高阶等差数列的若干性质及应用探讨.doc

1、毕业论文题目高阶等差数列的若干性质及应用探讨目录摘要3关键字3前言31高阶等差数列定义4211数列的差分412高阶等差数列的定义52高阶等差数列的性质621高阶等差数列的性质及其证明622求高阶等差数列通项及前N项和93高阶等差数列的应用探讨1331高阶等差数列在堆垛中的应用1332高阶等差数列在求有限级数和中的应用17总结19致谢20参考文献20高阶等差数列的若干性质及应用探讨摘要本文研究了高阶等差数列的若干性质及其应用。主要从高阶等差数列的概念、性质、公式和应用进行分析和探讨。以期对高阶等差数列性质及其应用达到规律性的认识。关键字高阶等差数列；等差数列；差分SOMEQUALITIESAND

2、APPLICATIONOFHIGHLEVELGRADATIONARRAYINQUIREDEPARTMENTOFMATHEMATICSANDCOMPUTERSCIENCE，HUAINANNORMALUNIVERSITYABSTRACTINTHISPAPER,ANUMBEROFHIGHENDNATUREOFARITHMETICSEQUENCEANDITSAPPLICATIONS3AREDISCUSSEDWEMAINLYDISCUSSTHESEQUESTIONSFROMTHEHIGHCONCEPTOFARITHMETICSEQUENCE,PROPERTIES,FORMULASANDAPPLICATI

3、ONSFORANALYSISANDDISCUSSIONWEWISHGETHIGHERUNDERSTANDINGTOKNOWLEDGEOFTHESELAWSKEYWORDSHIGHLEVELGRADATIONARRAY；ARITHMETICPROGRESSION；DIFFERENCE前言在中学数学教材中,只系统地介绍了“等差数列”“等比数列”,而高阶等差数列是它们的延伸与拓展，但教材对其介绍和讨论的很少，但解题之中经常会遇到这种数列，例如，我初次就是在公务员考试中（数量关系中数字推理部分）遇到这种数列的，当时答案上只是说了它的名称，二（三）阶等差数列，旁边只有一个阶梯做差图，当时看着就明白了，后

4、来还多次碰到，但都只是在形式上认识了高阶等差数列，对其没有深入性的了解。不仅在题目中，在其他的一些学术杂志中也经常会有高阶等差数列的身影。但在目前中学数学教学中缺乏对它系统性的认识。故本文对高阶等差数列作一系列介绍、分析和研究，其中的一些解题方法步骤以期对中学数学解题有一定的参考价值。1高阶等差数列定义介绍高阶等差数列定义之前我们先简单介绍下数列的差分，数列的差分是研究高阶等差数列的有效工具。11数列的差分4定义1对于给定原数列1A，2A，NA，（1）称差NA1NANA（N1，2，）为数列（1）的一阶差分。数列1A，2A，NA，（2）则称为数列（1）的一阶差分数列。再求得数列（2）的一阶差分N

5、A21NANA（N1，2，3，）得到数列12A，22A，NA2，（3）称为数列（1）的二阶差分数列。依次类推，对于KN，称4NKA11NKANKA1，（N1，2，）为数列（1）的K阶差分。数列1AK，2AK，NKA，称为数列（1）的K阶差分数列。那么对于数列的差分这个定义并不难理解，那么我们继续给出几个差分的简单性质，帮大家更好的理解差分，也为后面引入高阶等差数列性质做个铺垫。对于给定的两个数列NA，NB根据定义，不难得到（1）NNNNBABA（2）NNNNNNABBABA1（3）NNNKNAAA11对于给定的数列NA，有111101ACACANNN1111ACNNN1011NRRRNAC12

6、31211ACACACSNNNN11ACNNNNRRRNAC011这些性质都是根据定义就可以直接推导得出。12高阶等差数列定义6对差分的概念了解之后，我们就可以直接引出高阶等差数列的定义。定义2如果一个数列NA依次从第二项起，逐项减去它的前一项，便得到另一个数列，此数列叫做原数列的一阶差分数列。仿此对一阶差分数列再求差，得到的数列叫做原数列的二阶差分数列。依此类推，可得到原数列的K阶差分数列（KN）。如果一个数列的K阶差分数列是一个非零常数列，则称这个数列叫K阶等差数列。5定义2表明，当且仅当NA是K阶等差数列时，数列NA是1K阶等差数列。例如数列1，16，81，256，625，1296，一阶

