圆锥曲线自编讲义圆锥曲线之基本量.doc

1、圆锥曲线自编讲义之基本量要求熟悉圆锥曲线的a、b、c、e、p、渐近线方程、准线方程、焦点坐标等数据的几何意义和相互关系。（2011安徽理2）双曲线的实轴长是（A）2 （B） 2 （C） 4 （D）4【答案】C（2010安徽理）5、双曲线方程为，则它的右焦点坐标为A、B、C、D、【答案】C【解析】双曲线的，所以右焦点为.（2010北京文）（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。答案：() （2010福建文数）13 若双曲线-=1(b0)的渐近线方程式为y=，则等于。【答案】1【解析】由题意知，解得b=1。（2009湖南卷文）抛物线的焦点坐标

2、是（ ） A（2，0） B（- 2，0） C（4，0） D（- 4，0）【解析】由,易知焦点坐标是，故选B.（2009四川卷文）抛物线的焦点到准线的距离是 .【解析】焦点（1，0），准线方程，焦点到准线的距离是2.（2010湖南文）5. 设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是A. 4 B. 6 C. 8 D. 12【答案】B （2011陕西理2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 A B C D【答案】B（2010辽宁文）（9）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）

3、【答案】D解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，解得.（2011湖南理5）设双曲线的渐近线方程为，则的值为A4 B3 C2 D1（2010辽宁文）（7）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，为垂足，如果直线斜率为，那么（A） （B） 8 （C） （D） 16【答案】 B解析：选B.利用抛物线定义，易证为正三角形，则（2010山东文）（9）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 （A） (B) (C) (D)【答案】B（2010天津理）(5)已知双曲线的一条渐近线方程

4、是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。依题意知，所以双曲线的方程为（2010广东文）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A. B. C. D. 【答案】B（2010四川文）(3)抛物线的焦点到准线的距离是(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8【答案】C【解析】由y22px8x知p4 又交点到准线的距离就是p（2010福建理数）2以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A B C D【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标

5、为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。（2010上海文）8.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 。【答案】y2=8x 由定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2=8x（2010浙江理）（13）设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_。【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为，B点坐标为（）所以点B到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题（2010安徽文）(12)抛物线的焦点坐标是 答案：【解析】抛物线，所以，所以焦点.（2010重庆文）（13）已知过

6、抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，则_ .【答案】 2解析：由抛物线的定义可知 故2（2010天津文）（13）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为 。【答案】由渐近线方程可知 因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4 又 联立，解得，所以双曲线的方程为（2010浙江理）(21) （本题满分15分）已知m1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （）当直线过右焦点时，求直线的方程； 解：（）因为直线经过，所以,得，又因为，所以，故直线的方程为。（2010江西理数）21. 设椭圆，抛物线。（1） 若经过的两个焦点，求的离心率；解（1）由已知椭圆焦点(c

7、,0)在抛物线上，可得：，由。（2010安徽文数）17、椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。 ()求椭圆的方程；（）设椭圆E的方程为（2010重庆文数）（21）已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.（）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；（2010浙江文）（22）、（本题满分15分）已知m是非零实数，抛物线（p0）的焦点F在直线上。（I）若m=2，求抛物线C的方程（2010北京文）（19）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。（）求椭圆C的方程；解：（）因为，且，所以所以椭圆C的方程为（2010天津文）（

8、21）已知椭圆（ab0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（）求椭圆的方程；解：（）由e=，得.再由，解得a=2b.由题意可知，即ab=2.解方程组得a=2，b=1.所以椭圆的方程为.（2010福建文）19已知抛物线C：过点A （1 , -2）。（I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2010山东理）（21）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（）求椭圆和双曲线的标准方程；【解析】（）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，所以

9、，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。（2009全国卷理）设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. B.2 C. D. 【解析】设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得: . 【答案】C(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A. B. 5 C. D.【解析】双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以=,所以,故选D. 【答案】D(2009山东卷文)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,

10、且和轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ). A. B. C. D. 【解析】抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为,故选B. （2009全国卷文）双曲线的渐近线与圆相切，则r= ( ) A. B.2 C.3 D.6【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=.【答案】A（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为的是 . . . . 【解析】由得，选B.（2009福建卷文）若双曲线的离心率为2，则等于( )A. 2 B. C. D. 1【解析】由，解得a=1或a=3，参照选项

11、知而应选D.（2009江西卷文）设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A B C D3【解析】由有,则,故选B.（2009江西卷理）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 A B C D 【解析】因为，再由有从而可得，故选B（2009天津卷文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B . C . D.【解析】由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为【答案】C(2009湖北卷理)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )较难，至少要求求出椭圆方程A. B.

