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1、阶跃折射率 渐变折射率,射线光学,波动分析（模式）,24章 平面介质波导,510章 光纤波导,阶跃折射率,渐变折射率,射线光学,波动分析,多模,单模,子午光线,偏射光线,标量近似（模式）,nc,n1,ns,覆盖层,导波层,衬底层,对称,非对称,保护层,包层,纤芯,耦合：,外耦合,透镜,棱镜,光栅,劈形,全息,外耦合,透镜,光栅,光纤锥,全息,波导耦合 （耦合波理论）,光纤波导焊接,调制,调制,电光,声光,磁光,强度,位相,偏振,波长,频率,调制,内调制,外调制,强度,位相 （干涉）,偏振,波长,频率（多普勒效应）,法拉第,克尔,光弹,第 五 章普通光纤的基础理论,内容提要 前言 1阶跃折射率光

2、纤的光线理论 2偏射光线的传播 3光纤波导中的模式理论 4阶跃光纤的标量近似分析,前言1.光纤与光纤通信基本情况: 占光学工业 时 间 产值比例1982年 09.2%1985年 20.7%2000年 46.0%,图1.1 光电子技术主体发展,图1.2 阶跃折射率光纤的横界面图,2. 历史的回顾,1854年，就认识到光纤导光传播的基本原理 全内反射。 十九世纪二十年代，制成了无包层的玻璃光纤； 二十世纪五十年代，用包层可以改善光纤特性， 当时的主要目的是传输图像。 1967年，N.S.Kapany，Fiber Optics：Principles and Aplications (Academic

3、，New York) 缺点：损耗大 1000dB/km,七十年代：随着光纤制造技术的突破，使损耗降低到0.2dB/km（1.55m附近）仅受瑞利散射损耗限制。1973年从理论上预言通过光纤的色散和非线性互作用可以产生光孤子；1980年从实验上获得了光孤子，将超短光脉冲压缩到了6fs。,掺铒光纤放大器,掺杂光纤激光器,受激喇曼散射,受激布里渊散射,光纤群速色散,自相位调制,超短光脉冲的产生、压缩和控制,3.优点： 良好的传导性能、巨大信息容量(一条光频通路上同时可容纳几十亿人通话，传送上千套电视节目)。与金属传输线相比:(1)机械方面:直径细(m)、重量轻(30g/km )、可绕性好(节省铜料、

4、价格低廉，一公斤 熔融硅棒可拉光纤几百公里，100公里长18 路同轨电缆需铜12吨、铅50吨)。,(2)电气方面:电气绝缘性好、无感应。本身 不辐射电磁场、噪声信号。(3)化学方面:耐火、耐水性好，耐腐蚀性好 (安全)。(4)传输特性方面:低损耗(0.2dB/km 1.55 m，0.5dB/km 1.3m，2.5db/km 0.8m)、宽频带(1GHz km 、 2.5GHz km)、无串音。,4.光通信系统和光网络系统：,光通信系统：时分复用系统，波分复用系统；光网络系统：远程网，城域网和接入网。,密集波分复用系统Dense wavelength division multiplexing

5、system (密集波分复用器：Dense Wavelength Division Multiplexing,DWDM；光波分复用器：Optical Multiplexer,OM；光解波分复用器：Optical Demultiplexer,OD；光放大器：Optical Amplifer,OA),1525nm-1600nm间距：0.8nm-频宽100GHz,The East Asia Crossing network will connect Japan, Taiwan, Singapore, Hong Kong, Malaysia, South Korea, and the Philippi

6、nes.,5.光纤的分类,1 从材料来分： （1）高纯度石英（SiO2），0.2db/km（1500nm） （2）多组分玻璃，3.4db/km, 840nm （3）塑料光纤，150db/km, 650nm （4） 液芯光纤 （5）晶体光纤2 从模式来分： （1）单模光纤，芯径410微米 （2）多模光纤，芯径50微米,3 从折射率分布来分： （1）阶跃型光纤 （2）梯度折射率型光纤4 从制作方法来分： （1）CVD（化学气相沉积法） MCVD（改进化学气相沉积法） （2）双坩锅法（适用于制作多组分玻璃)5 按传输偏振态来分： （1） 保偏光纤 （2） 非保偏光纤6 按结构来分： （1） 普通光纤

