1、第四章 中学数学的思想和方法,第一节 中学数学思想,一集合思想与对应思想 集合论的创建者是德国数学家G.康托尔。康托尔古典集合论中的主要思想方法是概括原则、外延原则、一一对应原则等。其中概括原则用于造集，外延原则用于确定集与集的相等，一一对应原则用于引出基数概念。集合论的产生为经典数学提供了理论基础。随着现代数学基础研究的深入，已使集合论的概念、思想和方法渗透到现代数学的各个分支，使集合论在现代数学中占据了越来越重要的位置。 本部分思考题和研究计划： 初中（高中）阶段集合思想的应用 提出中学数学教学过程中集合思想教学的问题 对应是一个原始概念。对应思想是指人的思维对两个集合元素之间联系的把握。
2、它是一种重要的数学思想。许多具体的数学方法都来源于对应思想。初等数学中的对应思想主要体现在数形结合的思想、函数的思想及变换的思想等方面。 本部分思考题和研究计划：初中（高中）阶段对应思想的应用 提出中学数学教学过程中对应思想教学的问题,二、符号化思想 数学离不开符号，数学的符号化语言能够不分国家和种族到处通用。英国著名的哲学家、数学家罗索说过：什么是数学？数学就是符号加逻辑。数学的符号化思想随着数学发展的需要逐步形成，而符号化思想的发展又成为数学发展的重要推动因素。 本部分思考题和研究计划： 符号化思想在中学数学中的运用 列方程解应用题的思想,三极限思想 古代人们在揭示事物的无限可分性时，已萌
3、芽了极限思想。随着微积分应用的深入，遇到的数量关系也日趋复杂，原有的方法已不够用了。19世纪法国数学家柯西在总结前人成果的基础上终于建立起微积分的理论基础-极限论。,四随机思想 人们在社会实践活动中常常遇到两类性质截然不同的现象：一类是必然现象另一类是随机现象（也称偶然现象）。对于必然现象，条件和结果之间存在着必然性的联系，它可以由条件预知结果。但对随机现象，由于条件与结果之间不存在必然性联系，因此不能用通常的算术、代教、三角来阐释随机现象的规律，就需要概率论及随机过程的理论。随机思想的实质：发现客观事物具有或然性特征，考察随机现象的各种可能性，以辅助决策并对未来进行预测。尽管随机现象从个体上
4、看，似乎没有什么规律存在，但当它大量出现时，却呈现出一种总体规律性，这就是统计规律性。随机思想在高中阶段可通过概率论的学习得以渗透，而以概率论为基础的统计初步在小学阶段就学习了一些基本概念。,第二节 中学数学方法,一关于的数学思维方式 1 1 分析与综合分析与综合是思维过程的基本环节，它们是相互依存的。当我们对某一事物进行分析时，也总在揭示这一事物的各个部分、特征、各个方面之间的联系、关系和依存性，就是说，也在进行综合。分析和综合可以在不同的水平上进行：可以在直接摆弄物体的情况下进行分析综合；也可以在直观形象的水平上进行分析综合；还可以在思想上对抽象的事物进行分析综合。 22演绎法 演绎法推理
5、是从一般原理到特殊事例的推理。也就是以某事物 的一般判断为前提，作出这类事物的个别特殊事物的判断的思维形式。以演绎推理为主要内容的科学研究方法叫演绎法。 简单的演绎推理一般是通过三段论的形式来实现的。它的理论基础是公理：如果集合M的所有元素具有（或不具有）性质P，如果x是集合M的元素，则x也具有（或不具有）性质P。三段论包括大前提、小前提、结论三个判断。在演绎推理中，如果大前提和小前提都真实，那么按三段论形式推出的结论必是真实的。因此，演绎推理可以作为严格的推理方法。,33 比较法 就是对问题进行分析，比较同类事物的不同之处及异类事物的相同之处，获得有关问题的结论。在立体几何、分式、指数函数与
6、对数函数等内容的学习过程中都要使用这一方法。 44 归纳法 可分为完全归纳法和不完全归纳法，前者是逻辑推理方法，而后者属于合情推理范畴，以此得出的结论必须进行逻辑检验。 55 一般化与特殊化 面对问题有时可进行一般化处理，得出普遍成立的结论，再研究具体问题；有时将一个广义化的问题特殊化，可得到简捷的问题解决方式，且不破坏原问题的解。 66概括性与系统性 概括性与系统性方法在研究数学结构、建立数学认知体系等方面有着重要应用。,二几种常见的解题方法 2 1 化归法 ：就是用联系、运动、发展变化的观点来看待问题，把有待解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或容易解决的问须。化归法的实质就是
7、对问题进行变形，促使矛盾转化。转出的方式要根据题目的内容灵活运用。 2 2 假设法 ：假设法是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种解题思想方法。 23逆推法 ：采用与事情发生过程相反的顺序思考的解题方法叫做逆推法。,2 4 枚举法 ：解某些数学题时，有时要根据题目的一部分条件，把可能的答案一一列举出来，然后根据另一部分条件检验，筛选出题目的答案。这种解题方法叫枚举法。 2 5 类比法 ：“类比”是根据两个或两类事物有些属性相同，推测它们另一些属性也可能相同的推理。在解题中，根据题中所求问题与已知条件相类似的关系，利用类比推理，找类比模型，从而寻找解题途径的方法叫类比法。 例16 时钟六点整，分针与时针正好在一条直线上，至少再过多少时间，两针重合？在思考此题时，如果把时针1小时所走的一格看作路程单位，那么就可以联想到行程问题：“甲乙两人同时同向而行，甲在乙前面6千米，甲每小时行1千米，乙每小时行12千米。问乙经过多少时间能追上甲？”通过“分针、时针重合”与“追及”的类比，就可以找到解题途径，求出两针第一次重合时间为6（12 - 1）=（小时）即32分钟。,三数学中常用的一般方法公理化方法 数学模型法,四数学中的典型方法构造法反证法,
