基于广义辅助方程解非线性动力系统.doc

1、天津职业技术师范大学TIANJINUNIVERSITYOFTECHNOLOGYANDEDUCATION毕业论文专业数学与应用数学班级学号070219学生姓名指导教师副教授二一一年六月天津职业技术师范大学本科生毕业论文基于广义辅助方程解非线性动力系统AGENERALIZEDSUBSIDIARYEQUATIONMETHODFORNONLINEAREQUATIONS专业班级数学0702班学生姓名指导教师副教授学院理学院2011年6月摘要基于辅助方程法的思想，引进新的拟设法，使之满足大部分的辅助方程，根据拟设得到一系列解的形式。然后，根据具体的方程，首先根据方程最高阶偏导数项和最高阶非线性项算出平衡参

2、数，然后根据方程的维数确定解的形式带入辅助方程与原方程，将得到的超定方程组系数化零，整理简化，最后得到最终的解。（11）维KDV波速方程与（21）维摄动KDV方程是文中为了说明方法的有效性而举出的例子，KDV方程在实际中的应用也十分广泛，所以我们的方法能够帮助更好的解决实际问题。利用MAPLE及软件包，将（11）维KDV波速方程与（21）维摄动KDV方程分别求解出来，得到了许多更加精确的解，有独特解，尖端解，及周期解等多种形式。辅助方程法是一种相当完善的，很精确的解非线性偏微分方程的算法。关键词非线性超定方程；广义辅助方程；平衡参数；拟设法ABSTRACTAUXILIARYEQUATIONME

3、THODBASEDONTHEIDEA,THEINTRODUCTIONOFTHENEWPROPOSEDLAW,SOASTOMEETMOSTOFTHEAUXILIARYEQUATION,ACCORDINGTOTHEFORMPROPOSEDBYARANGEOFSOLUTIONS,ANDTHEN,DEPENDINGONTHEEQUATION,THEFIRSTBASEDONTHEHIGHESTORDERPARTIALDERIVATIVEEQUATIONANDTHEMOSTHIGHENDITEMSCALCULATEDPARAMETERSOFTHENONLINEARTERMEQUILIBRIUM,THENT

4、HEDIMENSIONOFEQUATIONSTODETERMINETHEFORMOFSOLUTION,INTOTHEAUXILIARYEQUATIONWITHTHEORIGINALEQUATION,THERESULTINGOVERDETERMINEDSETOFCOEFFICIENTSOFZEROORDERSIMPLIFICATION,ANDFINALLYGETTHEFINALSOLUTION11DIMENSIONALKDVVELOCITYEQUATIONSAND21DIMENSIONALPERTURBEDKDVEQUATIONISTHETEXTTOILLUSTRATETHEEFFECTIVEN

5、ESSOFTHEMETHODANDGIVEEXAMPLES,KDVEQUATIONINTHEPRACTICALAPPLICATIONISVERYBROAD,SOOURMETHODCANHELPTOBETTERSOLVEPRACTICALPROBLEMSUSINGMAPLEANDTHEPACKAGEWILLBE11DIMENSIONALKDVVELOCITYEQUATIONSAND21DIMENSIONALPERTURBEDKDVEQUATIONSWERESOLVEDOUT,GETALOTMOREACCURATESOLUTION,AUNIQUESOLUTION,CUTTINGEDGESOLUTI

6、ONSANDPERIODICSOLUTIONS,ETCFORMSAUXILIARYEQUATIONMETHODISAVERYCOMPLETE,MOREACCURATEALGORITHMSFORSOLVINGNONLINEARPARTIALDIFFERENTIALEQUATIONSKEYWORDSOVERDETERMINEDLINEAREQUATIONGENERALIZEDAUXILIARYEQUATIONBALANCEPARAMETERSTHEPROPOSEDMETHODI目录1引言12广义辅助方程展开法321给出偏微分方程系统322引进新的拟似法322确定均衡参数523系数化零得到超定方程组

7、524求解参数525确定辅助方程参数53在11维KDV波速方程中的精确解84在12维摄动KDV方程中的精确解12结论18致谢22天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文11引言求解非线性偏微分方程一直是数学家和物理学家关注的焦点。近些年来，也研究出很多高效的方法来解决这一问题，一方面，许多德国的科学家从各个方面，如物理，化学和生物科学等各个方面汲取特点来丰富完善他们的方案。另一方面，由于MAPLE和MATHEMATICA及MATLAB等各种计算机系统，使我们能够在计算机完成一些复杂，繁琐的代数运算和差的运算的同时，还能找到非线性偏微分方程的精确解。到现在为止，存在着许多高效的方法来解决有关

