1、专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 。我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；（4）两数和立方公式 ；（5）两数差立方公式 。对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。例1 计算：（1）；（2）；（3）。分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算.解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=。说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式
2、计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“”改成“”则利用公式计算；若将第二个因式 中“”改成“”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算。例2 计算：（1）；（2）；（3）；分析：利用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和（差）的两个因式，是计算的关键.解：（1）原式；（2）解法一：原式；解法二：原式 ；（3）原式 。 说明：第（2）、（3）题往往先用立方和（差）公式计算简捷.相反，如第（2）题的第二种解法就比较麻烦.例3因式分解：（1）；（2）；（3）。分析：对照立方和（差）公式，正确找出对应的是解题关键，然后再
3、利用立方公式分解因式。解：（1）原式；（2）原式（3）原式。 说明：我们可尝试一下，第(3)题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学分解不彻底。例设,试求的值。分析：对于立方和公式，我们不难把它变成：，即，再应用两数和、两数积解题较为方便。解：。说明：立方和（差）与和（差）的立方之间可以相互转化。例5 如果的三边满足，试判断的形状。分析：直接看不出三角形边之间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找出三角形三边之间的关系。解：因为，所以，即，所以或， 因此是等腰三角形或直角三角形.说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分解进行恒等变形.练习1.计算：（1）；（2）；（3）；（4）。2.计算：（1）；（2）；（3）；（4）。3分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）。4化简：。5若，求证：。6（1）已知，求的值；（2）已知：，求的值.7已知两个正方体，其棱长之总和为48cm，体积之和为28cm3，求两个正方体的棱长.8. 已知，求的值。 9. 已知，求的值。10.已知实数满足，求的值。 答案：1（1） ；（2）；（3）；（4）。2（1）； （2）； （3）；（4）。3、（1）； （2）； （3）；（4）。425提示： 。 6（1）-8（2）17两个正方体的棱长分别为1cm和3cm.8.19.539210. （兴化市第一中学 张俊）
