第十一讲二次函数及其应用.DOC

1、第十一讲 二次函数及其应用 第 1 课时 二次函数 1 (2017 随州中考 )对于二次函数 y x2 2mx 3， 下列结论错 误的是 ( C ) A 它的图象与 x 轴有两个交点 B 方程 x2 2mx 3 的两根之积为 3 C 它的图象的对称轴在 y 轴的右侧 D x m 时 ， y 随 x 的增大而减小 2 在下列二次函数中 ， 其图象对称轴为 x 2 的是 ( A ) A y (x 2)2 B y 2x2 2 C y 2x2 2 D y 2(x 2)2 3 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图 ， 点 C 在 y 轴的正半轴上 ， 且 OA OC， 则 ( A ) A ac 1

2、 b B ab 1 c C bc 1 a D以上都不是 ,(第 3 题图 ) ,(第 4 题图 ) 4 (2017 齐齐哈尔中考 )如图 ， 抛物线 y ax2 bx c(a0) 的对称轴为直线 x 2， 与 x 轴的一个交点在( 3， 0)和 ( 4， 0)之间 ， 其部分图象如图所示 ， 则下列结论： 4a b 0； c 0； 3a c 0； 4a 2b at2 bt(t 为实数 )； 点 92， y1 ， 52， y2 ， 12， y3 是该抛物线上的点 ， 则 y1 y2 y3， 正确的个数有( B ) A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 5 (2017 安顺中考 )二次函

3、数 y ax2 bx c(a0) 的图象如图 ， 给出下列四个结论： 4ac b2 0； 3b 2c 0； 4a c 2b； m(am b) b a(m1) ， 其中结论正确的个数是 ( C ) A 1 B 2 C 3 D 4 ,(第 5 题图 ) ,(第 6 题图 ) 6 如图为二次函数 y ax2 bx c(a0) 的图象 ， 则下列说法： a 0； 2a b 0； a b c 0； 当 1 x 3 时 ， y 0 其中正确的个数为 ( C ) A 1 B 2 C 3 D 4 7 若抛物线 y (x m)2 (m 1)的顶点在第一象限 ， 则 m 的取值范围为 ( B ) A m 1 B

4、m 0 C m 1 D 1 m 0 8 (2017 扬州中考 )如图 ， 已知 ABC 的顶点坐标分别为 A(0， 2)， B(1， 0)， C(2， 1)， 若二次函数 y x2bx 1 的图象与阴影部分 (含边界 )一 定有公共点 ， 则实数 b 的取值范围是 ( C ) A b 2 B b 2 C b 2 D b 2 9 (2017 枣庄中考 )已知函数 y ax2 2ax 1(a 是常数 ， a 0)， 下列结论正确的是 ( D ) A 当 a 1 时 ， 函数图象经过点 ( 1， 1) B 当 a 2 时 ， 函数图象与 x 轴没有交点 C 若 a 0， 函数图象的顶点始终在 x 轴

5、的下方 D 若 a 0， 则当 x1 时 ， y 随 x 的增大而增大 10 (2017 鄂州中考 )如图抛物线 y ax2 bx c 的图象交 x 轴于 A( 2， 0)和点 B， 交 y 轴负半轴于点 C， 且OB OC. 下列结论： 2b c 2； a 12； ac b 1； a bc 0.其中正确的个数有 ( C ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 11 (2017 陕西中考 )已知抛物线 y x2 2mx 4(m 0)的顶点 M 关于坐标原点 O 的对称点为 M ， 若点 M 在这条抛物线上，则点 M 的坐标为 ( C ) A (1， 5) B (3， 13) C (

6、2， 8) D (4， 20) 12 抛物线 y x2 2x 3 的顶点坐标是 _( 1， 2)_ 13 二次函数 y 3x2 的图象如图 ， 点 O 为坐标原点 ， 点 A 在 y 轴的正半轴上 ， 点 B， C 在二次函数 y 3x2的图象上 ， 四边形 OBAC 为菱形 ， 且 OBA 120， 则菱形 OBAC 的面积为 _2 3_ ,(第 13 题图 ) ,(第 14 题图 ) 14 (2017 乌鲁木齐中考 )如图 ， 抛物线 y ax2 bx c 过点 ( 1， 0)， 且对称轴为直线 x 1， 有下列结论：abc 0； 10a 3b c 0； 抛物线经过点 (4， y1)与点

