二元函数重极限和累次极限的关系及其求解【开题报告+文献综述+毕业论文】.Doc

1、1毕业论文开题报告数学与应用数学二元函数重极限和累次极限的关系及其求解一、选题的意义在数学分析中，我们讨论了函数的极限。通过对极限的学习，我们应该有一种基本的观念就是“极限是研究变量的变化趋势的”或说“极限是研究变量的变化过程,并通过变化的过程来把握变化的结果”。多元函数的极限在高等数学中是很重要的，但是因为多元函数的自变量比较多。所以，在判断多元函数的极限存在与否以及它的求解方法的时候，跟求解一元函数的极限比起来就显得更加的麻烦。二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的，二者之间既有联系也有区别但是由于自变量的增多，使得多元极限变得相当复杂，产生了一些新的问题，这里我们讨论二元函数的重极

2、限与累次极限的关系并给出极限是否存在和具体求解的几种常见方法。二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）本文主要对多元函数的极限（重极限与累次极限）加以讨论。并且从二元函数的重极限与累次极限的定义出发通过比较两者的区别，理解极限求解的不同思路，通过类比的方法来推断多元函数极限之间的关系。拟解决的问题（一）给出二元函数重极限与累次极限的定义，比较它们的区别与联系。（二）通过对二元函数的讨论而出多元函数极限的关系，并通过举例加以说明。（三）通过对这些知识的整理解释，在数学专业遇到这类问题，让它帮助人们更有条理解决，也为教学带来方便。三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）步骤第一阶段搜

3、集资料，确定论文选题和主要阅读文献，完成任务书；（文献研究法、比较研究法）2第二阶段整理资料完成开题报告和研究综述，形成论文框架；（文献研究法、比较研究法、经验总结法）第三阶段通过刊物查阅和网上资料收集，充实资料，完成初稿；（文献研究法、比较研究法）第四阶段按要求修改初稿第五阶段修改毕业论文完成第二稿、第三稿，最后定稿方法1文献资料法利用网络、书籍，杂志等渠道收集多元函数重极限与累次极限的一些性质相关的信息资料,然后对资料加以整理分类，筛选出有用的信息。和老师同学进行讨论，运用已学的分析方法，对筛选出来的资料加以终结、归纳，为写正文作准备。2举例说明法运用典型例子说明多元函数的重极限与累次极限

4、，将问题说得更具体明白，易于理解。四、毕业论文（设计）提纲1二元函数的重极限与累次极限的定义。2二重极限与累次极限的区别于联系。3二元函数极限存在的命题及几种常见的求解方法。4二元函数极限不存在的命题及常见的判定方法。五、主要参考文献1华东师范大学数学系数学分析下册第三版M北京高等教育出版社，2006911002王旭琴二重极限与累次极限的关系J南昌高专学报，2010,871571583许汪涛关于多元极限的概念J陕西师范大学继续教育学报，2003，20（3）981004赵丽琴，白云芬累次极限与二重极限的关系研究J石家庄学院报，2005,7319205黄克武论重极限与累次极限的等价性J云南教育学院

5、报，1995,113（5）20236张同琦浅议二元函数重极限与累次极限的关系J渭南师范学院报，2000，15（5）69707陈继修，於崇华，金路数学分析第二版下册M北京高等教育出版社，19991201258翟明娟多元函数重极限的几种求法J晋东南师范专科学校学报,2003,20250519罗志敏，汪琳一类多元函数极限的计算J科技创新导报，20082624224310裴礼文数学分析中典型问题与方法第2版M北京高等教育出版社，199362262711于英凤关于多元函数的极限J辽宁师范大学学报（自然科学版），1987,（2）9510112阎明刚用定义证明多元函数极限的一个方法J商丘师专学报（自然科学版

6、），1988,2535713张俊显二重极限的研究J石家庄大学报，2000,12（1）24264毕业论文文献综述数学与应用数学二元函数重极限和累次极限的关系及其求解1国内外现状极限思想也是社会实践的产物。追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法归谬法来完成了有关的证明。到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期

