对称矩阵的性质及其应用【毕业论文】.doc

1、（20_届）本科毕业设计数学与应用数学对称矩阵的性质及其应用1目录1对称矩阵的性质111对称矩阵的基本性质112实对称矩阵的性质313复对称矩阵的性质82对称矩阵的应用921二次型标准化922二次曲面的分类1023多元函数的极值112对称矩阵的性质及其应用摘要本文以矩阵的相关知识为基础，先给出了对称矩阵的相关概念及其背景；然后总结探讨了对称矩阵的一些性质，在此基础上又对对称矩阵的加法、乘法等运算相关性质进行研究；最后介绍了对称矩阵在二次型等方面的应用关键词对称矩阵；实对称矩阵；复对称矩阵；二次型；应用在矩阵中，对称矩阵是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类本文给出了对称矩

2、阵的相关性质及其应用1对称矩阵的性质若NNPA且满足AAA是A的转置矩阵，则称A为数域P上的对称矩阵对称矩阵作为特殊的矩阵，是由二次型得出的一个概念定义1数域P上的一个N元二次型与线性替换用矩阵A表示，则有系数排成的一个NN矩阵,212222111211NNNNNNAAAAAAAAAA它就称为二次型的矩阵，因为NJIAAJIIJ,1,，所以AA我们把这样的矩阵称为对称矩阵1根据定义1，显然，A为对称矩阵的充要条件即NJIAAJIIJ,1,或AA对称矩阵的特点是它的元素以主对角线为对称轴对应元素相等11对称矩阵的的基本性质对称矩阵作为特殊的矩阵，同样满足相关的矩阵的运算，有如下性质1两个对称矩阵

3、的和或差仍是对称矩阵；2数与对称矩阵的乘积仍是对称矩阵；不难验证对称矩阵的线性运算（矩阵的和差及数与矩阵的乘积运算）中，满足下列运算规律ABBACBACBAAOAOAAAA1KBKABAK3LAKAALKAKLLAK以上A,B,C都是N阶对称矩阵，O为元素全是零的零矩阵，K,L是数3两个对称矩阵的乘积是对称矩阵的充要条件是这两个矩阵可交换；BAABABBABAAB然而一般地BAAB，即对称矩阵的乘法不满足变换律；但仍满足一下运算规律BCACABACABCBACABAACBBABAAB特别地，由矩阵乘法可得对称矩阵的正整数幂仍为对称矩阵其次，如果NNIJPAA，且A是对称矩阵，根据A中元素IJA

4、的代数余子式的定义1必有JIIJAA（IJA是A中的元素IJA的代数余子式），由伴随矩阵的定义（见1P178），那么AA所以有3对称矩阵的伴随矩阵也是对称的；因为当A可逆时，11AAA,所以由2）可得4当A可逆时，它的逆矩阵也对称如果对称矩阵A,B可逆，那么A与AB也可逆，且11111,ABABAA所以，由3有对称矩阵的负整数幂仍为对称矩阵即5对称矩阵的整数幂仍为对称矩阵对阵矩阵的的幂满足下列运算规律LKLKAAAKLLKAA注意由于矩阵的乘法不满足交换律，所以在一般情况下（设A，B为N阶对称矩阵），KKKBAAB,但下规律成立6设A,B，是N阶对称矩阵，且BAAB，则KKKBAAB12实对称

5、矩阵的性质下面将要从四个方面来了解实对称矩阵的一些相关性质4121合同标准型定义2设NNFBA,，如果存在可逆矩阵P使得BAPP成立，就称矩阵A,B合同矩阵的合同关系满足以下关系1）反身性,FMANA与A合同AIIAT2）对称性若A与B合同，则B与A亦合同事实上A与B合同，即存在可逆矩阵P使APPBT1111BPPBPPATT1P可逆故也3）传递性若A与B合同，B与C合同，则A与C合同事实上存在可逆矩阵P、Q使APPBT，BQQCT，APQPQCTTPQAPQT而PQ可逆故也定理11若A与B合同，A为对称矩阵,则B亦是事实上存在可逆矩阵P使APPBT,BAPPPAPAPPBTTTTTTT,故也

