1、4.3 定积分的应用(92) 31、微元法引例 曲边梯形面积 ( )dbaA f x x=4.3.1 定积分的几何应用曲边梯形由连续曲线)(xfy )0)( xf 、x轴与两条直线 ax 、bx 所围成。 a b xyo)(xfy面积 ?A 4.3 定积分的应用(92) 4面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间 , ba 分成n个长度为 ix 的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为 iA ，则 niiAA1. （2）计算 iA 的近似值iii xfA )( ii x（3） 求和，得A的近似值 .)(1iinixfA 4.3 定积分的应用(92) 5（4）
2、求极限，得A的精确值iinixfA )(lim10( )dbaf x x=提示 若用 A 表示任一小区间, xxx 上的窄曲边梯形的面积，则 AA ，并取 ( )dA f x x ，于是 ( )dA f x x lim ( )dA f x x= ( )d .baf x x=a bxyo)(xfyx dx x+dA面积元素4.3 定积分的应用(92) 6一般地，当所求量U符合下列条件： （1）U是与一个变量x的变化区间 , a b有关的量； （2）U对于区间 , a b具有可加性，即如果把区间 , a b分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和； （3）部分量 iU 的
3、近似值可表示为 ii xf )( ；就可以考虑用定积分来表达这个量U. 4.3 定积分的应用(92) 7微元法的一般步骤：（1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间 , a b； （2）设想把区间 , a b分成n个小区间，取 任一小区间， 为 , d x x x ，求 小区间对应的部分量 U 的近似值. 若 U 近似地表为 , a b上的一个连续 x 的值 )(xf 与dx的 积，就 ( )df x x为所求量U的微元， dU，即 d ( )dU f x x ； 4.3 定积分的应用(92) 8（3）以所求量U的微元 ( )df x x为被积表达 ，区间 ,
4、ba 上 定积分，得 ( )dbaU f x x ，即为所求量U的积分表达 . 这个方法通常叫做微元法或元素法应用方向：面 形的面积；体积； 面曲线的 长； ； ；引 和 值等 4.3 定积分的应用(92) 9xyo)(xfya b xyo)(1 xfy)(2 xfya b曲边梯形的面积( )dbaA f x x=曲边梯形的面积2 1 ( ) ( )dbaA f x f x x= -2、直 情形x xxx x4.3 定积分的应用(92) 10例1 计算由两条 线 xy 2 和 2xy 所围成的形的面积.解 两曲线的 )1,1()0,0(面积元素 2d ( )dA x x x= -选 为积分变量x 1,0x1 20( )dA x x x= -103332 23 xx .312xy2yx