8、非线性问题NEES，如反散射方法1，BACKLUND变换2，达布变换3，HIROTA双线性方法4，相似递减法5，变量分离法6，PAINLEV分析方法7，齐次平衡法8，各种的双曲正切函数法916，双曲正割函数方法17等。其中，双曲正切函数法在众多的解决方案之中被认为是获得精确的NEES的最直接和有效的代数算法。我们知道，当应用的双曲正切函数方法，建立适当的辅助方程是非常重要的。现在主要的工作就是解决辅助方程的多种解决方案上。在自然科学的许多领域中，很多现象是用抛物型方程或方程组描述的。如热传导以及其他扩散现象、化学反应、某些生物形态、各种粒子的输运等等。因此，用有限差分方法数值求解抛物型偏微分方

9、程问题具有重要的理论意义和应用价值。在数值求解偏微分方程的领域中，有限差分法是一类重要的数值方法。有限差分法具有一些突出的优点，如格式构造简单，网点上差分方程的局限性；在与其他方法同样精度的条件下，计算量小；对于各类微分方程特别是描述非定常物理现象的方程更加灵活适用。所以有限差分法一直受到人们的关注。非线性微分方程除了极小部分有解析解外，其余都没有解析解。每一个具体问题似乎都要求发明特殊的算法，运用新颖的技巧。因而非线性问题曾被人们认为是个性极强，无从逾越的难题。所以在早期的研究中，人们总是用适合于线性微分方程描述的“理想化模型”来处理真实复杂的物理世界。尽管这种描述是不完全的，但这种方法常常

10、能起到抓本质的作用，因而线性理论在科学发展史上是至关重要的，它正确解释了自然界的许多现象。然而世界本质上是非线性的。早在伽里略牛顿时代，从有“精确”的自然科学开始，就遗留下许多非线性问题。例如19世纪经典力学中的两大难题刚体的定点转动和三体作用问题，实质上就是非线性问题。只不过它们始终处于“支流”的地。随着现代科学、技术，特别是计算机技术的飞速发展，从20世纪60年代开始，非线性问题逐步成为一门新兴学科而茁起。在自然科学和工程技术领域，几乎都有各自的非线性问题。例如物理学中有非线性力学，非线性声学，非线性光学，非线性电路等。天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文2孤立子、混沌和分形是当今

11、非线性科学研究的热点，也是取得取得丰硕成果，发展得很快的研究领域。尽管如此，他们仍处在发展之中，其理论和方法远没有完善。非线性数学模型在自然科学、社会科学领域中的应用越来越广泛，如机械、化工、电机、能源、土木、光学、通讯、生物、自动控制、材料等。计算机代数方法在发达的今天已经显出种种弊端，传统的求解非线性波方程的方法主要有逆散射法4，BACKLUND法5，DARBOUX变换法6，HIROTA双线性法7，PAINLEV展开法8等。近年来，涌现出一系列新的求解方法，如齐次平衡法9，双曲正切函数展开法10，ADM方法11，利用分支理论直接积分的方法12，F方法13等。本文利用张慧群等人提出的改进的计

12、算机代数方法辅助方程法，分别对RLW方程、PHIFOUR方程、JAULENTMIODEK方程进行求解。孤立子、混沌和分形是当今非线性科学研究的热点，也是取得取得丰硕成果，发展得很快的研究领域。尽管如此，他们仍处在发展之中，其理论和方法远没有完善。对于现在的大量求解非线性方程的孤立波解的方法，辅助方程法被认为是一种最直接有效的算法。这个方法的发现是为解出精确解的一些困难融合在一起的结果。现在，大量研究工作已经把注意力集中在双曲正切方法的矿展与实施上。这篇论文的目的是把这方法的计算过程简单化，然后找到更多的行波解。张慧群提到利用辅助方程方法在算法上是有一些困难，但是却简化了偏微分方程。因此，我们可

13、以利用软件MATHEMATICA1514编程求解高阶的非线性方程。最近BALDWIN,GOKTAS,HEREMAN提到一个新的算法去计算非线性方程的多项式解，这个非线性方程多项JACOBIELLIPTIC方程。在求非线性方程的一系列行波解的时候，我们研究的新的代数方法确实超过现存的双曲正切方法和JACOBI函数方法。天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文32广义辅助方程展开法21给出偏微分方程系统给出了一个在1N个不同变量TXXN,1情况下的具有物理场的多项式的非线性偏微辅助方程的系统,1,1NITXXXUNII,0,112121XIXTIXTIXTIXITTIXIXIXITIUUUUU

