下列条件的M的取值范围1集合A是集合B的真子集B集合A与集合B的交集是空集解因为224XX2130X恒成立所以B2280XX；即是B|42XX1若M0，则|11AXMXM又因为集合A是集合B的真子集，所以14141212MM或者解得3M所以03M若0M，则集合A是空集，满足集合A是集合B的真子集所以3M20M，则|11AXMXM，要使集合A与集合B的交集是空集，则只需要14M或者12M，解得3M这与0M相矛盾兴义民族师范学院本科毕业论文若0M，则集合A是空

12、集，满足集合A与集合B的交集是空集所以0M总结对于此题，我们必须对M讨论，比且还要考虑集合A是空集的时候，不然会出现分类遗漏例如222|280,|120AXXBXAXXXA,求满足ABA的A值组成的集合解由集合2|2802,4AXXX，又因为ABA所以BA，即B可能是,2,4,2,41若B，则224120AA，即2A16，所以44AA或者；2若2B，则42412AA，解得4A；3若4B，则821216AA，方程组无解4若2,4B，则4221224AA，解得2A综上所述实数A的取值集合|424XAAA，或者，或者总结，在遇到求子集，真子集的个数，或两个集合之间的关系问题时，一定要优先考虑空集以免

13、分类遗漏而导致错误第三章对问题的变量及参数进行分类讨论21几种常见变量及参数的问题变量及参数问题广泛存在数学中，它们以各种各样的方式出现，其难易程度有各自的侧重点，但不管怎么样，它们大多数都以函数的方式出现例如，级数的敛散性、求含有参数极值、最值得问题以及讨论含有参数方程所表示的曲线，像这样的问题，它们会随变量或者参数取值的大小不同，它们的结果随之而改变，所以我们在做这些题目时，一定要注意分类的合理性、科学性、明确分类的标准、分级进行分类、最后进行归纳，综合得出结论兴义民族师范学院本科毕业论文211级数的敛散性、函数的极值最值、参数方程所表示的曲线（款的标题）级数是指给定一个数列UU，对它的各

14、项依次用“”号连接起来的表达式123UUUUN叫做常数项无穷级数或数项级数，也简称级数，其中NU称为数项级数的通项或一般项数项级数的前N和，记为NS1NKKU123UUUUN然而极值、最值问题，要涉及导数，在求极值、最值，导数是有效的工具，但也有其它的办法来求，那就要看针对什么样的题目了，比如，在求二次函数的最值时，有些题目可以用均值不等式来做等等我们也可以根据二次函数的性质来求参数所表示的曲线，那就看参数取值的范围了，这里就不再论述了下面会以例题来讲解2111级数的敛散性（项的标题）若数项级数的部分和数列收敛于S则称数项级数收敛，称S是为数项级数的和记作SNU，若数项级数发散的，则称数项级数

15、发散在这里顺便提一下几个级数；等比级数、调和级数（是发散的）例题，讨论几何级数2NAAQAQAQ的敛散性（其中0A）解当1Q时，级数的第N个部分和2NNSAAQAQAQ11NQAQSN，因此，1当|1Q时，1|11LIMNNQAAQQ，此时级数收敛，其和为1AQ2当|1Q时，111LIMNNQAAQQ，所以级数发散3|1Q时，级数发散综上所述，当|1Q时，1|11LIMNNQAAQQ，此时级数收敛当|1Q时，此时级数收敛2112函数的极值、最值函数的极值、最值是高考的热点，也是难点，高考一般把这一题放在最后，我们一般把这一题叫做压轴题，此题很少有同学得满分，因为此题考的知识面很广，涉及的知识点

16、有多下面来看一个例题例题，已知XE1XFAX兴义民族师范学院本科毕业论文1求XF的单调区间；2若XF在0上递增函数，求A的取值范围分析要求函数的单调区间，我们第一要想到是，确定函数的定义域，马上进行求导，找出极值点，最后判断单调性，然而此题含有参数，求导之后我们要对参数进行讨论解由题可知，函数XF的定义域是一切实数所以XF的导数为1XEXFAA,当A0时，函数FX在是增函数B,当0A时，函数FX在LNA是增函数，函数FX在,LNA是减函数有（1）可知1XEXFA在0,是增函数，所以1XEXFAA，即是F010EAA，所以我1A2例如，讨论222525TXTYTT所表示的曲线解这是以T为参数的曲

17、线，给T不同值，可以得到不同的二次曲线当0T时，225Y0，即是0Y，当25T时，2025X，即是0X，当250TT时，原方程可以化为22125XYT；如果0T时，则曲线是以焦点为5,0的椭圆如果250TT时，则曲线是以焦点为5,0的双曲线兴义民族师范学院本科毕业论文第四章对图形的位置不确定进行分类讨论（标题）31运用分类思想证明几何题运用分类思想证明几何体是比较常见的，但是又是同学们很少想到的，这里要强调的是只要是数学，其在一定程度上都会用到分类思想比如某个人把撒落在地上，问你怎样找才能把针全部捡完，这个问题其实在我们日常生活中随时遇到，只是我们把它们忽视罢了，这个题目有效的方法就是把地面分