7、 （2） 光子晶体光纤,1 阶跃折射率光纤的光线理论按照折射率分布: 1. 阶跃型光纤:光纤中心芯到包层的折射率是突变的。其成本低，模间色散高，。阶跃型光纤通常称为普通光纤。 2. 渐变型光纤:光纤中心芯到包层的折射率是渐变的。1.1 子午光线的传播 3.子午面:在光纤中，通过光纤中心轴的任何平面。,4.子午光线:位于子午面内的光线.根据光的反射定律，入射光线和反射光线始终在同一平面内。因此，子午光线经过多次全反射后仍在原入射面内，子午光线是(平面曲线)。5.偏射线:另一种光线不在一个平面里，不经过波导的轴，它们碰到边界时做内部全反射，也和点平面边界一样，反射角等于入射角，(空间曲线)。 如图

8、1所示，n1，n2分别是纤芯和包层的折射率，n0为光纤周围介质折射率。设,图1 光纤的传光原理光线通过光纤波导端面中心点A入射，进入波导后按子午光线传播，根据折射率定律，则: (1)当入射角 大于界面临界角，即: (2),光线在波导内部作全反射。为了得到波导，外面激发的角度0必须满足关系式: (3)6.数值孔径(N.A.):在一般情况下，n01(空气)，则子午光线对应的最大入射角为: (4)它决定了子午光线孔径角的最大值max，即代表光纤的集光本领。,7.相对折射率差:因为纤芯和包层的折射率通常相差很小， ，所以可取 。由(4)式可得: (5) 作为激光传输用的光纤波导，相对折射率差值通常在1

9、5之内。,1.2 几何程长和全反射次数 1.几何程单位长度光纤内光路长度,用lm来表示， 2.总路程长度(光线在该光纤中所传播):lm再乘上光纤的总长度，。一般来说，光线在光纤中经过的光路长度大于光纤的长度。 图.2 光纤长度与路程的关系,如图.2所示，与路程AB相对应的纤维长度是AE，所以有: (6)当n01时，上式化为: (7)由(7)式看出，当n1一定时，lm只决定于光线的外部激发角0而与光纤本身的粗细无关。,3.全反射次数m :光纤每单位长度上的反射次数， 4.总反射次数 :m乘以光纤的长度即可得出。 (8)式中d是纤芯的直径，推导中假定n0=1。 由(8)式可以看出 m1/d，d 小

10、时 m多,1.3 光纤弯曲对子午光线传播的影响 光纤的特点之一是可以弯曲，但是这并不代表光纤就可以随意弯曲。,聚合物光纤连接线,如图3所示，子午光线由光纤直部和弯部的界面上X点进入弯部，弯部的O点在光纤轴线上，OC=R为弯部的曲率半径，d为纤维的直径， 、 、 各为子午光线在直部、弯部外表面和弯部内表面的入射角可以考察弯曲部分中子午光线的传播情况,弯曲部分的 、 角不等于 角，可以证明 ，而 所以 有可能变得小于临界角，这时光线就要逸出外表面。证明如下: 设X点离O点的坐标为x， ，在 AXC中应用正弦定理: (9)在上式中，因为 ，所以即 。,在 ABC内应用正弦定理有: (10)同样，因为

11、 ，所以 即 。因此，当R小到一定程度时，原来在直部能产生全反射的子午光线，到了弯部，,便要从芯线弯曲部分外侧面逸出。 R的减少还可能产生另外一种情形:子午光线只在外表面反射，而不在内表面反射。如图4所示。这时意味着 已经增大到1，在 图4 子午线在外表面反射,式(10)中，以代入，可解出: (11)当R的值比式(11)中的值还要小时，便会发生子午光线只在外表面反射而不到内表面反射的情形。 光纤弯曲后对max的影响。 在式(9)中，当x=d/2时， 与 相差最大，即:,(12)当 等于临界角， ( 恒大于)，这时可以计算相应的max如下:,(13)一般情形中，R d，上式可化为: (14)可见

