环R[x]的性质.doc

1、2012届学士学位毕业论文环RX的性质学号姓名班级88888指导教师专业数学与应用数学系别数学系完成时间2012年5月学生诚信承诺书本人郑重声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果,也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名日期论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定,即学校有权保留送交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容,可以

2、采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。签名日期指导教师声明书本人声明该学位论文是本人指导学生完成的研究成果,已经审阅过论文的全部内容,并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。指导教师签名时间摘要本文主要研究了一元多项式环RX的一些基本性质以及不同的一元多项式环之间的同态性质得到了RX是交换环等价于R是交换环（定理21）；RX是整环等价于R是整环（定理22）；如果环I是环R的理想,则环IX是环RX的理想（定理23）；当R是交换环时，RX的元素FX是零因子的充要条件为在R中存在非零元A，使得0AFX（定理24）；最后研究了环1RX到环2RX的一些同态性质,即定理31、32、33

3、、34关键词环；理想；同态PROPERTIESOFRINGRXABSTRACTINTHISPAPER，WEWILLDISCUSSSOMEFUNDAMENTALPROPERTIESOFRXANDHOMOMORPHISMBETWEENTHEMABOUTTHEFUNDAMENTALPROPERTIESOFRX,WEWILLGETTHEFOLLOWINGRESULTSRXISAEXCHANGERINGONLYIFRISAEXCHANGERING；RXISAINTEGRALDOMAINONLYIFRISAINTEGRALDOMAINTHEOREM22；IFIISANIDEALOFR，THENXIISAN

4、IDEALOFRXTHEOREM23；ASUFFICIENTANDNECESSARYCONDITIONFORFXINRXTOBEAZERODIVISORWILLBEGIVENFORACOMMUTATIVERINGRTHEOREM24INTHEENDWEWILLDISCUSSSOMEPROPERTIESOFHOMOMORPHISMBETWEENTWOPOLYNOMIALRINGSANDTHENWEWILLGETTHEOREM31,32,33,34KEYWORDSRING；IDEAL；HOMOMORPHISM目录1基本概念12环RX的基本性质43环RX的同态7参考文献12致谢131环RX的性质1基

5、本概念定义11设R是一个有单位元的交换环,X是R上的不定元，下面的形式表达式01NNFXAAXAX（其中01,NAAAR,IZ）的全体记作RX在RX中定义加法和乘法如下任取FX,GXRX,设1NIIIFXAX,1MJJJGXBX加法在表示FX和GX的和时,如果NM,为了方便起见,在中令110NNMBBB,则1NJJJGXBX111NNNIJKIJKKIJKFXGXAXBXABX；乘法指的是将FX与GX的每一项相乘,然后将这些乘积相加,即1111NNNNIJIJIJIJIJIJFXGXAXBXABX定义12设R是一个非空集合,其上具有两种代数运算,记作“”（称为加法）与“”（称为乘法）,如果这些

6、运算满足1R,是一个交换群；2R,是一个半群；3左、右分配律成立,即对,ABCR,都有ABCABAC,BCABACA,则称代数系统R,是一个环RING,简称R是一个环定义13设R是一个环,0AR,若存在0BR,使得0AB（0BA）,则称A是R的一个左（右）零因子LEFTRIGHTZERODIVISOR当A是R的左零因子,2或A是R的右零因子时,则称A是R的零因子定义14有单位元的无零因子交换环称为整环定义15设I是R的一个子环,如果对RRAI，都有AR和RA属于I,则称子环I为R的一个理想子环,简称为环R的一个理想定义16设R是一个环,S是R的一个非空子集,若S关于R的加法、乘法也构成一个环,

7、则称S是R的一个子环（SUBRING）定义17对任意的1INRIIFXAXRX,且0FX,若有12NRRR,且10A,则称1R为FX的最低次幂,记作1MINFXR,称NR为FX的最高次幂,记作MAXNFXR定理11RX关于定义11中定义的加法和乘法做成一个环证明显然,RX,下面证明RX关于定义11中的加法是一个加群对任意的,FXGXHXRX设1NIIIFXAX,1NJJJGXBX,1NKKKHXCX,则有111111NNNIJKIJKIJKNNIKIKKIKNIIIIIFXGXHXAXBXCXAXBCXABCX111111,NNNIJKIJKIJKNNIKIIKIKNIIIIIFXGXHXAX

