1、对数函数知识点及典型例题讲解1对数：(1) 定义：如果，那么称 为 ，记作 ，其中称为对数的底，N称为真数. 以10为底的对数称为常用对数，记作_ 以无理数为底的对数称为自然对数，记作_(2) 基本性质： 真数N为 (负数和零无对数)； ； ； 对数恒等式： (3) 运算性质： loga(MN)_； loga_； logaMn (nR). 换底公式：logaN (a0，a1，m0，m1，N0) .2对数函数： 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当_时，函数为减函数，当_时为增函数；4) 函数与函数 互为反函数. 1) 图象经过点( )，图象在 ；2
2、) 对数函数以 为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)；4) 函数ylogax与 的图象关于x轴对称 函数值的变化特征： 例1 计算：（1）（2）2(lg)2+lglg5+;（3）lg-lg+lg.解：（1）方法一 利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-=（2+）-1,x=-1.方法二 利用对数的运算性质求解= =(2+)-1=-1.（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1|=lg+(1-lg)=1.（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245= (5lg2-2lg7)-+ (2lg7+lg5)=lg2-lg7-2lg2
3、+lg7+lg5=lg2+lg5=lg(25)= lg10=.变式训练1：化简求值.（1）log2+log212-log242-1;（2）(lg2)2+lg2lg50+lg25;（3）(log32+log92)(log43+log83).解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(例2 比较下列各组数的大小.（1）log3与log5;（2）log1.10.7与log1.20.7;（3）已知logblogalogc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）log3log
4、31=0,而log5log51=0,log3log5.(2)方法一 00.71,1.11.2,0,即由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.(3)y=为减函数，且,bac,而y=2x是增函数，2b2a2c.变式训练2：已知0a1,b1,ab1，则loga的大小关系是 （ ）A.loga B.C. D.解： C例3已知函数f(x)=logax(a0,a1)，如果对于任意x3，+）都有|f(x)|1成立，试求a的取值范围.解：当a1时，对于任意x3，+），都
5、有f(x)0.所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3，+）上为增函数，对于任意x3，+），有f(x)loga3. 因此，要使|f(x)|1对于任意x3，+）都成立.只要loga31=logaa即可，1a3. 当0a1时，对于x3，+），有f(x)0,|f(x)|=-f(x). f（x）=logax在3，+）上为减函数，-f（x）在3，+）上为增函数.对于任意x3，+）都有|f(x)|=-f(x)-loga3. 因此，要使|f(x)|1对于任意x3，+）都成立，只要-loga31成立即可，loga3-1=loga,即3,a1.综上，使|f(x)|1对任意x3，+）都成立的a的取
6、值范围是：(1，3，1）. 变式训练3：已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-,1-上是单调递减函数.求实数a的取值范围.解：令g(x)=x2-ax-a,则g(x)=（x-）2-a-,由以上知g(x）的图象关于直线x=对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log2g(x)的底数21,在区间（-,1-上是减函数，所以g(x)=x2-ax-a在区间（-,1-上也是单调减函数，且g(x)0.解得2-2a2.故a的取值范围是a|2-2a2.例4 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（1）证
7、明:点C、D和原点O在同一直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.（1）证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题设知x11,x21,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率为k1=,OD的斜率为由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.（2）解： 由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x31,代入x2log8x1=x1log8x2，得x31lo
8、g8x1=3x1log8x1,由于x11,知log8x10,故x31=3x1,又因x11,解得x1=,于是点A的坐标为（，log8).1处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.2对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.4