7、差15，65，175，369，671，二阶差50，110，194，302，三阶差60，84，108，四阶差24，24，所以，数列1，16，81，256，625，1296，是四阶等差数列。注零阶等差数列就是常数列；中学所学的等差数列即是一阶等差数列；二阶或二阶以上等差数列是高阶等差数列，高阶等差数列是中学所学的推广，研究高阶等差数列的性质与应用对中学数学中等差数列的学习与巩固加深有着重要的意义。2高阶等差数列性质那么高阶等差数列的性质有哪些呢，与中学的等差数列不一样，光凭观察可能很难发现它的性质和规律，此处，我查阅了资料并经过自己的研究分析得出高阶等差数列的如下几个性质。21高阶等差数列的性质及

8、其证明定理11若数列NA是K阶等差数列，则NA可表示为N的K次多项式，即NFAKN。证明利用数学归纳法。1必要性（1）当K1时，NA,2,101NCNC，且01C则有1010111CCNCCNCAANN即NA的一阶差分数列为1C，所以NA为一阶等差数列。（2）现设当1KN时，命题成立，即当1NFAKN时，NA为1K阶等差6数列。给定K次多项式011CNCNCNFKKKKK则有011111CNCNCNFKKKKK11NFNFNFKKK是一个关于N的1K次多项式，故NFK是一个K阶等差数列，即命题当KN时也成立。故对于一切自然数K命题都成立。2充分性设数列NA为,4321NAAAAA其一阶差数列为

9、4321,BBBB其二阶差数列为,321CCC其三阶差数列为,21DD对高阶等差数列的公差作如下规定令121AAD称为一阶公差；122BBD称为二阶公差；123CCD称为三阶公差；可见，一阶公差就是一阶差分数列的首项，二阶公差就是二阶差分数列的首项设,21DD1KD为K阶等差数列NA的各阶项差数列之首项，则21KKDD0。考察NA的一阶项差数列32221210234211101211123112DCDCDCAADCDCDDCBAADAA1222121021NNNNNNNDCDCDCAA又当KN1时01ND，当2NK时，02KNC，所以上式可写为72121021DCDCAANNNNKKNDC12

10、将上述各式左右分别相加，且两边同时加1A即得KKNKKKNNNDCCCDCCCAA11211110202011利用公式1101NKNKJNNCC即得KKNNNNDCDCACA1111101与之前差分定义中的相对应，上式又可表示为111101ACACANNN11ACKKN这个性质是高阶等差数列中很重要的一个性质，它概括了高阶等差数列的结构特点，通项公式的由来，证明的过程比较长，但思路是非常清晰的，主要就是利用差分的性质，再通过裂项相消就很容易得出证明。接下来再看高阶等差数列的前N项和有什么规律。定理24若数列NA是K阶等差数列，它的前N项和为NS，则NS是1K阶等差数列，且NS11ACN12AC

11、N11ACKKN证明构造数列,032211AAAAA显然，此数列的第1N项就是数列NA的前N项和NS且其一阶差分数列为NA，故此数列为1K阶等差数列，根据定理1，易证出NS11ACN12ACN11ACKKN。这个性质比较简单，主要由前一个性质引来的，只是稍微的推导下就可以得到，但这个性质也很重要，在例题中会经常用到。定理312数列MN为M阶等差数列。其中NMN,。证明因为112211NMNMMNMNMPAPAPAPN1122221NMNMMNMNCACACMCM8其中,2,1MIAI为I阶等差数列，由高阶等差数列的定义知MN为M阶等差数列。那么根据这个定理，可求得（1）2N的前N项之和因122