12、光纤弯曲会使max值减小，即数值孔径N.A.减小，从而使光纤的集光本领减弱。R越小，减弱越多。一般情况R d，因而在R不太小，弯曲次数不太多时，可忽略弯曲的影响,。但是弯曲总要损失光能，对于长距离使用的通讯传输光纤，应尽量避免不必要的弯曲，实际光纤在制造时，形成的微弯也会导致光能损失。 光纤弯曲时，由于全反射条件不满足，其透光量会下降，这时既要计算子午光线的全反射条件，又要推导偏射光线全反射条件，才能求出光纤弯曲时透光量和弯曲半径之间的关系。,实验表明，当R/d0，所以光线在内壁上发生第一次反射后，反射角就减小，从第二次反射开始，以后每次反射后，反射角就减小 。,(28)又 (29)将式(29

13、)代入式(28)可得:,(30) 这个公式说明，当光线从锥形光纤的大端入射时，全反射条件很容易被破坏。因为在光纤中发生全反射的条件是 ，而锥形光纤的反射角 是一直在减小，所以总会在某一次反射后，全反射条件不满足了。光线也就会从光纤的侧壁逸出去。即使在锥角很小的情况下，只要反射次数足够多，就会在某一次反,射后出现 ，而使全反射条件受到破坏。同时，由于内壁上的反射角逐步减小，光线从锥形光纤大端入射时，小端的出射光出现发散，这是由于此时出射光锥角比入射的大。反之，当光线从锥形光纤小端入射时，从纤芯和包层界面内壁上的反射角经每次反射后就会增加，所以大多数的光线都会满足全反射条件，这是和上面情况相反的。

14、同样此时的出射光锥角比入射的小，因而出射光又会聚作用。图10就表示了这两种情况。,图5.10 锥形光纤大端与小端进光的比较 要使光线都能从光纤另一端出射，则应满足: 对于大端入射的情况:a1和a2分别时光纤出,a1,a2,l,射端(小端)和入射端(大端)的半径，若 ，则由上式可得:这是一般情况下锥形光纤聚光条件，再利用:,l是光纤长度，可得:上式为使锥形光纤聚光，光纤有最小长度l0 另外，锥形光纤两端孔径角不一样，大端孔径角小，小端孔径角大，两者满足关系式:,式中: 由此可见，锥形光纤可以改变孔径角，因而可用于耦合。,1.6 光纤的集光本领 数值孔径是表征光纤集光能力大小的一个参数。数值孔径越

15、大即孔径角越大，光纤的集光能力就越强，也就是说能进入光纤的光通量就越多。 光纤和普通的光学透镜相比，它的数值孔径大是一个显著的特点。,设光学透镜的口径为d，焦距为f，如图5.11所示，透镜数值孔径可表示为:,图5.11 透镜的数值孔径,上式说明了光学透镜的数值孔径由f/d决定(f/d为f数。d/f称为相对孔径)。,(31),n0=1时，f数与N.A.的关系如下表所示: 可看出在n0=1时光学透镜要使孔径角达到90是很难做到的。但是光纤的数值孔径可以做得很大。只要选取合适的芯材料和包层材料，其数值可以达到1。,从式(4)可知，由于 的数值可以大于1，从数学上来说，max的值只可能为90，但从物理

16、意义上来说，表明光纤的集光能力特别强，不但在n0=1时max可以达到90，而且在n01时，max仍有可能达到90，这在实际的应用中是很有意义的。,朗伯光源:发光强度dIcos,亮度与方向无关。现在我们 来计算 光纤对朗伯光源发出的光的聚集能力。,图5.12 朗伯光源的发光,如图12所示，朗伯光源处于半径为r的半球面的球心O处，则通过立体角 到 (图中环形阴影区域)的光通量dF为:,(32),阴影区域的面积,且,于是可得:,(33),由于光纤的可接受角范围是0max ，对于式(33)积分后有:,由于从面光源O点发出的总光能流为 ，所以光纤的集光效率为 。 由上面的讨论可以看出，光纤的数值孔径和集