14、UUUUUNN（21）22引进新的拟似法我们介绍一种新的拟似法合理阐述为如下形式,111122111NMNMNNNNUNIITXXU（22）其中IU是MM1122N11N11N,NNN的合理规范函数且,1CXC0,11,I,0JJI,N1JINITCXCXCTINNII，并满足NNNNNNNNXXTCCCCCCCCC1,1,0,21,20,2,11,10,11（23）其中NJNICJI,1,0,1,是任意常数，,N2211N满足1MMMDD2,N2211N是任意函数。天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文43,N2211N满足各种辅助方程，如RICCATI方程，投影RICCATI方程，椭

15、圆方程，贝塞尔方程，KLEINGORDON方程等等。意思是取决于I的II的导数是,N2211N的有理正式函数。例如，（1）当我们取,0,1MNIMJJJIJINIBBAATXXU111101101,（24）其中0A，1A，0B和1B是取决于1N个不同的变量TXXN,1或是之后将被决定的常数。（2）当我们取,1,1MNTXXUNI,10IAIJJJJJJMJJRRIJRRJRRBBBBBA11111111111110111111111111（25）其中01101111,AAABBBBB是取决于1N个不同的变量TXXN,1或是之后将被决定的常数。（3）当我们取,2,1MNIJJJJJJJJJMJJ

16、RRRIJRRRJRRRINIBBBBAATXXU11111111110“111111“01“,111111111（26）其中0110111,AAABBBB是取决于1N个不同的变量TXXN,1或是之后将被决定的常数。（4）当我们取,0,2MN天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文5IJJJJJJMJJRRIJRRJRRINIBBBBBAATXXU1222111222111022110111,212121（27）其中01201212,AAABBBBB是取决于1N个不同的变量TXXN,1或是之后将被决定的常数。（5）当我们取,1,2MNIJJJJJJJJJJJJMJJRRRRIJRRRRJR

17、RRRINIBBBBBAATXXU122211122211102211221101,212121212211（28）其中0121201212,AAAAABBBBB是取决于1N个不同的变量TXXN,1或是之后将被决定的常数。22确定均衡参数合理正式多项式解法的参数IM分别由在给出的方程中最高非线性项和最高阶偏导数项确定的，然后给予正式的解决方案。23系数化零得到超定方程组利用第六步中选择的满足辅助方程的N1,III将（22）转化为（21）。然后设定所产生的系统的所有分子的IPRI,1,0,1,0,1RMPNI的系数是零就得到非线性代数方程组超定系统，这是取决于JI,CNJNI,1,0,1及函数I

18、U的参数的24求解参数通过使用符号计算系统MAPLE求解非线性代数方程组的超定系统，我们最终得到JI,CNJNI,1,0,1的明确表达式和IU的参数。25确定辅助方程参数天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文6选择辅助方程的参数。根据系统（22），在步骤5的结论和所选择的辅助方程的一些特殊的解决方案中，我们可以得到系统（21）的有理正式精确解。注1据我们所学知识，通过以上分析，多数双曲正切函数解法可以总结为广义辅助方程合理拓展法，更多的，解得的这种方法包括双曲线函数和三角函数的矩阵形式，同时还不同于解法【15】。注2式（22）可以化成下列形式,1TP1010SP01010101010IT

19、NTMPPJTNTMPPJTSPJSNSMPPJSNSMPMJJJTNTMPQQIJJRNSMPSRIJINIBBAATXXU29）其中0IA，10PJSNSMPRIJA，NTMPPJTQIJB10，0JB和NKTSJQRMPJTJS,1,2,1,1,1,0K是取决于1N个不同的变量TXXN,1或是之后将被决定的常数。注3我们可以指出式,NMMI11N221110NNNNSMPSPS,101121MJMJJJJJJNSMPSPJSNNNRRRRRRRR10PJSNSMPR1121MJMJJJJJJNNNRRRRRRR210而且,1121MJMJJJJJJNNNRRRRRRR在式（24）中不仅可