18、成若干个小区域，依次把小区域里的针找完就可以了，其实这就是运用了分类思想解决实际生活中的问题了例如，证明五点中必有四点是一个凸四边形的四个顶点证明我们可以按五点的凸包分三种情况（1）五点的凸包为凸五边形，显然，必有四点是四边形的顶点；（2）五点的凸包为凸四边形，显然，也必有四点是一个凸四变形的四个顶点；（3）对于情况三，因为任意三点不共线，直线DE必与三角形ABC的线段相交而与第三边永不相交设直线DE与线段BC不相交，则四边形EDBC为凸四边形所以，原命题成立注意对于同一个较复杂的问题，如果取用的分类标准不同，那么解决问题的繁简程度上往往差别ABCDE兴义民族师范学院本科毕业论文很大如上述例题

19、中，我们以其中三点为顶点作一个三角形，再按其余两点关于这个三角形的位置的不同的情况分类进行讨论就显得异常的复杂，大大增加解题的难度，因此，进行分类、讨论之前，应当对题目先作一番深入的分析，并将几种分类标准作适当比较，选择适当的分类标准，尽量简化分类过繁的现象其次，对某些数学问题，如果先利用已知的条件，限制题目中涉及的量的范围，再进行分类讨论，常常能是问题简化例如，平面外有两点A,B,它们到平面的距离分别为A，B，线段AB上有一点P，已知AP/PB05，求点P到平面M的距离解（1）当点A,B在平面M的同侧时（如图1），设1,PPX则13XAAPABAB，所以23ABX若AB平行平面M，则AB，此

20、时，XAB（2）当点A,B在平面M的异侧时，若点P位于点A的同侧如图2，则则23XBPBABAB，从而，23ABX若点P位于点B的同一侧（如图3），则23BXPBABAB，从而，23BAX。兴义民族师范学院本科毕业论文A1AB1BPP1LA1BPP1AA1BB1P1P图1图2图3兴义民族师范学院本科毕业论文32运用在函数与函数之间是否存在有解求函数326912XFXXXA的零点的个数分析此题我们可以构造两个函数326912XGXXX与XHA，再利用导数来解决，因为现在这两个函数图像我们是不知道，我们可以导函数函数的单调区间大致画出原函数的图形，再用XHA这个函数的图像去与其相交的交点的个数即可

21、解令326912XGXXX，所以132129XGXX，令1321290XGXX，即是1X或者3X，再令1321290XGXX，所以当3X或者1X时，函数326912XGXXX是增函数，当13X时，函数326912XGXXX是减函数，函数326912XGXXX在1X处取得极大值126G，函数326912XGXXX在3X处取得极小值366G当26A时，函数326912XGXXX与函数XHA有两个交点；当66A时，函数326912XGXXX与函数XHA有两个交点；当66A时，函数326912XGXXX与函数XHA有一个交点；当26A时，函数326912XGXXX与函数XHA有一个交点；当6626A时

22、，函数326912XGXXX与函数XHA有三个交点兴义民族师范学院本科毕业论文第五章结论运用分类讨论思想能够有效的指导我们的学习，操作程序是化整为零，积零为整，把对总体的探究转到对讨论各个个体，这两者的效果是一样的分类讨论思想的精髓是分类既不重复，也不遗漏、渐进性分类，不要越级、在同一讨论中只能按所确定的一个标准进行分类讨论思想的优势，表现在可以迅速的找出解决问题的切入点，以解决开头难的问题，使我们的数学探究活动有一个良好的开局注意，分类讨论某个数学问题，必须在同一个标准下进行，切记用两个或两个以上的标准对数学对象实施进行分类，这和我们平时的为人处世也是一样的对他人和自己，无论从哪个角度来评价

23、，不可采用多从标准，分类讨论也是如此兴义民族师范学院本科毕业论文参考文献主要参考资料1欧阳维诚编著初等数学思想方法选讲M长沙市湖南教育出版社,20002陆书环，冯振举编著初中数学方程M北京市金盾出版社,2004043沈文选著中学数学思想方法M长沙市湖南师范大学出版社,19994陈克晶，吴大青著科学分类问题M北京市人民教育出版社,19805张甦，朱英主编数学思想方法M上海市上海科学普及出版社,6吴烔圻，林培榕编著数学思想方法M厦门市厦门大学出版社,2009087张丽著伯顿克拉克的高等教育思想研究M武汉市华中师范大学出版社,20088马志珍本册主编首席教师专题小课本高中数学数列M北京市现代教育出版

24、社,2008049（美）BS布卢姆著目标分类和掌握学习思想与论著选读M附JH布洛克北京市中国环境科学出版社,20060110田晓娜主编数学课的育人方法M北京市国际文化出版公司,19970311李朝东主编初高中衔接教材数学M北京市中国少年儿童出版社,20060411潘娉姣主编冲刺北大清华高考数学第二轮总复习突破M长春市吉林教育出版社,20020113赵鸣，陈跃新编3X考试当用题型与解题训练手册数学卷学生用书M北京市中国致公出版社,20010114华东师范大学数学系编数学分析第四版下册M高等教育出版社15华东师范大学数学系编数学分析第四版上册M高等教育出版社16丛书主编申招斌高中数学思维导图M湖南教育出版社17主编傅荣强高中数学思想方法M龙门书局兴义民族师范学院本科毕业论文兴义民族师范学院本科毕业论文