17、光本领有密切关系，当N.A. 1时，子午光线的集光本领与数值孔径N.A.的平方成正比；当N.A. 1时，集光本领达到最大值1。由于光纤的N.A. 可以比光学镜头的大得多，所以与一般光学镜头比较，光纤的集光本领高。,(34),2 偏射光线的传播 偏射光线:是一些和光纤中心轴即不平行，也不相交的光线，它们和光纤中心轴是异面直线。 偏射光线在光纤中进行一次全反射，平面的方位就要改变一次。其光路轨迹是空间的螺旋折线，在端面上的投影可以是左旋折线，也可以是右旋折线，并且这些螺旋折线和光纤的中心轴是等距的。,右旋 左旋 图5.13 斜光线在光纤端面上的投影,2.1 全反射条件 如图14所示，QK为入射在光

18、纤内的斜光线，QK和光纤中心oo是既不平行，又不相交的异面直线。H为K在横截面(或端面)上的投影。QKH= 是斜光线和光纤轴之间的夹角，内壁上的入射角KQT ，轴倾角HQT= 是斜光线在入射点横截面上的投影QH 图5.14 斜光线的全 反射条件,和法线QT之间的夹角。HToT，则QT垂直于KHT平面。这样，QTH， QKT， QKH均为直角三角形。在QTH中，QTQHcos ，在QKH中，QKQH/sin ，在QKT中: (35)上式说明这三个角度之间的关系。显然光线在光纤内壁发生全反射时 是不变的，由于,，而 ，这样就可以得到斜光线的全反射条件为: (36)因此，在光纤中传播的斜光线必须满足

19、如下条件: (37),如果用光线在光纤端面上入射角来代替折射角 ，则上式可以改写成: (38)如果入射光线是子午光线，则QH和QT相重合， =0，公式变成: (39),我们从公式(38)就可以得到斜光线的数值孔径为: (40)由于cos 1，因而斜光线的数值孔径要比子午光线的数值孔径大。由于 的数值依赖于入射角的取向，所以在斜光线的情况下max总有可能为90，但此时相应的 的数值应满足下式:,(41)从式(40)可以得到轴倾角 ，令其为 即有: (42)这里的 为偏射光线在光纤内壁全反射时的临界角。在全反射的条件下， 的取值范围为 。 讨论偏射光线的传播，可以使我们理解所,谓子午孔径外的黑带现

20、象。如果我们用范围内的平行光线入射于光纤的内壁，则 角的取值就是 至90的范围，这样，在光纤端面上就出现黑带现象。 利用公式(42)还可以求出在全反射时偏射光线到光纤中心轴之间的距离。在图14中，作OMQH，又OMKH，所以OM垂直于偏射光线QK所在的平面，而OM就是偏射光线至光纤中心轴的距离，D为光纤直径。 在OQM中:,(43)如果 ，则OM即为我们所要求的斜光线到中心轴的最小距离，利用 和 的关系，上式可改写为:,化简后得: (44)上式说明在发生全反射时，偏射光线至光纤中心轴有一个最小距离OM。这个距离和光纤的直径，纤芯和包层的折射率及所在介质的折射率有关。如果入射光线在光纤上位移时，

21、 也发生变化，在光纤界面内壁上的全反射条件却仍是不变的。,2.2 光路长度和全反射次数 现在我们来求偏射光线通过光纤时的几何程长和全反射次数。由图14可知，单位长度中的几何程长为: (45)比较(45)和(6)两式，可以看出两者是相同的，即l斜=lm。在角相等的情况下，斜光线和子午光线在光纤中的光路长度相同。,同样，单位长度内的全反射次数可写为: (46)由于 (47)代入式(46)可得: (48),比较(48)和(8)两式，可得: (49)上式说明偏射光线的全反射次数总是比子午光线多，它是和轴倾角 密切相关的。在 =0时，即在子午光线情况时，公式(49)和公式(8)是一致的。,3 光纤波导中

22、的模式理论 用几何光学分析-简单直观的优点， -波动理论的初步近似。 光纤的直径减小到和入射光波长同数量级时，光的干涉和衍射等波动性质十分明显， 模: 具有确定空间和时间分布的电磁场分量(模)才能在光纤中传播。这个模和光纤参数、入射光频率和包层的性质有关，并且是满足光纤的一定边界条件的麦克斯韦方程组的一个解。,在光纤波导中导模: 位相常数构成有限数目的分立谱辐射模: 位相常数构成无限数目的连续谱。 在包层无限厚的普通光纤波导结构中，光纤波导仅由折射率为n1的芯和折射率为n2的包层(无限延拓)组成。只要光纤波导的包层厚度远大于电磁波的穿透深度，这样的光纤就可以当做包层无限厚的光纤来处理。,正规波