7、,要求数学突破只研究常量的传统范围,而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具。牛顿用路程的改变量S与时间的改变量T之比S/T表示运动物体的平均速度，让T无限趋近于零，得到物体的瞬时速度。他意识到极限概念的重要性试图以极限概念作为微积分的基础，他说“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差,则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述“如果当N无限增大时，AN无限地接近于常数A，那么就说AN以A为极限”。维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定

8、义。所谓ANA，就是指“如果对任何0，总存在自然数N，使得当NN时，不等式|ANA|0，总存在自然数N，使得当NN时，不等式|ANA|恒成立”。4存在问题我们所讨论的多元函数是从一元函数的分析中推断出来的，并且考虑的定义域都是实数域。由于研究对象所存在的域（或空间）不同，那么他们的性质也会有一定的变化，比如泛函分析中同样有极限的存在，但他们所研究的对象就会有所不同。6极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思

9、想方法。但是在实际生活的应用中仍需要问题的需要不断改进函数极限值存在的条件使之更加贴近现实。5参考文献1华东师范大学数学系数学分析下册第三版M北京高等教育出版社，2006911002王旭琴二重极限与累次极限的关系J南昌高专学报，2010,871571583许汪涛关于多元极限的概念J陕西师范大学继续教育学报，2003，20（3）981004赵丽琴，白云芬累次极限与二重极限的关系研究J石家庄学院报，2005,7319205黄克武论重极限与累次极限的等价性J云南教育学院报，1995,11（5）20236张同琦浅议二元函数重极限与累次极限的关系J渭南师范学院报，2000，15（5）69707陈继修，於

10、崇华，金路数学分析第二版下册M北京高等教育出版社，19991201258翟明娟多元函数重极限的几种求法J晋东南师范专科学校学报,2003,20250519罗志敏，汪琳一类多元函数极限的计算J科技创新导报，20082624224310裴礼文数学分析中典型问题与方法第2版M北京高等教育出版社，199362262711于英凤关于多元函数的极限J辽宁师范大学学报（自然科学版），1987,（2）9510112阎明刚用定义证明多元函数极限的一个方法J商丘师专学报（自然科学版），1988,2535713张俊显二重极限的研究J石家庄大学报，2000,12（1）242614罗志敏。浅谈二重极限交换次序的问题J赤

11、峰学院报学报（自然科学版），2009,25（10）347（20_届）本科毕业设计数学与应用数学二元函数重极限与累次极限的关系及其求解8正文目录1引言12预备知识121二元函数的定义122二元函数累次极限的定义223二元函数重极限的定义23二元函数的重极限与累次极限之间的区别与联系331二重极限与累次极限的区别332二重极限与累次极限的联系64二元函数极限存在的命题及几种常见的求解方法741极限存在的命题742极限求解的几种常见的方法85二元函数极限不存在的命题及常见的判定方法1351极限不存在的命题1352极限不存在的两种常见判定方法14参考文献16致谢169二元函数重极限与累次极限的关系及其

12、求解摘要在累次极限与二重极限定义的基础上讨论了累次极限与二重极限的关系，并且指出累次极限不能看作二重极限特例的根本原因本文探讨了重极限是否存在和具体求解的几种常见方法关键词二元函数；重极限；累次极限；计算；判别法1引言极限思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科纵观极限理论发展的历史，极限理论在数学分析中不可磨灭的作用与地位及相关极限的求法，同时我们可以看到许多科学家都为此做出了卓绝的功绩除了几分敬佩之情油然而生外也从他们身上学到了对科学执著的追求，同时极限理论的建立也说明一种新的数学方法的建立，是在不断深化认识的基础上，由定性认识转化