8、BXCXABXCXABCX即FXGXHXFXGXHX又RX有单位元0,所以对任意的1NIIIFXAXRX有负元1NIIIXFAX，且由R是交换环知3FXGX11NNPPPPPPPPABXBAXGXFX所以,RX关于定义11中的加法构成一个加群再证RX关于定义11中多项式的乘法是一个半群由于1111111111111111INNJKJKJKNNJKJKJKNNNJKIJKIJKNNNIJKIJKIJKNNNIJKIJKIJKNIIINIIIIJKIJKKFXXXGXHXBXCXBCXGHAXBXCXABXCXABCXFXAXAXABCX11,NNNIJ即FXGXHXFXGXHX所以,RX关于定义

9、11中的乘法是一个半群最后证明加法和乘法满足左、右分配律由于R是一个环,所以R中的元素满足左、右分配律,从而有1111111NNNIJKIJKIJKNNIPIPPIPNNIPIPIPIPFXGXHXAXBXCXAXBCXABACX1111NNNNIJIKIJIKIJIKFXGXFXHXAXBXAXCX111111NNNNIJIKIJIKIJIKNNIPIPIPIPABXACXABACX4即FXGXHXFXGXFXHX同理,我们还可以得到GXHXFXGXFXHXFX综上所述,RX关于定义11中的加法和乘法构成一个环定理12设R是一个环,SR,则S是R的子环当且仅当对任意的,ABS,有,ABABS

10、显然,R可看作RX的一个子环2环XR的基本性质由环RX的定义可以知道,环RX与环R有着紧密的联系因此，下面在环R的基础上来说明环RX的性质定理21RX是交换环当且仅当R是交换环证明充分性因为R是交换环,所以任取,IJABR有IJJIABBA（其中,1,2,IJN）,设1NIIIFXAX，1NJJJGXBXRX,则1111NNNNIJIJIJIJIJIJFXGXAXBXABX,11NNJIJIJIGXFXBXAX11NNJIJIBAX11NNIJIJIJABXFXGX从而FXGXGXFX因此，RX是交换环必要性如果RX是交换环，由于R是RX的子环，所以R也是交换环定理22RX是整环当且仅当R是整

11、环证明显然,RX有单位元等价于R有单位元由定理21知,RX是交换5环等价于R是交换环，所以只要证明RX是无零因子环当且仅当R是无零因子环充分性在RX中任取两个非零元素FX与GX，且令1NIIIFXAX,1NJJJGXBX则有00NMNMFXGXABXAB根据R是整环知道R无零因子,故0NMAB,所以0FXGX故RX是无零因子环必要性如果RX是无零因子环,因为R是RX的子环,所以R也是无零因子环综上所述,RX是整环当且仅当R是整环定理23若环I是环R的理想,则环IX是环RX的理想证明容易验证,IX是,RX的一个子群下面证明对,FXIXGXRX，有,FXGXIXGXFXIX其中11111111NM

12、NMIJIJIJIJIJIJMNMNJIJIJIJIJIJIFXGXAXBXABXGXFXBXAXBAX因I是R的理想,故由,IJIJJIAIBRABIBAI知1,2,1,2,INJ,M，所以有,FXGXIXGXFXIX，故IX是RX的理想定理24设R是一个交换环，FX是RX的零因子当且仅当有R中的非零元A，使得0AFX6证明必要性设FX是环RX的零因子，其中1NIIIFXAX，由于FX是RX的零因子，所以存在非零多项式GXRX,使得0GXFX考察次数最低的多项式01MMGXBBXBX,使得0GXFX由于00MNKIJKIJKFXGXABX，所以0NMAB（1）由0NAGXFX，而212MNN

13、MAGXABXBXBX，且0MNBA，所以有可推出0NAGX,否则NAGX将是次数小于M的的零化FX多项式,这就矛盾由0NAGX，则可知1210NNNMABABAB，并且1111110MMNMMNGXFXBXBXBXAXAX,由此又得10NMAB（2）于是有111110MNNMAGXFXABXBXFX可推出10NAGX，否则10NAGX将是次数小于M的的零化FX多项式，这也矛盾由10NAGX则可知1112110NNNMABABAB，所以2010120NNMNGXFXBBXBXAAXAX由此又得20NMAB（3）如此继续下去，那么最后得到110NNAGXAGXAGX,于是由上式即（1）（2）（3

14、）得110NMNMMABABAB,从而0MBFX，其7中0MBR充分性显然成立3环XR的同态以上我们是在单个环R的基础上来讨论多项式环RX的性质的,下面主要以两个环1R与2R为基础来讨论如果设是环1R到环2R的同态,定义12RXRX,对任意的11NIIIFXAXRX,定义1NIIIFXAX,下面将证明也是环1RX到环2RX的同态映射定理31设是环1R到环2R的同态映射,令12RXRX,对任意的11NIIIFXAXRX,若1NIIIFXAX,则是环1RX到环2RX的同态映射证明因为是环1R到环2R的同态映射,所以1,IJABR有IJIJABAB，IJIJABAB显然是环1RX到环2RX的映射，下