6、显然与对称矩阵合同的矩阵也一定对称，合同关系也是矩阵之间的等价关系当然对对称矩阵实施若干次合同变换后仍是对称矩阵定理12合同矩阵有相同的秩定理13任一对称矩阵都合同于对角矩阵若A是复对称矩阵，则A合同于一形为000RI的矩阵，其中R为矩阵A的秩若A为实对称矩阵，则A合同于一形为0PRPII的矩阵，其中R为矩阵A的秩，P称为A的正惯性指数，而PR称为A的负惯性指数122特征值、特征向量定理14设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数证设0是A的任意一个特征值，TNXXX,21为相应的特征向量0A令TNXXX,21，其中IX为IX的共轭复数，则0A于是5TTTTTAAAATOTO又因为非零向量，因此

7、0|222212211NNNTXXXXXXXXX故00，即0是实数定理15设A是实对称矩阵，则NR中属于A的不同特征值的特征向量必正交证明设,是A的两个不同的特征值，,是分别属于,的特征向量AA,由,AAAATT，有,因为，所以0,即,正交例1设三阶实对称矩阵A的特征值为1,1321，对应于1的特征向量为T1,1,01,求A解由于属于不同特征值的特征向量必正交，故设对应于132的特征向量，记TXXX,321，由01T，有032XX，解得110,00132再由,321321321AAAA,得010100001101101010101101010,11321321A123相似标准型定义3若NNPB

8、A,且存在可逆矩阵P使得BAPP1成立，则称BA,具有相似的关系由定义3，显然相似关系不一定能保持矩阵的对称性当且仅当定义3中的矩阵P是正交矩阵时相似关系能保持矩阵的对称性，即对称矩阵BA,是欧氏空间的对称变换关于不同标准正交基的矩阵，那么它们必相似；反之，两个相似的实对称矩阵必是欧氏空间的某个对称变换关于不同标准正交基的矩阵由于实对称矩阵的特征值都是实数，所以实对称矩阵有很好的相似性质；实对称矩阵必与一对6叫矩阵,21NDIAG（其中,2,1NII是A的特征值）相似定理16对于任意的一个N级实对称矩阵A，都存在一个N级正交矩阵T，使ATTATT1成对角形由相似矩阵有相同的特征值，ATTATT

9、1主对角线上的元素即为A的特征值,且T的各列为矩阵A相应的特征向量根据上面的讨论，正交矩阵T的求法可以按以下步骤进行求出A的特征值设R,1是A的全部不同的特征值对于每个I，解齐次线性方程组021NIXXXAE，求出一个基础解系，这就是A的特征子空间IV的一组基由这组基出发，按施密特正交化的方法求出IV的一组标准正交基IIKI,1因为R,1两两不同，所以向量组RRKRK,11111还是两两正交的又根据定理15以及1中第七章第五节的讨论，它们的个数就等于空间的维数因此，它们就构成NR的一组标准正交基，并且也都是A的特征向量这样，正交矩阵T也就求出了例2试用正交的相似变换矩阵，化下列实对称矩阵为对角

10、矩阵211121112A解特征方程可取为0AE，或者0EA先求特征值，这里计算2141241142111211122131CCCCEA4110001011421213RRRR，A的特征值为4,1321解特征方程组3,1,0IXAEI7求得对应的特征向量分别为111,101,011321PPP它们线性无关显然3P已与21,PP正交，且一定与下列21,正交用施密特过程将21,PP正交化，得1,21,21,111122211PPP最后再单位化，得313131,626161,0212132111,故所求正交矩阵22021321361T,使4000100011ATTATT124实对称矩阵分解定理17若N

11、NRA，且A是对称矩阵则当且仅当0A时有02A证明设JIIJIJAAAA,，则0121221212NJNJNJJNJJAAAA因此NIANJIJ,2,1,12，又IJA为实数，故0IJA即0A对于一般的矩阵A，当02A时，未必有0A对于复对称矩阵A，当02A时，未必有0A如00001111,112IIIIAIIA定义4设AXXXXXFTN,21为N元实二次型若对于任意一组不全为零实数812,NCCC，当变元12,NXXX取这组数时，二次型的值12,0NFCCC总成立，则称实二次型12,NFXXX为正定二次型；相应的实对称矩阵A称为正定矩阵,记作0A实对称矩阵A正定的充要条件是A的特征值都为正数

