1、第二章 行列式,第一节 二阶、三阶行列式,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的矩阵：,定义,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,二、三阶行列式,定义,记,（7）式称为矩阵（6）所确定的三阶行列式.,三阶行列式的计算,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.,三、小结,思考题,思考题解答,解,第二章 行列式,第二节 n 阶行列式,n阶行列式的定义,定义,一、余子式与代数余子式,叫
2、做元素 的代数余子式,例如对,定理1 n 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,二、行列式按行（列）展开法则,例2 计算行列式,解,例3 计算上三角行列式,解,=,例 4,同理可得下三角行列式,1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,第二章 行列式,第三节 行列式的性质,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等即，,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,证明,证毕,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,性质3 如果行列式中某一行（列）元素是两组数的和，
3、那么这个行列式就等于两个新行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式对应的行（列）相同，即,同样用数学归纳法可证：,性质2 如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,性质4 （行列式的“初等变换”）若将初等行（列）变换用于 n 阶行列式：（1） 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,（2）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数 k 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变,例如,从等号右端看，利用性质3、性质4的（1）及性质2即得等号左端。,（3） 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,证明
4、,设行列式写成分块形式，则,推论1某一行（列）元素全为零的行列式等于零,推论2对 n 阶行列式及数 k,有 ,推论3若有两行（列）元素对应成比例，则行列式等于零，即,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。,例1 计算4阶行列式,性质5 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,性质6 设 U 是有如下分块形式的 ( n + p ) 阶矩阵：,矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积！,解 将第二列加到第一列，由性质4、性质2可得,二、应用举例,按第4
5、行展开,按第1列展开,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的6个性质,思考题1,思考题1解答,解,1、2、3、4行分别提取公因子 a、b、c、d,（1）交换1、2两列；（2）交换3、4两列；（3）交换2、3两列。,思考题2,求第一行各元素的代数余子式之和,思考题解答,解 由,知第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,第二章 行列式,第四节 行列式的计算,例2 计算 阶行列式,解法1,将第 都加到第一列得,第1行的 (-1)倍分别加到其余各行
6、！,另解：按第一行展开。,例2（续） 计算 阶行列式,解法2,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,另解：1.按第一行展开；2.初等变换。,递推可得,另解：,二、小结,思考题1,思考题1 解答,思考题2,思考题2解答,范德蒙德行列式,大下标减去小下标元素,第二章 行列式,第五节 行列式的应用,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵,称为矩阵 的伴随矩阵.也记作 adjA.,一、伴随矩阵及逆矩阵计算公式,注意下标,定理1,证明,则,同理可得,证明,定理2 矩阵 可逆的充要条件是 ，且,证明,必要性，若 可逆，,按逆矩阵的定义得,证毕。,推论,证明,奇异矩阵与非奇异矩阵的定义,
7、解,例 1,代数余子式的符号不能丢,设线性方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,非齐次与齐次线性方程组的概念,二、克拉默法则,定理 3 如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为,证明,在把 个方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组 有唯一的一个解,也是方程组的 解.,逆否命题 如果线性方程组 无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.,齐次线性方程组的相关定理,推论1 如果齐次线性方程组 的系数
8、行列式 则齐次线性方程组 只有零解.,三、重要定理,例 4 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,同理可得,故方程组的解为:,解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,四、小结,3. 用克拉默法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系数行列式不等于零.,4. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.,思考题1,思考题1解答,解,设所求的二次多项式为,由题意得,故所求多项式为,又,得,它是一个关于未知数 的线性方程组,思考题2,当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?,思考题2解答,不能！此时非齐次方程组的解为无解或有无穷多解.,齐次方程组的解为有无穷多解.,