13、为定量认识，形成概念和理论的系统通过对极限的学习，我们应该有一种基本的观念就是“极限是研究变量的变化趋势的”或说“极限是研究变量的变化过程,并通过变化的过程来把握变化的结果”二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的，二者之间既有联系也有区别但是由于自变量的增多，使得多元极限变得相当复杂，产生了一些新的问题，这里我们讨论二元函数的重极限与累次极限的关系并给出极限是否存在和具体求解的几种常见方法2预备知识21二元函数的定义1设平面点集2DR，若按照某对应法则F，D中每一点,PXY有唯确定的实数Z与之对应，则称F为定义在D上的二元函数（或称F为D到R的一个映射），记作FDR，PZ，且称D为F的定

14、义域；PD所对应的Z为F在点P的函数值，记作ZFP或,ZFXY1022二元函数累次极限的定义1设2DR，0X是XE的聚点，0Y是YE的聚点，二元函数FP在集合XYDEE上有定义，若对每一个0,YYEYY，存在极限0LIM,XEXXXFXY，由于此极限一般与Y有关，记作0LIM,XEXXXYFXY，而且进一步存在极限0LIMYEYYYLY，则称此极限为二元函数FP先对X0X后对Y0Y的累次极限，并记作00LIMLIM,YXYYXXYEXELFXY，或简记作00LIMLIM,YYXXLFXY类似可定义先对Y后对X的累次极限00LIMLIM,XXYYLFXY23二元函数重极限的定义1设二元函数,FX

15、Y为定义在2DR上的二元函数，设点000,PXY为D的一个聚点，A是一个确定的常数，如果对0,0，使得当00,PXYUPD时，都有|FPA，则称F在D上当0PP时以A为极限记作0LIMPPPDFPA也可简写为0LIMPPFPA或00,LIM,XYXYFXYA注（1）二重极限定义中00,XYXY，蕴含着0XX和0YY的同时性和任意性，同时性是指当00,XYXY时蕴含着0XX同时0YY，任意性则是指,XY作为D中任意一点，不管以何种方式趋向于点00XY，函数,FXY都趋向于唯一固定数值A，这正是二重极限求解的难点之处同时反过来考虑，这也为判断二重极限的不存在提供了方法，即若P沿两条不同的曲线趋于0

16、P时，函数F的极限不同或不存在，则此函数F在0P的二重极限不存在（2）由累次极限的定义很容易看出，求累次极限的实质是求两次一元函数的极限，因此，累次极限又称二次极限113二元函数的重极限与累次极限之间的区别与联系31二重极限与累次极限的区别由定义可知，二重极限与累次极限的本质不同，二者之间并没有蕴含关系，并且，两个累次极限之间也没有蕴含关系311两个累次极限都存在但不相等，二重极限不存在例1考察二元函数,FXY22XYXYXY在点0,0的二重极限和累次极限解让动点,XY沿着直线YKX趋近原点0,0，有22,0,0,0,0LIM,LIMXYXYXYXYFXYXY220LIMXXKXXKXXKX2

17、011LIM1XKKXK11KK右边的结果表明，它的值随着K而变，也即随路径而变因此函数,FXY在点0,0的二重极限不存在下边考察累次极限2000LIMLIM,LIM1XYXXXFXYX，2000LIMLIM,LIM1YXYYYFXYY由上边推导可以看出，,FXY在点0,0的二重极限不存在，两个累次极限都存在这说明，两个累次极限都存在，并不能保证二重极限的存在就累次极限本身来说，两个累次极限都存在但也不一定相等312两个累次极限存在且相等，二重极限不存在例2设,FXY22XYXY，求,FXY在点0,0处的累次极限和二重极限解首先,FXY在点0,0处的累次极限都存在，分别为120LIMX0LIM

18、Y,FXY0LIMX000LIMY0LIMX,FXY0LIMY00,再求二重极限，令,XY沿直线YMX趋于0,0时由于此时,FXY,FXMX21MM因而当,XY沿直线YMXYMX趋于0,0时，2,1MFXYM即动点沿不同斜率M的直线趋于原点0,0时，对应的极限值也不同因此所讨论的函数的极限不存在，即二重极限不存在由上边的推倒可以看出,FXY在点0,0的累次极限存在并且相等，但是二重极限不存在，说明累次极限的存在且相等不能保证二重极限的存在性313两个累次极限存在且相等，二重极限存在例3讨论函数1,SINFXYXYXY在点0P0,0的二重极限与累次极限解显然0P0,0是函数唯一无定义的点（孤立外

