1、圆锥曲线与方程 椭 圆 知识点一椭圆及其标准方程1椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|=2c；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（时为线段，无轨迹）。2标准方程： 焦点在x轴上：（ab0）； 焦点F（c，0）焦点在y轴上：（ab0）； 焦点F（0, c） 注意：在两种标准方程中，总有ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1 二椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1）椭圆（ab0） 横坐标-axa ,纵坐标-bxb （
2、2）椭圆（ab0） 横坐标-bxb,纵坐标-axa 2.对称性 椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b） （2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4离心率 （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，记作e（）， 是圆；e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所
3、处的位置无关。（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0e1）的点的轨迹为椭圆。（）焦点在x轴上：（ab0）准线方程：焦点在y轴上：（ab0）准线方程：小结一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量）， 特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6.几何性质 （1） 最大角 （2）最大距离，最小距离例题讲解：一.椭圆定义：方程化简的结果是 2若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是 3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则
4、P到另一焦点距离为 二利用标准方程确定参数1.若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是 .（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 .（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是 .2.椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,3椭圆的焦距为，则= 。4椭圆的一个焦点是，那么 。三待定系数法求椭圆标准方程1若椭圆经过点，则该椭圆的标准方程为 。2焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为 3焦点在轴上，椭圆的标准方程为4. 已知三点P（5，2）、（6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P的椭
5、圆的标准方程；变式：求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。四焦点三角形1椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是 。2设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少？的面积的最大值是多少？3设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积为 。变式：已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点若，求的面积五离心率的有关问题1.椭圆的离心率为，则 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为 3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5.在中，若
6、以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 最值问题：1.椭圆两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|PF2|的最大值为_，最小值为_2、椭圆两焦点为F1、F2，A(3，1)点P在椭圆上，则|PF1|+|PA|的最大值为_，最小值为 _3、已知椭圆，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。4.设F是椭圆=1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P使|PA|+2|PF|最小,求P点坐标 最小值 .同步测试 1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( )A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线 2、椭圆左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则CDF1的周长为_ 3已知方程表示椭圆，则k的取值范围是( ) A -1k0 C k0 D k1或k0)有 (A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对19、椭圆与（0k9）的关系为 (A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴20、椭圆上一点P到左准线的距离为2，则点P到右准线的距离为 21.点为椭圆上的动点,为椭圆的左、右焦点,则的最小值为_ ,此时点的坐标为_. 7
