1、西南石油大学高等数学专升本讲义 无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分
2、钟）。【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了数列的极限、（、）函数的极限、（、）函数的极限这七种趋近方式。下面我们用表示上述七种的某一种趋近方式，即定义：当在给定的下，以零为极限，则称是下的无穷小，即。例如, 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。定义： 当在给定的下，无限增大，则称是下的无穷大，即。显然，时，都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 ， ，所以当时为无穷小，当 时为无穷大。2无穷小与无穷
3、大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系:定理1 其中是自变量在同一变化过程（或）中的无穷小.证：（必要性）设令则有（充分性）设其中是当时的无穷小，则 【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与
4、无穷小的乘积是无穷小.如：，推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，观察各极限：不可比.极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1定义: 设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且 例1 证：例2 解2常用等价无穷小:（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（7） （8） （9）用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如3等价无穷小替换定理：证：例3 （1）； （2） 解: （1） 故原极限= 8（2）原极限=例4 错解: =0正解: 故原极限【注意】和、差形式
5、一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例5 解: 原式三、极限的简单计算1. 代入法：直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，即为其极限，例如；若不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子（分母）有理化法例如， 又如，4. 化无穷大为无穷小法例如，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出又如，（分子分母同除）。再如，（分子分母同除）。5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，（无穷小量乘以有界量）。又
6、如，解：商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3例5。6. 利用两个重要极限求极限（例题参见1.4例3例5）7. 分段函数、复合函数求极限例如，解: 左右极限存在且相等, 【启发与讨论】思考题1：解： 无界， 不是无穷大结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若，且，问：能否保证有的结论？试举例说明.解：不能保证. 例 思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能例如当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大，故当时和不能比较.【课堂练习】求下列函数的极限（1）；解：原极限=（2）求【分析】 “”型，拆项。解：原极限=（3
7、） ； 【分析】“抓大头法”，用于型解：原极限=，或原极限（4）；【分析】分子有理化解：原极限=（5）【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。解：=（6）【分析】“”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。 解：原极限=6（7）解: 先变形再求极限.【内容小结】一、无穷小（大）的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1) 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3） 无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比较:1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件.三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.9
