全等三角形辅助线系列之一---角平分线类辅助线作法大全.doc

1、全等三角形辅助线系列之一与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；2、截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三

2、角形或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件典型例题精讲【例1】 如图所示，BN平分ABC，P为BN上的一点，并且PDBC于D，求证：【解析】过点P作PEAB于点EPEAB，PDBC，BN平分ABC，在RtPBE和RtPBC中，RtPBERtPBC（HL），PEAB，PDBC，在PAE和RtPCD中，PAERtPCD，【答案】见解析【例2】 如图，已知：，ADBC，P是AB的中点，PD平分ADC，求证：CP平分DCB【解析】因为已

3、知PD平分ADC，所以我们过P点作PECD，垂足为E，则，由P是AB的中点，得，即CP平分DCB【答案】作PECD，垂足为E，PD平分ADC，又，点P在DCB的平分线上，CP平分DCB【例3】 已知：，OM是AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D（1）PC和PD有怎样的数量关系是_（2）请你证明（1）得出的结论【解析】（1）（2）过P分别作PEOB于E，PFOA于F，OM是AOB的平分线，且，在CFP和DEP中，CFPDEP，【答案】见解析【例4】 如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作

4、全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系（不需证明）；（2）如图，在ABC中，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由【解析】如图所示；（1）（2）如图，过点F作FGAB于G，作FHBC于H，作FKAC于K，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，在四边形BGFH中，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，在AFC中，在EFG和DFH中，EFGDFH，【答案】见解析【例5】 已知，AC平分MAN，点B、D分别在AN、AM上（1）如图

5、1，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由【解析】（1）得到后再可以证得，从而，证得结论；（2）过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，证得CEDCFB后即可得到，从而证得结论【答案】（1）关系是：证明：AC平分MAN，又，则（直角三角形一锐角为30，则它所对直角边为斜边一半）；（2）仍成立证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、FAC平分MAN（角平分线上点到角两边距离相等），又，CEDCFB（AAS），由（1）知，【例6】 如图，在ABC中，AD平分BAC，求证：【解

6、析】在AB上截取点E，使得AD平分BAC，ADEADC（SAS），【答案】见解析【例7】 如图，中，平分交于点求证：【解析】在上截取点使，连结平分，在与中， ， ，又，【答案】见解析【例8】 已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明【解析】在上截取一点使得，易证，在根据推出，再证明即可【答案】【例9】 如图：已知AD为ABC的中线，且，求证：【解析】在DA上截取，连接NE，NF，则，在DBE和DNE中：DBEDNE（SAS），同理可得：在EFN中，（三角形两边之和大于第三边）【答案】见解析【例10】 已知：在四边形ABCD中，且，BD平分ABC，求证：【解析】在BC上截取

7、，BD平分ABC，在BAD和BED中，BADBED，CDE是等边三角形，【答案】见解析【例11】 观察、猜想、探究：在ABC中，（1）如图，当，AD为BAC的角平分线时，求证：；（2）如图，当，AD为BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图，当AD为ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明【解析】（1）过D作DEAB，交AB于点E，理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到，由，利用等量代换及

8、外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到，由，等量代换即可得证；（2），理由为：在AB上截取，如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同（1）即可得证；（3），理由为：在AF上截取，如图3所示，同（2）即可得证【答案】（1）过D作DEAB，交AB于点E，如图1所示，AD为BAC的平分线，DCAC，DEAB，在RtACD和RtAED中，RtACDRtAED（HL），又，则；（2），理由为：在AB上截取，如图2所示，AD为BAC的平分线，在ADG和ADC中，ADGADC（SAS），又，则；（3），理由为：在AF上截取，如图3所示，AD为

9、FAC的平分线，在ADG和ADC中，ADGADC（SAS），即，又，则【例12】 如图所示，在ABC中，AD是BAC的平分线，BEAD于F求证：【解析】延长BE交AC于点F则AD为BAC的对称轴，BEAD于F，点B和点F关于AD对称，【答案】见解析【例13】 如图，已知：ABC中AD垂直于C的平分线于D，DEBC交AB于E求证：【解析】由AD垂直于C的平分线于D，可以想到等腰三角形中的三线合一，于是延长AD交BC与点F，得D是AF的中点，又因为DEBC，由三角形中位线定理得【答案】延长AD交BC与点F，CD平分ACF，又ADCD，ADCFDC，又DEBC，【例14】 已知：如图，在ABC中，B

10、EAE求证：【解析】延长BE交AC于M，BEAE，在ABE中，同理，BEAE，4是BCM的外角，【答案】见解析【例15】 如图，已知，BD为ABC的平分线，CEBE，求证：【解析】延长CE，交BA的延长线于点FBD为ABC的平分线，CEBE，BEFBEC，CEBE，又，ABDACF，【答案】见解析课后复习【作业1】 如图所示，在ABC中，BP、CP分别是ABC的外角的平分线，求证：点P在A的平分线上 【解析】过点P作PEAB于点E，PGAC于点G，PFBC于点F因为P在EBC的平分线上，PEAB，PHBC，所以同理可证所以，又PEAB，PGAC，所以P在A的平分线上，【答案】见解析 【作业2】 已知：如图，求证：DCAC【解析】在AB上取中点E，连接DE，则，DEAB，又，ADEADC（SAS），即DCAC【答案】见解析【作业3】 已知等腰，的平分线交于，则【解析】如图，在上截取，连接，过作，交于，于是，又，故显然是等腰梯形，又，【答案】见解析【作业4】 如图，已知在ABC中，AD、AE分别为ABC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连接FC并延长交AE于M求证：【解析】延长AC，交BF的延长线于点NAD平分BAC，BFAD，AFBAFN，AD、AE分别为ABC的内、外角平分线，FABFAF，BFAE，【答案】见解析18 / 18