20、以取正整数，还可以取负整数。注4IPIMPNI,1,0,1满足辅助方程，如椭圆方程，RICCATI方程，投影RICCATI方程，贝塞尔方程等等。他们不仅满足相同的辅助方程，而且满足不同的辅助方程。我们的吸引力和方法的成功在于一个事实，即我们选择不同的辅助方程。因为每个辅助方程具有特殊形式的解决方法，一些解决方法的结合可以建立各种正式的COMPLEXITON解决方案。特别是，我们不采取天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文7以前的行波变换，而采用在MPNIIPI,1,0,1做不同行波变换，因此这些方法有不同的波速。我们的方法是一个统一简单纯理论的代数算法，可积方程和不可积方程可以实现在计算

21、机代数系统，并且可以很容易地扩展到其他可积系统和不可积系统中。天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文83在11维KDV波速方程中的精确解这一部分我么要利用我们的方法来摂动KDV方程221230XTXXXXXXXXXXXXUUUUUUUUUUU（31）其中,TXUU且,，0的所有常数。在（31）中平衡高阶偏导数项和最高非线性项，得到IM1，我们假设,1M所以（31）具有精确解11121100111211311411,11AAUXYTABBBBB（32）其中111,KXLT222,KXLT012,AAA3210,BBBB和4B之后将被决定的常数。为了得到理想的COMPLEXITON解，我们选

22、择著名的辅助方程中的RICCATI方程（1）。,012R（33）其中R是任意常数。利用MAPLE，将（32）以及（33）代入（31），然后我们让新变量11满足（33）。并设置这些组合0,1,JI,2I21I1（I，J0,1，）的系数是零，然后建立关于1,122,KLKL01201234,AAABBBBB超定代数方程组233120221Q2A11A13AA6A5A02322W6A24A0天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文921112R4CA3AB3B0333221T3B3C2B4B0由王东明的MAPLE软包“字符集”，这是基于吴氏消元法，解决了超定代数方程组的使用，我们得到以下情况情况

23、110101,LAKBK11LK，11AB22AB11BB，12121,LKKL22,LK33AB44,AB（34）其中,1K,2K,0A,0B,4321AAAA是任意常数。情况2111111001,ABLKABL114111,ABABL11211100222111,LABLABLABABL031122,ABLKLK（35）其中,10AA,43210BBBBB,21KK是任意常数。情况3112210011122,LABLABLABAB，12222002,ABLABL1032232,ABABBB（26）其中,10AA,43210BBBBB,21KK是任意常数。注解既然这里有这么多解法，我们可以列

24、出新的类型，类似在11维波速KDV方程的情况1的解法，来说明该方法的效率。情况1,21KK,0A,3A,4321BBBB321,和4是任意常数，且241122,ABLKL天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文10,1343344132332213133113232023332022221211BABABABABABAKKAKBABTYXKTKYXK根据附录中的（32）和（33）的特殊解法及（34），我们能获得以下11维波速KDV方程的COMPLEXITON解。情况1当R0且0H1，2H（2M1），4H2M，1H3H0，我们得到1CSCCOTH1CSCCOTH224123221122412

25、3221102,1SNMRHRCDRRSNMARHRACDARRAAU1CSCCOTH1CSCCOTH2241232211224123221101,1SNMRHRCDRRSNMBRHRBCDBRRBBV（36）情况2当R0且0H12M，2H22M1，4H2M，1H3H0，我们得到,CSCCOTHCSCCOTH2241232211224123221102,1DSNRHRCNRRDSNARHRACNARRAAUCSCCOTHCSCCOTH2241232211224123221102,1DSNRHRCNRRDSNBRHRBCNBRRBBV（37）情况3当R0且0H2M1，2H22M，4H1，1H3H

26、0，我们得到,CSCCOTHCSCCOTH222412322112224123221103,1SNCNMRHRDNRRSNCNMARHRADNARRAAU天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文11,CSCCOTHCSCCOTH222412322112224123221103,1SNCNMRHRCNRRSNCNMBRHRBCNBRRBBV（38）情况4当R0且0H2M，2H（2M1），4H1，1H3H0，我们得到,1CSCCOTH1CSCCOTH2241232211224123221104,1SCMRHRDCRRSCMARHRADCARRAAU1CSCCOTH1CSCCOTH2241232

27、211224123221104,1SCMRHRDCRRSCMBRHRBDCBRRBBV（39）情况5当R0且0H2M，2H22M1，4H12M，1H3H0，我们得到,CSCCOTHCSCCOTH2241232211224123221105,1DNSNRHRNCRRDNSNARHRANCARRAAU,CSCCOTHCSCCOTH2241232211224123221105,1DNSNRHRNCRRDNSNBRHRBNCBRRBBV（310）天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文124在12维摄动KDV方程中的精确解这一部分我么要利用我们的方法来摂动KDV方程,36,62YXXXXXXTXX