12、对于正定矩阵我们有，定理18若A为正定矩阵，则存在对称矩阵S，使得2SA证明由定理16，存在正交矩阵Q，使得NTAQQ21，NII,2,1,0因此TNQQA21TNTNQQQQ2121设,21TNQQS则2SA定理18的中矩阵S称为矩阵A的平方根定理19A是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组N,21，使TNNTTA2211证明必要性A是正定矩阵，因此存在交定矩阵U，使UDIAGUANT,21，,21NU，令III（NI,2,1），其中,2,1NII为正交向量组，即得TNNTTA2211充分性9TTNTTNTNNTTUUA21212211,U为可逆矩阵，显然A是正定矩阵13复对称矩阵的性质定义5

13、若复矩阵H满足HH,称为H的HERMITE阵，称HXX为HERMITE型定理18HERMITE阵是正定的充要条件是，A的特征值全大于零定理19设A为正定的HERMITE阵，则必有I）BBA，而B为可逆方阵；IIRRA，而R为复的可逆的上三角阵；III）A的所有主子式全大于零复对称方阵不一定能与对角矩阵相似，但是它必与一准对角矩阵（约当标准形）相似（15P90TH3）但是复对称方阵可以表示任意复对称方阵的积定理19任意复方阵都可以分解为两个复对称方阵的乘积证明设A为任意复方阵，A相似与约当标准形J,即存在可逆方阵T使得等式JTTA1成立，而KJJJJ21KIJII,2,1,1121取KIHI,2

14、,1,111则IIHH1令KHHHH21有,1HHAJJHJHJIIIICACHTTATHTHTJHTJTTA1111111其中HTTC，那么C是可逆且对称的记1ACD就有DCA且DACCACCACD1111，即D也对阵证毕102对称矩阵的应用关于对称矩阵的应用有很多，本文主要介绍它在以下几个方面的应用21二次型标准化对于二次型12,TNFXXXXAX，存在可逆矩阵，C经过非退化（1P206TH1）线性替换CYX，使得12,TTTNFXXXXAXYCACY所变成的只含有平方项的形式，该形式称为12,NFXXX的一个标准形例3化二次型323121321622,XXXXXXXXXF成标准型解,32

15、1XXXF的矩阵为031301110A,取1000110111C,042420202100011011031301110100011011111ACCA再取1000101012C，2404200021000101010424202021010100012122CACA再取1002100013C6000200021002100012404200021200100013233CACA3A已是对角矩阵，因此令100111311100210001100010101100011011321CCCC,11就有600020002ACC作非退化线性替换CYX,即得232221321622,YYYXXXF22二

16、次曲面的分类实对称矩阵可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲面的方程，以及讨论二次曲面的分类在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是0222222321231312233222211DZBYBXBYZAXZAXYAZAYAXA令,321332313232212131211BBBBZYXXAAAAAAAAAA则先写成02DXBAXX经过转轴，变换公式为1CXX其中C为正交矩阵且1C在新坐标系中，曲面的方程就是02111DXCBXACCX根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵C使321000000ACC这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为0222131211213212211DZBYB

17、XBZYX，其中CBBBBBB,321321这时再按照321,是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程譬如说，当321,全不为零时，就作移轴,332122211121BZZBYYBXX于是曲面的方程化为0223222221DZYX，其中321221121BBBDD根据321,的取值情况可以确定二次曲面的类型例4设方程222123123121323,5532661FXXXXXXXXXXXX，问此方程表示何12种曲面解方程可改写为1XAX，其中123XXXX，513153333A，可以求出矩阵A的特征值为9，4，0所以存在某正交变换XTY，把二次型化为221294YY，相应