7、( 3， y2)， 则 y1 y2； 无论 a， b， c 取何值 ， 抛物线都经过同一个点 ca， 0 ； am 2 bm a0 ， 其中所有正确的结论是 _ _ 15 (2017 鹤岗中考 )如图 ， 已知抛物线 y x2 mx 3 与 x 轴交于点 A， B 两点 ， 与 y 轴交于 C 点 ， 点 B 的坐标为 (3， 0)， 抛物线与直线 y 32x 3 交于 C， D 两点连结 BD， AD. (1)求 m 的值； (2)抛物线上有一点 P， 满足 S ABP 4S ABD， 求点 P 的坐标 解： (1) 抛物线 y x2 mx 3 过 (3， 0)， 0 9 3m 3， m 2

8、； (2)由y x2 2x 3，y 32x 3， 得x1 0，y1 3， x2 72，y2 94， D 72， 94 . S ABP 4S ABD， 12AB |yP| 4 12AB 94， |yP| 9， yP 9 ， 当 y 9 时 ， x2 2x 3 9， 无实数解 ， 当 y 9 时 ， x2 2x 3 9， x1 1 13， x2 1 13， P(1 13， 9)或 (1 13， 9) 16 (2017 随州中考 )在平面直角坐标系中 ， 我们定义直线 y ax a 为抛物线 y ax2 bx c(a， b， c 为常数 ， a 0)的 “ 梦想直线 ” ；有一个顶点在抛物线上 ，

9、另有一个顶点在 y 轴上的三角形为其 “ 梦想三角形 ” 备用图 已知抛物线 y 2 33 x2 4 33 x 2 3与其 “ 梦想直线 ” 交于 A， B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )， 与 x 轴负半轴交于点 C. (1)填空：该抛物线的 “ 梦想直线 ” 的表达式为 _， 点 A 的坐标为 _， 点 B 的坐标为 _； (2)如图 ， 点 M 为线段 CB 上一动点 ， 将 ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折 ， 点 C 的对称点为 N， 若 AMN 为该抛物线的 “ 梦想三角形 ” ， 求点 N 的坐标； (3)当点 E 在抛物线的对称轴上运动时 ， 在该抛物线的 “ 梦想

10、直线 ” 上 ， 是否存在点 F， 使得以点 A， C， E， F为顶点的四边形为平行四边形？若存在 ， 请直接写出点 E， F 的坐标； 若不存在 ， 请说明理由 解： (1)y 2 33 x 2 33 ； ( 2， 2 3)； (1， 0)； (2)如答图 ， 过 A 作 ADy 轴于点 D. 答图 在 y 2 33 x2 4 33 x 2 3中 ， 令 y 0 可求得 x 3 或 x 1， C( 3， 0)， 且 A( 2， 2 3)， AC （ 2 3） 2（ 2 3） 2 13. 由翻折的性质可知 AN AC 13， AMN 为梦想三角形 ， N 点在 y 轴上 ， 且 AD 2.

11、在 Rt AND 中 ， 由勾股定理可得 DN AN2 AD2 13 4 3， OD 2 3， ON 2 3 3 或 ON 2 3 3， N 点坐标为 (0， 2 3 3)或 (0， 2 3 3)； (3) 当 AC 为平行四边形的边时 ， 如答图 ， 过 F 作对称轴的垂线 FH， 过 A 作 AKx 轴于点 K， 答图 则有 ACEF 且 AC EF， ACK EFH. 在 ACK 和 EFH 中 ， ACK EFH ， AKC EHF ，AC EF， ACK EFH(A.A.S.)， FH CK 1， HE AK 2 3， 抛物线对称轴为直线 x 1， F 点的横坐标为 0 或 2. 点

12、 F 在直线 AB 上 ， 当 F 点横坐标为 0 时 ， 则 F 0， 2 33 ， 此时点 E 在直线 AB 下方 ， E 到 y 轴的距离为 EH OF 2 3 2 33 4 33 ， 即 E 点纵坐标为 4 33 ， E 1， 4 33 ； 当 F 点的横坐标为 2 时 ， 则 F 与 A 重合 ， 不合题意 ， 舍去； 当 AC 为平行四边形的对角线时 ， C( 3， 0)， 且 A( 2， 2 3)， 线段 AC 的中点坐标为 ( 2.5， 3) 设 E( 1， t)， F(x， y)， 则 x 1 2( 2.5)， y t 2 3， x 4， y 2 3 t， 代入直线 AB 表

13、达式可得 2 3 t 2 33 ( 4) 2 33 ， 解得 t 4 33 ， E 1， 4 33 ， F 4， 10 33 ； 综上可知存在满足条件的点 F， 此时 E 1， 4 33 ， F 0， 4 33 或 E 1， 4 33 ， F 4， 10 33 . 17 (2017 白银中考 )如图 ， 已知二次函数 y ax2 bx 4 的图象与 x 轴交于点 B( 2， 0)，点 C(8， 0)， 与 y轴交于点 A. (1)求二次函数 y ax2 bx 4 的表达式； (2)连结 AC， AB， 若点 N 在线段 BC 上运动 (不与点 B， C 重合 )， 过点 N 作 NMAC ，