28、XXTUUUVVVUUUU（41）其中,TYXVVTYXUU且,0的所有常数。在（31）中平衡高阶偏导数项和最高非线性项，得到IM2，我们假设,1M所以（31）具有以下精确解11122231142200111222311422,AAAAUXYTA511226112272222811229111110112220111222311422A,AAAAA11122231142200111222311422,BBBBVXYTB511226112272222811229111110112220111222311422B,BBBBB（42）其中,1111TYLXK,2222TYLXK01234012345

29、678910,AAAAAAAAAAA0123,BBBB，4567,BBBB，8910,BBB之后将被决定的常数。为了得到理想的COMPLEXITON解，我们选择著名的辅助方程中的RICCATI方程（1）和椭圆一般方程（2）。天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文13,0R12（43）,0244332210HHHHH44其中3210,HHHHR和4H是任意常数。然后我们让新变量11和22分别满足（33）和（34）。利用MAPLE，将（32）以及（33）和（34）代入（31）。然后设置这些组合0,1,JI,2I21I1的系数是零，然后建立关于,22211,1LKLK0123401234,1,

30、AAAABBBBB3210,和4超定代数方程组310121312QDA6AA3ACAC023312022213W6A2DA12AA8AC3AC033122314R18AA15AC6AC023224T12A24AC03011010121Y6CAA6ABDB6AB9CAC3332112123BC3ACBC0210220112U6CA12CAA12AB12AB2DB3333022222131312A2B24CAC8BC9CAC3BC0由王东明的MAPLE软包“字符集”，这是基于吴氏消元法，解决了超定代数方程组的使用，我们得到以下情况情况122220200124212412234424CC3B2CCB

31、D,A,A0,A2C,B0,B4CC,C0,CC,C0,CC,45情况2天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文1422223403400134432223241324124233443CC4CB13C2C8CBD,A,AC,2CC8CC1CA2C,B2CC,B4CC,C,8CC0,CC,CC,46情况32210212112212223412CBDD,ADC,A0,A0,BB,BB,C,63BCC,C0,C0,47情况400121211223344DD,AA,A0,A0,B0,B0,CC,CC,CC,CC,48情况52021211211223411DD,ADC,A0,A0,BB,B0,CC

32、,CC,C0,C06649情况62222220200121323211223343CCC6B1C2B1D,A,A,A0,BCC,C2C2CB0,CC,CC,CC,C0410注解既然这里有这么多解法，我们可以列出新的类型，类似在2维摂动KDV方程的情况1的解法，来说明该方法的效率。情况1,21KK,0A,3A,4321BBBB321,和4是任意常数，且天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文15,1343344132332213133113232023332022221211BABABABABABAKKAKBABTYXKTKYXK根据附录中的（32）和（33）的特殊解法及（34），我们能获得

33、以下12维摂动KDV方程的COMPLEXITON解。情况1当R0且0H1，2H（2M1），4H2M，1H3H0，我们得到1CSCCOTH1CSCCOTH2241232211224123221102,1SNMRHRCDRRSNMARHRACDARRAAU1CSCCOTH1CSCCOTH2241232211224123221101,1SNMRHRCDRRSNMBRHRBCDBRRBBV（411）情况2当R0且0H12M，2H22M1，4H2M，1H3H0，我们得到,CSCCOTHCSCCOTH2241232211224123221102,1DSNRHRCNRRDSNARHRACNARRAAUCSC

34、COTHCSCCOTH2241232211224123221102,1DSNRHRCNRRDSNBRHRBCNBRRBBV（412）情况3当R0且0H2M1，2H22M，4H1，1H3H0，我们得到,CSCCOTHCSCCOTH222412322112224123221103,1SNCNMRHRDNRRSNCNMARHRADNARRAAU天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文16,CSCCOTHCSCCOTH222412322112224123221103,1SNCNMRHRCNRRSNCNMBRHRBCNBRRBBV（413）情况4当R0且0H2M，2H（2M1），4H1，1H3H0，

35、我们得到,1CSCCOTH1CSCCOTH2241232211224123221104,1SCMRHRDCRRSCMARHRADCARRAAU1CSCCOTH1CSCCOTH2241232211224123221104,1SCMRHRDCRRSCMBRHRBDCBRRBBV（414）情况5当R0且0H2M，2H22M1，4H12M，1H3H0，我们得到,CSCCOTHCSCCOTH2241232211224123221105,1DNSNRHRNCRRDNSNARHRANCARRAAU,CSCCOTHCSCCOTH2241232211224123221105,1DNSNRHRNCRRDNSNBR

