1、第二十講,無窮數列與級數,20.1無窮數列,形如 ,的數列，稱之為無窮數列，通常以 或 ，或 表示之。例題1：例題2：例題3： 表,定義： 若存在一數 ，使得 ，則稱數列 收斂到 值，否則稱 發散。例題4： 收斂到0，理由是例題5： 收斂到 ，理由是,例題6： 發散，理由是 不存在。例題7： 收斂到1，理由是 。,定義： (i)若 ，則稱數列 是遞增數列。 (ii)若 ，則稱數列 是遞減數列。 (iii)若 ，則稱數列 是非遞增數列。 (iv)若 ，則稱數列 是非遞減數列。 (v)上述(i) ,(ii) ,(iii) ,(iv)的數列皆稱為單調數列。,例題8：0,2,4,6,8,10,.是遞增
2、數列。例題9： 是遞減數列。例題10：4,4,5,5,6,6,7,7,.是非遞減數列。例題11： 是非遞增數列。,例題12：試證 是遞減數列。 Ans. : 令 , 則有 又 = 1 知 f 在 1, ) 遞減 ，即 是遞減。,例題13：試證 是遞增數列。 Ans.： 利用上題的微分方法，同樣可得 是遞增。,例題14： 收斂到0。例題15： 收斂到2。例題16： 發散。,例題17： 發散。 討論： 什麼樣的數列 會收斂？,觀察：,定義： 若存在一正整數M，使得| | ， n=1,2, ， 則稱為一有界數列。例題18： (i) 有 | | , n=1,2,， 所以是 有界數列。,例題19： =
3、= 是有界數列。,定理1： 若 是有界且單調數列，則 收斂。說明： (i) 有界| | n=1,2, -M M,(ii)有界且單調數列，意指 是遞增(遞減)數列。,-M,M,例題20：試證 是收斂數列。 Ans. ： 得數列為遞減。,=,另一方面， 得數列是有界， 由定理1知數列收斂。,例題21：求數列 的極限。 Ans.： 考慮 由於| | ， n=1,2, 且 ， n=1,2, 知數列是有界且單調。,利用定理1得數列收斂。 令 有代入 , 得,化簡為 解得 (取正數) 即 。,20.2 無窮級數,形如 的數列，稱之為無窮級數，通常以 或 表示之。,例題1： (i) (ii),定義： (i)
4、對級數 ，令 ，n=1,2, ，則稱 是級數 的前n項部分和。 (ii)若 收斂到 ，則稱級數 收斂到 值，通常以 表示，否則稱級數為發散。,例題2： 級數 的,例題3：求 的和 Ans.：,=,例題4： 1+1+1+.級數 是發散。,有,例題5： 1-1+1-1+.級數有 不存在 的級數為發散。,定理1： (i)若 收斂，則 (ii)若 或不存在，則 發散。Proof： (i) 收斂，可令 又 兩邊取極限，得,例題6：試證 發散 Ans.： 發散。,例題7：試證調和級數 為發散,Ans.：,定理2： 已知 的每一項 皆不為負數( )， 且 ，則有下列結果： (i)若 不是有界，則 發散； (
5、ii)若 是有界數列，則 收斂。,Proof： 利用有界且單調數列一定收斂的定理， 的每一項皆不為負數，得 為遞增數 列， (i)若 不是有界，加上 是遞增得 發散， 即 發散。,(ii)若 是有界，加上 遞增，由單調且有界數列一定收斂的定理，得 收斂，即 收斂。,例題8：試證 收斂。 Ans.：,知 是有界數列，由定理 2.，得 收斂。,定理3： 已知幾何級數 (i)若 ，則 收斂到 。 (ii)若 ，則 發散。,Proof： 取極限後，得,(i)若 ，知 ，得 收斂。 即 得證。,(ii)若 ，得 發散 即 發散，得證。,例題： (i) 收斂到 (ii) 0.3+0.03+0.003+0.
6、0003+,定理4： 若 ，且C為常數，則有下列 結果： (i) (ii),20.3 正項級數,正項級數， ， ， 例題1： (i) ，正項級數； (ii) ，不是正項級數。,定理1 (比較檢驗法) 假設 皆為正項級數 (i)若 ( 為某固定正整數)，且 收斂，則 收斂。 (ii)若 ( 為某固定正整數)，且 發散，則 發散。,定理2 (比值檢驗法) 假設 是正項級數，且 ，則有下列結果： (i)若 ，則收斂。 (ii)若 ，則發散。 (iii)若 ，則無結論。,討論： 觀察幾何級數與,例題2：試證 收斂 Ans.： 又 收斂 收斂 。,例題3：試證 發散 Ans.： 且 發散 發散,例題4：判斷 是否收斂？ Ans.： 利用比值檢驗法,例題5： 利用比值檢驗法 收斂,例題6： 利用比值檢驗法，無法判斷發散或 收斂。,定理3 (積分檢驗法) 設 f 在區間 是連續，正值，非遞 增， 且 ，則 收斂 若且為若 收斂。,Proof：,另一方面，,例題7： 令f(x)= ,有 =收斂,定理4 (極限檢驗法) 設 ， 皆為正項級數，且 (i)若 L0，則 同時收斂或同時發 散。 (ii)若 L=0 且 收斂，則 收斂。,(iii)若 ，且 發散，則 發散 說明： 比較兩級數 即可感受其道理。,例題8： 且 發散 發散,
