1、一元二次方程的解法例析【要点综述】： 且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。 下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法0时有解，0时无解。配方法二次项系数若不为1
2、，必须先把系数化为1，再进行配方。公式法0时，方程有解；0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】 例1：已知，解关于的方程。 例2 ：用开平方法解下面的一元二次方程。 （1）； （2） （3）； （4） 说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例3 ：用配方法解下列一元二次方程。（1）； （2） 说明：配方是一种基本的
3、变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。 例4：用公式法解下列方程。（1）； （2） 说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。例5：用分解因式法解下列方程。 （1）； （2） 说明：使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能达到降次的目的。把方程一边化为0，把另一边分解因式的方法可
4、以用于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。 从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化，转化的方法主要为开平方法和使方程一边为0，把方程另一边分解因式，配方，或利用求根公式法。另外，在解一元二次方程时，要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。 例6：选用恰当的方法解下列方程。 （1）； （2） （3）； （4） 总结：直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出判别式的
5、值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之一。最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。 【附训练典题】1、用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）. 2、用配方法解下列方程：（1）； （2）； （3）； （4）. 3、用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）. 4、用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）. 5、选用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）6