12、21KKCCKKKK故2131111222NNNKKNKKNCCCCS（2）3N的前N项之和123333KKKCCCK故41332221314NNCCCSNNNN以此类推，任何一个自然数乘方类数列都可以利用这种方法求和。高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前N项和，更深层次的问题是差分方程的求解，解决问题的基本方法有1逐差法其出发点是1111NKKKNAAAA。2待定系数法在已知阶数的等差数列中，其通项NA与前N项和NS是确定次数的多项式关于N的，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得。3裂项相消法其出发点是NA能写成1NNNFFA。4化归法把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶

13、等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的。22求高阶等差数列通项及前N项和以下我们引用几道例题加深对高阶等差数列性质的认识。例18求数列1，4，12，27，51，86，的通项公式。解先作出阶差表91，4，12，27，51，86，3，8，15，24，35，5，7，9，11，2，2，2，显然，原数列是三阶等差数列，此时有1A3，21A5，31A2直接代入公式得NA331N221NN651点评这是一道计算出各阶差分，再直接待入公式得出通项的题目。这个对于巩固差数列的性质有重要作用，且对高阶等差数列有着直观的认识。例24求数列1，3，3，23，63，129，的通项公式及前几项和。解作出此数列的各阶

14、差分数列，不难求出NA1，3，3，23，63，129，NA2，6，20，40，66，NA28，14，20，26，NA36，6，6，所以数列NA是3阶等差数列，根据定理1、23322313311221111101NNNACACACACANNNNN142723121231341231211NNNNACACACACSNNNNN以上都是直接代入公式计算即可得出结果，我们再来看一种根据性质采用代数法再解方程的求出结果的例子。例310求出三阶等差数列1，4，12，27，51，的通项公式及前N项和NS。解已知数列为三阶等差数列，由定理1，其通项公式必为一个关于N的三次多10项式设DCNBNANAN23，并分

15、别取,4,3,2,1N有274441233342221232323DCBADCBADCBADCBA解此线性方程组得1,65,21,31DCBA故1652323NNNAN由推论可知，以该数列的前N项和NS为第1N项的数列NA为四阶等差数列，所以可设EDNCNBNANSN234,分别取5,4,3,2,1N，有955555444444173333522221234234234234EDCBAEDCBAEDCBAEDCBAEDCBA解之得0,32,121,31,121EDCBA，因此NNNNSN3212131121234这个就是利用待定系数法的典型例题，方法很容易掌握，思路也比较简单。就是解方程时稍有

16、点繁琐。这种方法一般使用于任何给出4、5项的高阶等差数列求通项及前N项的题目。例412求和NS22212342231NNN解NS是数列212NNN的前N项和，因为212NNNAN是关于N的四次多项式，所以NA是四阶等差数列，根据定理知，NS是关于N的五次多项式。11212321122KKKKKKKKKK故求NS可转化为NKNKKKKK1321和NKNKKKT121分别求得54321NNNNNKN4321NNNNTN从而10323212NNNNNTKSNNN例5求数列1,357,911131517,的通项。解问题等价于将正奇数1,3,5,按照“第N个组含有12N个数”的规则分组1、3,5,7、9

17、,11,13,15,17,然后求第N组中各数之和NA依分组规则，第N组中的数恰好构成以2为公差的项数为12N的等差数列，因而确定了第N组中正中央这一项，然后乘以12N即得NA将每一组的正中央一项依次写出得数列1,5,13,25,这个数列恰为一个二阶等差数列，不难求其通项为1222NN，故第N组正中央的那一项为1222NN从而121222NNNAN最后介绍一种用多种方法解题的例子，大家可以比较其中的差别。例67已知21NNNAN，求数列NA的前N项和NS。解法1（利用公式求和）由于是N的3次多项式，知为三阶等差数列。又1263318218,6123413123121211AAAAAAAAAAAA

18、A由定理2有43216181864321NNNNCCCCSNNNNN解法2（构造辅助数列求和）令211NNNNUN，则NNNNANNNUUU42141，即NA是由NU确定的查分数列NU41。所以4321412111NNNNUKKKSNKKNKN解法3（待定系数法）由定理2知，NS是四阶等差数列，可令EDNCNBNANSN234把5,4,3,2,1N分别代人上式，并计算出521,SSS，即可得关于EDCBA,的线性方程组，解得方程组可得0,23,411,23,41EDCBA故NNNNSN234112341234总的来说高阶等差数列的通项公式为关于N的K次多项式，在求解时可以根据题目中所给的条件利