18、地，方程变为2212941YY由此可见，方程123,1FXXX表示椭圆柱面23多元函数的极值设N元函数,21NXXXF在,002010NXXXX的某领域内有一阶、二阶连续偏导数又,0202101NNHXHXHX为该领域中任意一点由多元函数的泰勒公式知JININJIJINIIHHHXFHXFXFHXF210110100其中10，,002010NXXXX，,21NHHHH,2,100NIXXFXFII,2,1,020200NJIXXHXFXXHXFHXFHXFIJJIIJJI当,002010NXXXX是0XF的驻点时，则有00XFI,2,1NI，于是0XF是否为XF的极值，取决于JININJIJH

19、HHXF011的符号由XFIJ在0X的某领域中的连续性知，在该领域内，上式的符号可由JININJIJHHXF011的符号决定而后一式是NHHH,21的一个N元二次型，它的符号取决于对称矩阵0020102022021010120110XFXFXFXFXFXFXFXFXFXHNNNNNN是否为有定矩阵我们称这个矩阵为XF在0X处的N阶黑塞（HESSE）矩阵，其顺序K阶主子式记为,2,10NKXHK13我们有如下判别法（1）当00XHK,2,1NK，则0XF为XF的极小值（2）当010XHKK,2,1NK，则0XF为XF的极大值（3）0XH为不定矩阵，0XF非极值（4）0XH为半正定或半负正定矩阵时

20、，0XF既可能是极值，也可能不是极值，尚需利用其他方法来判定例5求出函数333232312131321333,XXXXXXXXXXXXF的极值解033332211XXXF033332212XXXF033323212XXXF解方程组得驻点0,0,00X，2,2,20X1116XF312F313F321F2226XF323F331F332F3336XF0333033300XH,1233312333120XH001XH,902XH,5403XH由于0XH是不定矩阵，故在点0,0,0处,321XXXF没有极值而在点2,2,20X处，有0121XH，01351233122XH，0135012333123

21、3312XH14故XH为负定矩阵，所以122,2,2F是给定函数的极大值实际上，此极值判别的充分条件完全可以用到一般的多元函数上去参考文献1王萼芳,石生明高等代数M北京高等教育出版社,200391623972王品超高等代数新方法M河南山东教育出版社,19891173843史秀英对称矩阵的分解及其应用J内蒙古民族师院学报,1999,1421881894宋国乡,冯象初对称矩阵的一种特殊分解J工程数学学报,1990,731221265付立志对称矩阵对角化的相似模型J河南科学，2005,2344764786恽鹏伟关于对称矩阵合同变换的进一步思考J吉林广播电视大学学报,2001,422257姜景连关于高

22、等代数中的对阵矩阵J南平师专学报，2005,242468张厚超,李瑞娟关于HERMITE矩阵正定性性判定的等价条件及证明J河南教育学院报,2009,181789刘玉,蔡乌芳,郑礼哲K次对称矩阵及其性质J南通大学学报,2010,92848910张诚一N元二次式极该值的矩阵求法J南都学坛,1994,14464911彭文华对称矩阵的两特征值问题J大学数学,2004,203192012同济大学数学教研室线性代数（第二版）高等教育出版社,1991,813魏献祝高等代数修订版M上海华东师范大学出版社14张禾瑞高等代数第三版M北京高等教育出版社15孟道冀高等代数与解析几何下册M北京科学出版社16北京大学数力

23、系编高等代数第二版M北京高等教育出版社17北大数学系高等代数（第三版）PROPERTIESOFSYMMETRICMATRIXANDTHEIRAPPLICATIONABSTRACTINTHISARTICLETHECONCEPTOFTHESYMMETRICMATRIXANDITSBACKGROUNDWEREPRESENTEDTHENSOMEPROPERTIESOFTHESYMMETRICMATRIXWERESUMMARIZEDANDDISCUSSEDFINALLYTHEAPPLICATIONOFTHESYMMETRICMATRIXINSIMPLIFICATIONOFQUADRATICFORMANDSOONWEREINTRODUCEDKEYWORDSSYMMETRICMATRIXREALSYMMETRICMATRIXCOMPLEXSYMMETRICMATRIXQUADRATICFORM