1、常微分方程第一次作业解析1指出下列方程的阶数，是否是线性方程：（1） （2） （3）解：（1）1阶，是； （2）4阶，是； （3）3阶，不是。2用分离变量法求解下列方：（1） （2） （3） （4） 解：（1）通积分为：（2）当时分离变量，两端取积分得即 通积分为 另外，是常数解，注：在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。（3）方法一：当时，方程变为,积分得在通解中代入初值，有 . 所求特解为： 。 方法二：所求特解为,即 ，所求特解为： 。（4) 当时, 方程可变为通积分为 或 ,上式代入初值条件，得。 于是初值问题解为： 。3解下列齐次线性微分方程（1） （2
2、）（3） （4） 解：（1）显然是方程的解。当时，原方程可化为 。令， 则原方程可化为 ，即易于看出，是上面方程的解，从而，是原方程的解。当时，分离变量得，. 两端积分得：(C)。将换成，便得到原方程的解 ，(C)。故原方程的通解为（为任意常数）及 。（2） 显然是方程的解。当时，原方程可化为：。 令，则原方程可化为 ，即 易于看出，是上式的解，从而是原方程的解. 当时，分离变量得 . 两端积分得 (C). 将换成，便得到原方程的解 (C). 故原方程的通解为 . （3）显然是方程的解. 当时，原方程可化为令，则原方程可化为 ，即分离变量得，.两端积分得 .将换成，便得到原方程的解 (C).
3、（4）将方程变形为: . 因为 ，方程组 有解 ，令 . 代入原方程，得到新方程令，代入上式，又得到新方程 或当时，有积分得原方程通积分为另外，由解得也是原方程解。4解下列一阶线性微分方程：（1） （2）解：（1）先解齐次方程 。其通解为 . 用常数变易法，令非齐次方程通解为 . 代入原方程，化简后可得 . 积分得到 . 代回后即得原方程通解为 . （2）先解齐次方程 . 其通解为 . 用常数变易法，令非齐次方程通解为 . 代入原方程，化简后可得 . 积分得到 . 代回后即得原方程通解为 . 5解下列伯努利方程（1） （2） 解：（1）显然是方程解. 当时，两端同除，得.令，代入有 ，它的解为
4、 。于是原方程的解为 ，及。（4）显然是方程解。 当时，两端同除，得 . 令，代入有 它的解为 于是原方程的解 及 。6设函数，在上连续，且， （a, b为常数）求证：方程 的一切解在上有界 证：设y = y(x) 是方程任一解，且满足y(x0)=y0，则由于，所以对任意0,存在x0，使得x时有令，则于是得到 又在x0，x1上y(x)有界设为M2，现取则 。7解下列全微分方程：（1） （2） 解：（1） 因为 ，所以这方程是全微分方程，且及在整个平面都连续可微。不妨选取，故方程的通积分为 , 即 . （2）因为 ，所以这方程是全微分方程，且及在整个平面都连续可微。不妨选取，故方程的通积分为 ,
5、 即 . 8求下列方程的积分因子和积分：（1） （2）解：因为 ，与y无关，故原方程存在只含x的积分因子. 由公式（1.58）得积分因子即于是方程为全微分方程。取.于是方程的通积分为. 即 . （2）因为 ，与y无关，故原方程存在只含x的积分因子。由公式（1.58）得积分因子即于是方程为全微分方程. 取，. 于是方程的通积分为. 即. 9求解下列一阶隐式微分方程（1） （2）解：（1）将方程改写为即 ，或解方程 ，得通积分为,又是常数解.（2） 显然是方程的解. 当时，方程可变为令, 则上面的式子可变为.解出u得，. 即 . 对上式两端积分得到方程的通解为. 10求解下列方程（1） （2） （
6、3） （4） 解：（1）令 ，则. 代入原式得.解出得.这是克莱洛方程，通解为.即.解之得（为任意常数）. （2）令 ，则, 原方程化为再令，则 即 从而 即 积分得通积分： . （3）化简得 即 求积分得： ， 或 . （4）方程两边同乘以非零的数, 化简得.即 积分得再积分得11求曲线族的正交轨线，其中为参数 解：由 解该曲线所满足的微分方程是：。于是正交轨线满足的方程是： 即 积分得 为所求正交轨线： 。12人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比（1）如果过4小时的细菌数即为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？（2）如果在3小时的时候，有细菌数个，在5小时的时候有个，那么在开始时有多少细菌？解：设时刻细菌数为，再设初值时刻时，细菌数为，则细菌繁殖满足下列初值问题其中为正常数，初值问题为（1）由题意有即12小时后，细菌数为原来的8倍。（2）由题意有解得。13重为100kg的物体，在与水平面成30的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：（1）物体运动的微分方程；（2）求5 s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度解：取初始下滑点为原点，轴正向垂直向下，设时刻速度为 ，距离为，由题意满足初值问题 解得 再由 ,，解得 。于是得到5秒后，。