19、用不同的方法法求解，而它的前N项和是关于N的1K次多项式，而且前N项和公式的常数项为零，也可以利用待定系数法求得。3高阶等差数列的应用探讨至于高阶等差数列的应用，古今数学书上屡见不鲜，诸如宋代数学家提出的13酒罐堆垛问题，此是底层是长方体的堆垛问题，每上一层，长宽各减一个，这是一个典型的高阶等差数列求和问题，我国著名数学家华罗庚教授在从杨辉三角谈起一文中举了一些堆垛问题说明高阶等差数列的应用，其余如三角垛，圆形垛之类也都属于高阶等差数列求和问题。31高阶等差数列在堆垛中的应用我们利用上面的高阶等差数列性质及求和公式，可以解决每一个堆垛问题，现引用几例说明。例11仓库中堆积酒坛成矩形层，已积压最

20、高层为32只，问堆积9层，它的中间一层可堆积多少只酒坛堆积总数为多少只解根据题意，先列出数列21NNAN6，12，20，30，42，6，8，10，12，2，2，2，这是个二阶等差数列，2,6,61211AAA。直接代入公式得4226646122411415ACACAA43828463669913912919ACACAS答中间一层可堆积42只酒坛，9层共堆积438只酒坛。仓库中堆积不能用重叠法堆积的物品如空缸，圆球，弹药等，一般有3种方法1三角形积层，即2121NNAN例如21NNAN1，3，6，10，2矩形积层，即21NNAN例如42NNAN；15，24，35，48，3正方形积层，即2NAN，

21、1，4，9，16，计算方法就是求二阶等差数列的某一项及其和。14例21仓库中，将不能用重叠法堆积的物件堆成矩形积层。已知第一层为3件，问堆积10层共有多少件如果第一层为6件时，堆积5层共有多少件解1因为2NNAN3，8，15，24，35，5，7，9，11，2，2，2，2,5,31211AAA代入公式123101210111010ACACACS计算得49510S件）2因为21NNAN即6，12，20，30，42，56，6，8，10，12，14，2，2，2，2，2,6,61211AAA代入公式计算得1105S件）例312酒店里把酒坛层层堆积，底层排成一个长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一

22、个，这样堆成一个长方形，求坛的总数。解设底层的长和宽两边分别摆A和B个坛子，又设一共堆了N层，显然BAN,MIN则酒坛总数为112211NBNABABAABS11NBKA1122BAKBAK111212BACBACKK15NBACBACSNKKNKK11121122NBACBACNN111221311111211131BANNBANNNN1336132612BAABNBANN特别地，当NBA时，有2222321N12161NNN例412食品罐头若干个，堆成六角垛顶层一个，以下各层都是正六角形，每边递增一个，设底层每边N个，求总数解先算出底层罐头的个数S161261NS12161N1312161

23、NNNN于是罐头总数为NKNKKS1131NKKNKKCNPN22226311631NNNNCNN3211NNN例5球形物体堆放成底边是矩形，最顶上一层仅一排，有球体K个，共N层，求堆放物体总数。解从上到下，各层球形物体数，构成数列1,23,12,NKNKKK此数列的各阶差分数列分别为,6,4,2KKK162,2,2,可见各层球形物体数构成一个二阶等差数列，且2,2,1211AKAKA故堆放球形的物体总数为22321NNNNCKCKCS62231NKNN以上都是高阶等差数列求和在实际中的应用，其实都比较简单，直接利用给出的数据代人公式就能求得。下面再利用数列差分法及高阶等差数列的一些性质来计算