36、HRBNCBRRBBV（415）情况6当R0且0H1，2H22M，4H12M，1H3H0，我们得到,CSCCOTHCSCCOTH222412322112224123221106,1SNCNMRHRNDRRSNCNMARHRANDARRAAU,CSCCOTHCSCCOTH222412322112224123221106,1SNCNMRHRNDRRSNCNMBRHRBNDBRRBBV（416）情况7天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文17当R0且0H1，2H（2M1），4H12M，1H3H0，我们得到,CSCCOTHCSCCOTH24123221124123221107,1DNRHRSCR

37、RDNARHRASCARRAAU,CSCCOTHCSCCOTH24123221124123221107,1DNRHRSCRRDNBRHRBSCBRRBBV（417）情况8当R0且0H1，2H22M1，4H2M（2M1），1H3H0，我们得到,CSCCOTHCSCCOTH24123221124123221108,1CNRHRSDRRCNARHRASDARRAAU,CSCCOTHCSCCOTH24123221124123221108,1CNRHRSDRRCNBRHRBSDBRRBBV（418）情况9当R0且0H412M，2H212M，4H412M，1H3H0，我们得到,CSCCOTHCSCCOTH

38、22241232221122241232221109,1DNDNSNRHRSCNCRRDNDNSNARHRASCNCARRAAU,CSCCOTHCSCCOTH22241232221122241232221109,1DNDNSNRHRSCNCRRDNDNSNBRHRBSCNCBRRBBV（419）情况10当R0且0H42M，2H222M，4H42M，1H3H0，我们得到（420）,CSCCOTHCSCCOTH22224123222112222412322211010,1DNISNDNCNRHRICNSNRRDNISNDNCNARHRAICNSNARRAAU天津职业技术师范大学2011届本科生毕业

39、论文18结论总体上说，新的基于广义辅助方程方法（GSRE）是目前发现的新的精确的非线性演化方程的COMPLEXITON解。11KDV波速方程和（21）维摄动KDV方程是被选择来说明这种方法，例如发现了一些包括COMPLEXITON解的新奇的类型。当然，以上提出的算法也可以应用于其他非线性数理衍化方程。在本论文里，我们自然地呈现了一种更加普遍的拟似法。因此，对于一些非线性方程，更希望得到更多类型的COMPLEXITON解。表1著名RICCATI方程（33）的一般解法（33）的解法R0TANHRRR0COTHRRR01R0TANRRR0COTRR天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文19表2

40、一般椭圆方程（34）的一般解法0H1H2H3H4H（34）的解01H000SIN2222121HHHHH01H000SINH2222121HHHHH00000SEC242HHHH4224HH00002TANH2242HHH00000SEC242HHH4224HH00002TAN2242HHH10（2M1）02MSNORCD12M022M102MCN2M1022M01DN2M022M01NSORDC2M022M1012MNC1022M012MND12M022M01CS1022M012MSC1022M102M（2M1）SD2M022M101DS天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文20（2M

41、1）4102212M041NSCS412M0212M0412MNCSC42M0222M041NSDS42M0222M042MSNICN0003H02SEC2232HHHH0003H02SEC2232HHH0H1H0004,4,230323HHHHH天津职业技术师范大学2011届本科生毕业论文21参考文献1谷超豪孤立子理论及其应用J杭州浙江科技出版社,19902MATVEEVVB,SALLEMADAROUXTRANSFORMATIONSANDSOLITONSJBERLINSPRINGER,19913HIROTAREXACTSOLUTIONOFTHEKORTEWEGDEVRIESEQUATIONF

42、ORMULTIPLECOLLISIONSOFSOLITONSJPHYSREVLETT,1971,27119211944楼森岳推广的PAINLEV展开及KDV方程的非标准截断解J物理学报,1998,47173917455WANGML,ZHOUYB,LIZBAPPLICATIONOFHOMOGENEOUSBALANCEMETHODTOEXACTSOLUTIONSOFNONLINEAREQUATIONSINMATHEMATICALPHYSICSJPHYSLETTA,1996,21367756李志斌,张善卿非线性波方程准确孤立波解的符号计算J数学物理学报,1997,17181897SALANM,KAYADANAPPLICATIONOFTHEADMTOSEVENORDERSAWADAKOTARAEQUATIONSJAPPLIEDMATHEMATICSANDCOMPUTATION,2004,157931018LIJIBIN,ZHANGLIJUN