1、习题课1. 定积分的应用几何方面 :面 、积 体 、积 弧 、长物理方面 : 作功、 力、侧压 引力、2. 基本方法 :微元分析法微元形 状 : 、条 段、带 片、扇、 、环 等.定积分的应用 第六章 例1. 求抛物线 21 xy 在(0,1) 的一 切内 条 线, 使它与坐 和抛物 所 形的面 最小两 标轴 线 围图 积 .解: 抛物 上切点设 线 为 )1,( 2xxM 点 的切 方程则该 处 线 为)(2)1( 2 xXxxY 它与 x , y 的交点分轴 别为,)0,( 2 12xxA )1,0( 2 xB所指面积)(xS xx 2 )1(2122 10 2 d)1( xx 324 )
2、1(22 xx11MBAyx )(xS )13()1( 22412 xxx,33x 0)( xS,33x 0)( xS且 最小点 为 .故所求切线为34332 XY,0)( xS令 得 0 , 1 上的唯一 点驻 33x11MBAyx,1,0)(33 上的唯一 小点极在是因此 xSx 例2. 非 函设 负 数 上 足满在 1,0)(xf )()( xfxfx 曲线 )(xfy 直与 线 1x 及坐 所 形标轴 围图(1) 求函数;)(xf(2) a 何为 值时, 所 形 围图 绕 x 一周所得旋 体轴 转解: (1) ，时当 0x 由方程得ax xfxfx 23)()( 2 axxf 23)(
3、 ,223 xa面 积为 2 ,体 最小 积 ? 即xCxaxf 223)(故得又 10 d)(2 xxf xxCxa d23 210 22 Ca aC 4 xaxaxf )4(23)( 2 (2) 旋 体体转 积V xxf d)(10 2 161013 2 aa ,01513 aV 令 5a得又 V 5a ,0155 a 唯一 小点为 极 ,因此 5a 时 V 取最小 值.xoy1xy 224 xxy o)d5(d xu 故所求旋 体体转 积为xxx d5)2( 2251 57516xxxV d5)2( 2220 51 uV dd 2APxd 2ud例3. 求由 xy 2 与 24 xxy
4、所 域围区 绕 xy 2旋 所得旋 体体转 转 积.解: 曲 直 的交点坐线与 线 标为 ),4,2(A 曲 上任一点线)4,( 2xxxP 到直线 xy 2 的距离为xx 2251 ),(2 如图为数轴以 uxy u则例4. 半 径为 R , 密度为 的球沉入深为H ( H 2 R ) 的水池底, 水的密度多少功 ? 解:建立坐 系如 标 图 .则对应 d, xxx 上球的薄片提到水面上的微功为1dW xy d2提出水面后的微功为2dW )(dg2 xRxy xxRxR d)(g 22 ,0 xxRHxR d)(g)( 220 H),( yxxyxo其 水池中取出现将 从 , 需做微元体积所
5、受重力上升高度g)( 0 )( xRH 因此微功元素为21 ddd WWW xxR d)( g 22 球 水中提出所做的功从 为W xxRxRHRR d)()()( 2200 g“偶倍奇零” xxRR d)( 220 g)(34 003 RHR )(g2 00 RH H)( 0 )(0 xR Hxo yx例5. 有半 设 径为 R 的半球形容器如图. (1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为为h (0 h R ) 水面上升的速度 时. (2) 容器中已注 水 设 满 , 求 其全部抽出所做的功将最少 多少 应为 ?解: 球心的 截面建立坐 系过 纵 标如图.o xy半 方程则 圆 为2x 22 yyR hR设经过 t 秒容器 水深内 为h ,.)(thh 则o xyhR(1) 求 thdd由题设, 经过 t 秒后容器 的水量内 为而高为 h 的球缺的体积为半球可看作半圆绕 y 旋 而成轴 转体 元素积 : yx d222 2 yyRx )(hV yyRyh d)2( 20 故有 tayyRyh d)2( 20 两边对 t 求导, 得)2( 2hRh thdd athdd)2( 2hRha at (升) ,