15、面证明保持运算对任意的1NIIIFXAX,11NJJJGXBXRX,有811111111NNIJIJIJNKKKKNKKKKNNIJIJIJNMIJIJIJFXGXAXBXABXABXAXBXAXBXFXGX111111111111NNIJIJNNIJIJIJNNIJIJIJNNIJIJIJNNIJIJIJNNIJIJIJFXGXAXBXABXABXABXAXBXAXBXFXGX因此得到FXGXFXGX,FXGXFXGX所以,是环1RX到环2RX的同态映射定理32设12RR是环同态,是由环1RX到环2RX的同态映射,则有（1）若是双射则是双射9（2）假设1I是环1R的子环（理想）,若是满态,则

16、1IX是环1RX的子环（理想）其中12RXRX,且11IXIX证明（1）要证是双射即证既是单射又是双射下面先来证明是单射的情形若已知是单射,要证是单射,即证对任意的1NIIIFXAX,1NIIIGXBX,如果FXGX,则FXGX事实上,如果FXGX,则由的定义有11NNIIIIIIAXBX,从而有IIAB由于是单射,所以IIAB,从而FXGX再证是满射的情形若已知是满射,要证是满射,即要证明对任意的21NIIIGXBXRX存在11NIIIFXAXRX,使得FXGX设1MIIIGXBX,因为是满射,所以存在1IAR,使得IIAB令11NIIIFXAXRX,则FXGX综上,若是双射则是双射（2）由

17、于1I是环1R的子环（理想）知1IX是1RX的子环（理想）,根据是满态我们知道是满态,所以1IX是环2RX的子环（理想）下面证明11IXIX任取1GXIX,则存在11NIIIFXAXIX,使得11NNIIIIIIGXFXAXAX由1IAI知1IAI,那么1GXIX,从而有1011IXIX再任取11NJJJHXBXIX,则1JBI并且存在1JCI,使JJBC,所以有,111NNNJJJJJJJJJHXBXCXCX11IXIX因此,11IXIX定理33设是环1R到环2R的满同态,KKER,则12/RXKXRX证明令12RXRX,对任意的11NIIIFXAXRX,在的作用下有1NIIIFXAX因为是

18、满同态,所以由定理42（1）知是满同态,又11111000,1,2,NIIIIIKERFXRXFXFXRXAXFXRXAFXRXAKINKX所以,由环同态基本定理知12/RXKXRX定理34设RXR,对于任意1NIIIFXAXRX,的定义如下1FXF,则/RRXKER证明显然,是环RX到环R的一个映射,下面证明保持运算对任意的1NIIIFXAX,1NJJJGXBXRX,有111111NNNNIJKIJKKKKIJKKFXGXAXBXABXAB,11111NNNNNIJIJIJKKIJIJKFXGXAXBXABAB所以,FXGXFXGX111111NNNNNNIJIJIJIJIJIJIJIJFX

19、GXAXBXABXAB,111111NNNNNNIJIJIJIJIJIJIJFXGXAXBXABAB,所以,FXGXFXGX因此,是一个同态映射,且是满射故由环同态基本定理有/RRXKER12参考文献1唐高华近世代数M北京清华大学出版社,20082张禾瑞近世代数基础M北京高等教育出版社,19783蓝以中高等代数简明教程（下册）M北京北京大学出版社,20024北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等代数（第二版）高等教育出版社19885林东岱代数学基础与有限域M北京高等教育出版社,20066朱平天,李伯葓,邹园近世代数M北京科学出版社,20017魏丽娟,陈焕艮关于幂级数环的几点注记J长沙电力学院学报,1999,142）1151178整环上的一元多项式环J福建师大福清分校学报，2004年02期9SERGELANGALGEBRAMNEWYORKSPRINGERVERLAG,200413致谢首先，非常感谢老师对我完成论文这一过程的指导，他渊博的知识，扎实的基础和严谨的科学态度，悉心的指导，才使我的论文能够顺利完成其次，我要感谢数学系的老师，他们在我四年的学习中，传授了我宝贵的知识，为我论文的顺利完成打下了基础同时,我也要感谢我所有的同学，在与他们的讨论中我获得了很多知识和启迪最后，感谢我的家人和朋友给我的支持和鼓励，我一定会继续努力，争取以更优异的成绩回报社会