23、导:光纤波导的折射率分布沿纵向(z向)不变，即。 横向分层均匀 横向分层非均匀 光场可表示为分离形式:若不涉及光纤中的非线性， 为常数， 可,略去，得:其中， 为横截面二维分布项，为纵向波动项。为相移常数、纵向传播常数。 、 都是复矢量，即有幅度、相位和方向，它表示了 、 沿光纤横截面的,的分布，称为模式场。 上式代入 方程，特征解形式:为一个模式。 光纤中的光场分布则是这些模式的线性组合:,式中的ai，bi是分解系数，表示该模式的相对大小。一系列模式可以看成是一个光波导的场分布的空间谱。,3.1 标量波动方程 光是一种电磁波，因此，光在介质中传播应满足介质中的麦克斯韦方程组，采用麦克斯韦方程

24、组形式为: (50a) (50b) (50c) (50d),这里 表示电流密度矢量， 是标量电荷密度在无源场的情况下， =0， =0。对于均匀的、各向同性物质， ，。 是介质的相对磁化率，在非磁性材料中 =1， 是相对介电常数。因此，当光在内部没有场源、均匀的各向同性介质中传播时，麦克斯韦方程组可简化为: (51a),(51b) (51c) (51d)为了应用上的方便，我们将麦克斯韦方程组改写成另外一种形式，对方程(51a)取旋度后，我们得到: (52),代入矢量等式: (53)就可以将方程(5.52)改写成: (54)解此波动方程式，得一复数形式的特解: (55)式中， 表示光波的频率， 称

25、为波矢，它的方向代表了(55)式所表示的平面波的传播,方向，大小表示位相传播的速度， ， ，n是介质的折射率，c是真空中的光速，对光波的磁场 ，同样方法得: (56)由方程式(55)和(56)表示的平面波满足: ， (57)于是，波动方程(54)可简化为:,(58)对于磁场有同样的结果: (59)方程(58)和(59)称为亥姆霍兹方程，是讨论光在介质中传播问题的基本方程，在直角坐标系(x，y，z)中， 和 的x，y，z分量均满足亥姆霍兹方程的标量形式: (60) 代表 或 的各个分量。光在有限大小的介质中传播，或在一个由折射率不同的几,种介质所组成的物质中传播时，必须考虑不同介质组成的界面处电

26、磁场应满足的边界条件: (61a) (61b) (61c) (61d) 上式中的 表示界面的法线方向。亥姆霍兹方程和边界条件以及麦克斯韦方程组是研究光纤波导的基本出发点。,5.3.2 光纤波导中的模式模: 具有确定空间和时间分布的电磁场分量是光波导中的一个基本概念，它具有以下特性:(1)稳定性:一个模式沿纵向传输时，其场分 布形式不变，即沿z方向有稳定的 分布。(2)有序性:模式是波导方程的一系列特征解， 是离散的，可以排序的。排序方法 有两种。一种是以传播常数的大 小排序(越大序号越小)，另一,种是以(x，y)两个自变量排序， 所以有两列序号。(3)迭加性:光波导中总的场分布是这些模式的 线性迭加。(4)正交性:一个正规光波导的不同模式之间满 足正交关系。 对于圆柱形的光纤，取柱坐标比较合适。,图5.15 光波导的坐标系如图15所示，光纤的轴向为z，纤芯半径为a，折射率为n1，包层折射率为n2，且n1 n2 。在整个波导结构中，折射率分布均匀,没有自由电荷及传导电流，属各向同性介质。,(62)式中下标(1)和(2)分别代表纤芯和包层区域。根据规则波导理论，只要求出纵向分量Ez、Hz ，横向场分量就可利用Ez、 Hz求出。而Ez 、 Hz满足标量亥姆霍兹方程: (63a) (63b),