1、全等三角形辅助线系列之二与中点有关的辅助线作法大全一、中线类辅助线作法1、遇到三角形的中线，可以倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，通过全等将分散的条件集中起来，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2、遇到题中有中点，可以构造三角形的中位线，利用中位线的性质转移线段关系3、遇到三角形的中线或与中点有关的线段，如果有直角三角形，可以取直角三角形斜边的中点，试图构造直角三角形斜边的中线，利用斜边中线的性质转移线段关系典型例题精讲【例1】 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，求证： 【解析】延长到，使，连结，又，【例2】 如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交
2、于点，若，求证：为的角平分线 【解析】延长到点，使，连结在和中，而又，为的角平分线【例3】 已知为的中线，的平分线分别交于、交于求证： 【解析】延长到，使，连结、易证，又，的平分线分别交于、交于，利用证明，在中，【例4】 如图所示，在中，是的中点，垂直于，如果，求证 【解析】延长至，使，连接、因为，则从而，而，故，因此，即，则，即因为，故，则为Rt斜边上的中线，故由此可得【例5】 在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足若，则线段的长度为_【解析】如图、延长至点，使得，联结、由，有又，【例6】 如图所示，在中，延长到，使，为的中点，连接、，求证【解析】解法一：如图所示，延长到，使容易证明，从而
3、，而，故 注意到，故，而公用，故，因此解法二：如图所示，取的中点，连接因为是的中点，是的中点，故是的中位线，从而，由可得，故，从而，【例7】 已知：ABCD是凸四边形，且E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G点 求证：【解析】取AB中点H，连接EH、FH，EHBD，FHAC，【例8】 在中，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且【解析】过作交于又，又故且【例9】 如图所示，在中，为的中点，分别延长、到点、，使过、分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、求证：（1）；（2）【解析】（1）如图所示，根据题意可知且，且，所以而、分别是直角三角形、的斜
4、边的中点，所以，又已知，从而（2）由（1）可知，则由可得而、均为等腰三角形，所以【例10】 已知，如图四边形中，、分别是和的中点，、的延长线分别交于、两点求证：【解析】连接，取中点，连接、 ，同理，【例11】 已知：在中，动点绕 的顶点逆时针旋转，且，连结过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、（1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论(不需证明)（2）当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明【解析】图2：，图3： 证明：在图2中，取的中点，连结、 是的中点，是的中点，同理
5、，证明图3的过程与证明图2过程相似 【例12】 如图所示，是内的一点，过作于，于，为的中点，求证【解析】如图所示，取、的中点、，连接、，则有且，且因为和都是直角三角形，故，从而， 又因为，而，且，所以，从而，故【例13】 如右下图，在中，若，为边的中点求证：【解析】如右下图，则取边中点，连结、由中位线可得，且为斜边上的中线，又，即，【例14】 如图，中，是中点，与交于，与 交于求证：，【解析】连结，是中点且在与中，【例15】 在ABCD中，过点D作，且，连接EF、EC，N、P分别为EC、BC的中点，连接NP.（1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及
6、ABD与MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论图1 A B C D P E F N M 图2A B C D P E F N M1324PNAEFCDB【解析】（1）， （2）点M是线段EF的中点(或其它等价写法). 证明：如图，分别连接BE、CF. 四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ABDC， . ， ，. 即 又，由得BDECDF ,. N、P分别为EC、BC的中点，NPEB， 同理可得 MNFC， NPEB，MNFC， 【例16】 在RtABC中，点D在
7、边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点（1）若过点D作DEAB于E，连结CF、EF、CE，如图1 设，则k = ；（2）若将图1中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示求证：；（3）若，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值【解析】（1）；（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q. 由题意， . D、E、B三点共线， AEDB.， ， ，. F是BD中点， F是EG中点.在中， （3）情况1：如图，当时，取AB的中点M，连结MF和CM， ，且,，.M为AB中点，.M为A
8、B中点，F为BD中点，当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时.情况2：如图，当时，取AB的中点M，连结MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为.课后复习【作业1】 如图，中，是中线求证： 【解析】延长到，使，连结在和中 ，在中，【作业2】 在中，点为的中点，点、分别为、上的点，且以线段、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？ 【解析】延长到点，使，连结、在和中，在和中故以线段、为边能构成一个直角三角形【作业3】 是的中线，是的中点，的延长线交于求证： 【解析】取的中点，连接易得，为的中点，所以，从而可证得：【作业4】 如图，在五边形中，为的中点求证： 【解析】取中点，中点连结、，则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有，同理可证，即，13 / 13