14、交 AB 于点 M， 当 AMN 面积最大时 ， 求 N 点的坐标； (3)连结 OM， 在 (2)的结论下 ， 求 OM 与 AC 的数量关系 解 ： (1)将点 B， 点 C 的坐标分别代入 y ax2 bx 4， 得4a 2b 4 0，64a 8b 4 0， 解得 a 14，b 32， 二次函数的表达式为 y 14x2 32x 4； (2)设点 N 的坐标为 (n， 0)(2 n 8)， 则 BN n 2， CN 8 n. B( 2， 0), C(8， 0)， BC 10. 在 y 14x2 32x 4 中 ， 令 x 0， 解得 y 4， 点 A(0， 4)， OA 4， MN AC，

15、 AMAB NCBC 8 n10 . OA 4， BC 10， S ABC 12BC OA 12 10 4 20. S ABN 12BN OA 12(n 2)4 2(n 2)， 又 S AMNS ABN AMAB CNCB 8 n10 ， S AMN 8 n10 S ABN 15(8 n)(n 2) 15(n 3)2 5. 当 n 3 时 ， 即 N(3， 0)时 ， AMN 的面积最大； (3)当 N(3， 0)时 ， N 为 BC 边中点 M 为 AB 边中点 ， OM 12AB. AB OB2 OA2 4 16 2 5， AC OC2 OA2 64 16 4 5， AB 12AC， OM

16、 14AC. 第 2 课时 二次函数的应用 1 图 是图 中拱形大桥的示 意图，桥拱与桥面的交点为 O， B， 以点 O 为原点 ， 水平直线 OB 为 x 轴 ， 建平面直角坐标系 ， 桥的拱形可近似看成抛物线 y 1400(x 80)2 16， 桥拱与桥墩 AC 的交点 C 恰好在水面 ， 有ACx 轴 ， 若 OA 10 m， 则桥面离水面的高度 AC 为 ( B ) 图 图 A 16940 m B.174 m C 16740 m D.154 m 2如图 ， 抛物线 y ax2 bx c(a0) 过点 ( 1， 0)和点 (0， 3)， 且顶点在第四象限 ， 设 P a b c， 则P

17、的取值范围是 ( B ) A 3 P 1 B 6 P 0 C 3 P 0 D 6 P 3 3 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形 ， 建立如图所示的平面直角坐标系 ， 其函数的关系式为 y 125x2， 当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时 ， 这时水面宽度 AB 为 ( C ) A 20 m B 10 m C 20 m D 10 m 4 在平面直角坐标系中 ， 将抛物线 y 12x2 向下平移 1 个单位 ， 再向左平移 1 个单位 ， 得到的抛物线的表达式 ( A ) A y 12x2 x 32 B y 12x2 x 3 C y 3x2 x 3 D y 3x2 x 3 5 (2017 江汉

18、中考 )飞机着陆后滑行的距离 s(单位： m)关于滑行的时间 t(单位： s)的函数表达式是 s 60t32t2， 则飞机着陆后滑行的最长时间为 _20_s. 6 九年级数学兴趣小组经过市场调查 ， 得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表： 售价 (元 /件 ) 100 110 120 130 月销量 (件 ) 200 180 160 140 已知该运动服的进价为每件 60 元 ， 设售价为 x 元 (1)请用含 x 的式子表示： 销售该运动服每件的利润 是 _元； 月销量是 _件； (直接写出结果 ) (2)设销售该运动服的月利润为 y 元 ， 那么售价为多少时 ， 当月的利润最大 ，

19、 最大利润是多少？ 解： (1)(x 60)； ( 2x 400)； (2)由题意 ， 得 y (x 60)( 2x 400) 2x2 520x 24 000 2(x 130)2 9 800， 售价为 130 元 时 ，当 月的利润最大，最大利润是 9 800 元 7 (2017 随州中考 )某水果店在两周内 ， 将标价为 10 元 /斤的某种水果 ， 经过两次降价后的价格为 8.1 元 /斤 ， 并且两次降价的百分率相同 (1)求该种水果每次降价的百分率； (2)从第一次降价的第 1 天算起 ， 第 x 天 (x 为整数 )的售价、销量及储存和损耗费 用的相关信息如表所示 已知该种水果的进价

20、为 4.1 元 /斤 ， 设销售该水果第 x(天 )的利润为 y(元 )， 求 y 与 x(1x 15)之间的函数 关系式 ， 并求出第几天时销售利润最大？ 时间 x(天 ) 1x 9 9x 15 x15 售价 (元 /斤 ) 第 1 次降价 后的价格 第 2 次降价 后的价格 销量 (斤 ) 80 3x 120 x 储存和损 耗费用 (元 ) 40 3x 3x2 64x 400 (3)在 (2)的条件下 ， 若要使第 15 天的利润比 (2)中最大利润最多少 127.5 元 ， 则第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元？ 解： (1)设该种水果每次降价的百分率是 x. 10(1