24、一个特殊的有限项级数的和。32高阶等差数列在求有限级数和中的应用例66设数列NB是公差为0DD的等差数列，试求NKRKKKNNRBBBS111,解令11RKKKKBBBA则有111NRNNNABAB再令NNNABU1（1）则有1NNRNUAB（2）由（2）（1）得NNNNRNUUABB11而DRBBNRN11代人上式得NNNUUADR1117从而121232212111111UUADRUUADRUUADRUUADRNNNNNN将上面N个等式相加，得111UUSDRNN所以CDRABDRUUSNRNNN1111其中DRUC11是一个与N无关的常数（通常由待定系数法确定），在上式中令1N，得CDR

25、ABSR1111由于RDBBASR1111,，代人可得DRBDBBBCR1121这道题也利用高阶等差数列的性质，核心是用裂项相消法。以下几题与本题都有异曲同工之处。例712求NKKS12222222321211解数列的通项为MKK12因此NMMKKKNMMKCCKS11121122NMMMCC1213121821121223242NNNCCNN例812求数列NKKKK12222222215124632463232的和S解注意到此数列的第M项（通项）为21314151121860311421MMMMMKCCCCKKKNMMKKKKS11221NMMMMMCCCC12131415118603114

26、3242526218603114NNNNCCCCNNNNNNNNNNNNNNNNNN12311225211220113211230160724321NNNNNN以上就是高阶等差数列在数学中及生活中的应用，主要都是利用其通项或前N项和公式进行的一些计算，具体要记住其解题模型。另外在解关于有限项级数求和的题目时，要善于利用高阶等差数列的差分性质以及套用高阶等差数列的解题方法进行解题。关于高阶等差数列的应用还有很多很多，例如古代曾使用2次内差法来推算日月五星的经行度数，后来还出现了高次内差法。这些都是高阶等差数列的性质被归纳而利用的例子。随着科技的不断发展，越来越多的行业都需要一些专业性的知识来作为

27、指导，因而高阶等差数列的性质也正被广泛的发掘和利用。例如在现代的计算机数学领域中，某些数据库的建立就会涉及到它。不仅在数学领域，在其他各领域都有高阶等差数列的作用。因此，我撰写本文，为了使高阶等差数19列更广泛的被了解认识而得到应用。总结高阶等差数列是中学等差数列的推广，掌握它的性质和应用对数学解题有很重要的意义和作用。本文通过对高阶等差数列基础知识的阐述，再通过例题的讲解与分析，总结了一些高阶等差数列的性质，一般解题思路和规律，以及一些数学思想方法，对中学数学解题有一定的理论指导意义。致谢本论文是在老师的悉心指导下完成的。从毕业设计题目的选择、到选到课题的研究和论证，开题报告的撰写，再到本本

28、论文正题设计的编写、修改，每一步都有平老师的细心指导和认真的解析，对此我一直心怀感激。同时感谢所有教育过我的专业老师，你们传授的专业知识是我不断成长的源泉也是完成本论文的基础。也感谢我同一组的组员和班里的同学是你们在我遇到难题是帮我解决了一些难题。再次真诚感谢所有帮助过我的老师同学。通过这次毕业设计不仅提高了我独立思考问题解决问题的能力而且培养了认真严谨，一丝不苟的学习态度。由于经验匮乏，能力有限，设计中难免有许多考虑不周全的地方，希望各位老师多加指教。参考文献1李长荣,彭晓东高阶等差数列及其应用J同煤科技,1998,012明知白等差数列与高阶等差数列J中学数学,2007,073邓勇高阶等差数

29、列的一个性质J数学通讯,2005,214郭要红,戴普庆中学教学研究M合肥安徽大学出版社,1998,113283355张教森,董吕云高阶等差数列J宁夏大学学报自然科学版,1982,016陶家元高阶等差数列的前N项求和J成都大学学报,1999,037陈传理,张同君竞赛数学教程M北京高等教育出版社,2005,041001038高巧玲高阶等差数列的分析J忻州师范学院学报,2009,059韩世忠关于高阶等差数列的问题从等差数列谈起J开封教育学院学报,1992,042010吴强阶差数列的几个性质及应用J河西学院学报,2008,0211张建波M阶等差数列的前N项和J科教文汇下旬刊,2007,0912吴洪生高阶等差数列的简易求和法J数学教学,1983,03