1、反比例函数知识点归纳和典型例题、基础知识（一）反比例函数的概念1（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）（三）反比例函数及其图象的性质1函数解析式：（）2自变量的取值范围：3图象：（1）图象的形状：双曲线 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越小，图象的弯曲度越大（2）图象的
2、位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上4k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PAx轴于A点，PBy轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QCPA
3、的延长线于C，则有三角形PQC的面积为 图1 图25说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论（2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称（3）反比例函数与一次函数的联系（四）实际问题与反比例函数1求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式2注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上（五）充分利用数形结合的思想解决问题三、例题分析1反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）Ay=3x B C3xy=1 D（2）下列函数中，y
4、是x的反比例函数的是（ ）AB CD2图象和性质（1）已知函数是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么k=_若y随x的增大而减小，那么k=_（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第_象限（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_象限（4）已知ab0，点P（a，b）在反比例函数的图象上， 则直线不经过的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点， 则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限（
5、6）已知函数和（k0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A B C D 3函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，且，则的值为（ ）A正数 B负数 C非正数 D非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，则函数值、的大小关系是（ ）ABCD（3）下列四个函数中：； y随x的增大而减小的函数有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）注意，（3）中只有是符合题意的，而是在“每一个象限内” y随x的增大而减小4解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比
6、例，则y是z的（ ）A正比例函数 B反比例函数 C一次函数 D不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为 （2，m），则m=_，k=_，它们的另一个交点为_（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）求x 0的值；求一次函数和反比例函数的解析式（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气
7、中每立方米的含药量为6毫克 请根据题中所提供的信息解答下列问题：药物燃烧时y关于x的函数关系式为_，自变量x 的取值范围是_；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_分钟后，学生才能回到教室； 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？（3）依题意，且，解得（4）依题意，解得 一次函数解析式为，反比例函数解析式为（5），； 30；消毒时间为（分钟），所以消毒有效5面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，
8、过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、，则（ ）ABCD 第（1）题图 第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC/y轴，BC/x轴，ABC的面积S，则（ ）AS=1 B1S2 CS=2 DS2（3）如图，RtAOB的顶点A在双曲线上，且SAOB=3，求m的值 第（3）题图 第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小（5）如图，正比例函数y=kx（k0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若ABC面积为S，则S=_ 第（5）题图 6