21、 x)2 8.1， x 10%或 x 190%(舍去 ) 答： 该种水果每次降价的百分率是 10%； (2)当 1x 9 时 ， 第 1 次降价后的价格： 10 (1 10%) 9(元 )， y (9 4.1)(80 3x) (40 3x) 17.7x 352， 17.7 0， y 随 x 的增大而减小 ， 当 x 1 时 ， y 有最大值 ， y 大 17.71 352 334.3(元 )， 当 9x 15 时 ， 第 2 次降价后的价格： 8.1 元 ， y (8.1 4.1)(120 x) (3x2 64x 400) 3x2 60x 80 3(x 10)2 380， 3 0， 当 9x1

22、0 时 ， y 随 x 的增大而增大 ， 当 10 x 15 时 ， y 随 x 的增大而减小 ， 当 x 10 时 ， y 有最大值 ， y 大 380(元 )， 综上所述 ， y 与 x(1x 15)之间的函数关系式为： y 17.7x 352（ 1x 9） ， 3x2 60x 80（ 9x 15） ， 第 10 天时销售利润最大； (3)设第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降 a 元 ， 由题意 ， 得 380 127.5(4 a)(120 15) (315 2 6415 400)， 252 5 105(4 a) 115， a 0.5. 答：第 15 天在第 14 天的价格基础

23、上最多可降 0.5 元 8 (2017 葫芦岛中考 )五一期间 ， 恒大影城隆重开业 ， 影城每天运营成本为 1 000 元 ， 试营业期间统计发现 ， 影城每天售出的电影票张数 y(张 )与电影票售价 x(元 /张 )之间满足一次函数： y 4x 220(10x50 ， 且x 是整数 )， 设影城每天的利润为 w(元 )(利润票房收入运营成本 ) (1)试求 w 与 x 之间的函数关系式； (2)影城将电影票售价定为多少元 /张时 ， 每天获利最大？最大利润是多少元？ 解： (1)根据题意 ， 得 w ( 4x 220)x 1 000 4x2 220x 1 000； (2) w 4x2 22

24、0x 1 000 4(x 27.5)2 2 025， 当 x 27 或 28 时 ， w 取得最大值 ， 最大值为 2 024， 答：影城将电影票售价定为 27 或 28 元 /张时 ， 每天获利最大 ， 最大利润是 2 024 元 9 (2017 扬州中考 )农经公 司以 30 元 /kg 的价格收购一批农产品进行销售 ， 为了得到日销售量 p(kg)与销售价格 x(元 /kg)之间的关系 ， 经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格 x (元 /kg) 30 35 40 45 50 日销售量 p (kg) 600 450 300 150 0 (1)请你根据表中的数据 ， 用所学过的一次函数

25、、二次函数、反比例函数的知识确定 p 与 x 之间的函数表达式； (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格 ， 才能使日销售利润最大？ (3)若农经公司每销售 1 kg 这种农产品需支出 a 元 (a 0)的相关费用 ， 当 40x45 时 ， 农经公司的日获利的最大值为 2 430 元 ， 求 a 的值 (日获利日销售利润 日支出费用 ) 解： (1)假设 p 与 x 成一次函数关系 ， 设函数关系式为 p kx b， 则30k b 600，40k b 300， 解得 k 30，b 1 500， p 30 x 1 500， 检验：当 x 35， p 450；当 x 45， p 150；

26、当 x 50， p 0， 符合一次函数表达式 ， 所求的函数表达式为 p 30x 1 500； (2)设日销售利润 w p(x 30) ( 30x 1 500)(x 30)即 w 30x2 2 400x 45 000， 当 x 2 4002 （ 30） 40 时 ， w 有最大值 3 000 元 ， 这批农产品的销售价格定为 40 元 ， 才能使日销售利润最大； (3)日获利 w p(x 30 a) ( 30x 1 500)(x 30 a)， 即 w 30x2 (2 400 30a)x (1 500a 45 000)， 对称轴为 x 2 400 30a2 （ 30） 40 12a， 若 a 10， 则当 x 45 时 ， w 有最大值 ， 即 w 2 250 150a 2 430(不合题意 )； 若 a 10，则当 x 40 12a 时 ， w 有最大值 ， 将 x 40 12a 代入 ， 可得 w 30 14a2 10a 100 ， 当 w 2 430 时 ， 2 430 30 14a2 10a 100 ， 解得 a1 2， a2 38(舍去 ) 综上所述 ， a 的值为 2.