12、C. D. 【解析】易得准线方程是 所以 即所以方程是联立可得由可解得A.【答案】A（2009四川卷文、理）已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则( ) A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.【答案】C（2009宁夏海南卷理）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( )A. B.2 C. D.1【解析】双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为,【答案】A（2009陕西卷文）“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的 A.充分而不必要条件 B.必

13、要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】将方程转化为 , 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足所以.【答案】C（2009全国卷文）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A. B.2 C. D.【解析】由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即，故选择C.（2009湖北卷文）已知双曲线（b0）的焦点，则b=( )A.3 B. C. D. 【解析】可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为所以有.即b2=3故b=.故C.（2009北京文、理）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .w【解析】本题主要考查椭圆

14、的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查. ，又， 又由余弦定理，得，故应填.（2009广东卷理）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 【解析】，则所求椭圆方程为.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为 . 【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是是虚半轴长，是焦半距，且一个内角是，即得，所以，所以，离心率.(2009年广东卷文)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴

15、上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程解（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. ( 2009浙江理）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为 （I）求椭圆的方程；解（I）由题意得所求的椭圆方程为， （2009浙江文）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为（I）求与；解（）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得（2009北京文）已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（）求双曲线C的方程；解（）由题意，得

16、，解得，所求双曲线的方程为.（2009北京理）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；解：（）由题意，得，解得， ，方程为.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。（1）求抛物线C的标准方程；.(2009山东卷理)设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N (,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N (,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为(2009山东卷文)设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状

17、; 注：本题考查圆锥曲线的基本方程，有新意。解（1）因为,所以, 即. 当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线.（2009全国卷文）已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B 两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（）求a,b的值；解（）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为 ， 故 ， 由 ，得 ，=（2009湖南卷文）已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.（）求椭圆C的方程;解 （）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，由题设

18、条件知， 所以故椭圆C的方程为 .（2009辽宁卷文、理）已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（1，0）（1，0）。（1） 求椭圆C的方程；解（）由题意，c1,可设椭圆方程为。 因为A在椭圆上，所以，解得3，（舍去）。所以椭圆方程为 （2009宁夏海南卷理） 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（）求椭圆C的方程；解 ()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得， 所以椭圆的标准方程为 （2009陕西卷文）已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。 （1）求双曲线C的方程；解（）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线

19、，所以所以 由所以曲线的方程是（2009福建卷文）已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。（I）求椭圆的方程；解 I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为（2009年上海卷理） 已知双曲线设过点的直线l的方向向量 （1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；解 （1）双曲线C的渐近线直线l的方程 直线l与m的距离 （2011湖南理21）椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。（）求C1，C2的方程；解 ：（）由题意知故C1，C2的方程分别为（2011浙江理21）

20、已知抛物线:，圆:的圆心为点M（）求点M到抛物线的准线的距离；解：（I）由题意可知，抛物线的准线方程为： 所以圆心M（0，4）到准线的距离是（2011重庆理20）椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为 （）求该椭圆的标准方程；解：（I）由解得，故椭圆的标准方程为（2008全国理9）设，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A B C D答案 B（2008辽宁理10）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 （ ）A B C D答案 A （2008天津文7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 ( )A. B.

21、 C. D.答案 B（2007重庆文）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A. B. C. D.答案 C(2006上海春季15) 若，则“”是“方程表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A （2008江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 答案 （2008全国理15）在中，若以为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率 答案 （2008浙江理12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点.若，则=_.答案 8(2008上海春季7) 已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为. 设分别为双曲线的左、右焦点. 若，则 .答案 5（2007山东理）设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 答案 (2007上海春季6) 在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标 . 答案 5(2006上海理7) 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 .答案 16