19、点），对0，02，当0|,0|XY时，|,0|FXY1|SIN|XYXY|XY即函数1,SINFXYXYXY在点0P0,0的二重极限存在由于0011LIM,LIMSINSINYYFXYXYXXYX从而00LIMLIM,XYFXY00LIMLIMXY1SINXYXY0LIMX1SINXX0即累次极限00LIMLIMXY1SINXYXY存在同理另一个累次极限也存在314两个累次极限不存在，并且二重极限也不存在例4考察函数11,COSSINFXYXY在点0,0处的累次极限与二重极限解累次极限00LIMLIM,XYFXY0011LIMLIMCOSSINXYXY由于括号中的极限13不存在，所以这个累次极

20、限不存在同理我们可以证明另外一个累次极限00LIMLIM,YYFXY0011LIMLIMCOSSINYXXY不存在二重极限由于函数,FXY中无论以何种方式,0,0XY时，有0X且0Y，此时1COSX及1SINY没有极限，此时二重极限不存在315两个累次极限不存在，但是二重极限存在例5讨论函数11,SINSINFXYXYYX在点0,0的二重极限与累次极限解由于0，存在02当0|,0|XY时11|,0|SINSIN|FXYXYXYYX,即函数11,SINSINFXYXYYX在点0,0处的二重极限存在，但是函数11,SINSINFXYXYYX在0,0的两个累次极限都不存在因为对任何0Y当0X时,FX

21、Y的第二项不存在极限同理，对任何0X当0Y时,FXY的第一项不存在极限即000011LIMLIM,LIMLIMSINSINXYYXFXYXYYX与00LIMLIM,YXFXY00LIMLIMYX11SINSINXYYX都不存在316个累次极限存在，另外一个累次极限不存在，但二重极限存在例6考察函数1,SINXYXY在点0,0的二重极限和累次极限解因为1|,|SIN|FXYXXY，所以二重极限,0,0,0,01LIM,LIMSIN0XYXYFXYXY14而累次极限00LIMLIMXY,FXY001LIMLIMSINXYXY因为括号中的极限不存在，所以这个累次极限不存在另一个累次极限00LIMLI

22、M,YXFXY001LIMLIMSINYXXY0这个例子这说明二重极限的存在也不能保证累次极限存在，当然更不能保证两个累次极限相等317一个累次极限存在，另外一个累次极限不存在，但二重极限不存在例7讨论函数2442,XYFXYXY在点0P0,0处的二重极限和累次极限解让动点,XY沿着直线YKX趋近原点0,0，则有,0,0LIM,XYFXY0LIMX2424XKXXKX21K,这一结果说明动点沿不同的斜率M的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在下面考虑累次极限00LIMLIM,XYFXY244200LIMLIMXYXYXY201LIMXX不存在，故累次极限不存在但00LIM

23、LIM,YXFXY244200LIMLIMYXXYXY20LIMYY0综合前面的讨论，可知二重极限与累次极限的存在性没有必然的联系也就是说二重极限存在，不能保证累次极限的存在；累次极限的存在即使相等也不能保证二重极限的存在，更不用说三个极限相等了32二重极限与累次极限的联系定理11若函数,FXY在点00,XY存在重极限与累次极限00LIMLIM,XXYYFXY，则他们必相等证明设00,LIM,XYXYFXYA，则对任给的正数总，存在正数，当00,PXYUP时，有|,|FXYA,1另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式1500|XX（2）的X，存在极限0LIM,YYFXYX3回到不等式（1），

24、让其中0YY，由（3）可得|XA,（4）故由（2），（4）证得0LIMXXXA，即00LIMLIM,XXYYFXY00,LIM,XYXYFXYA推论11若累次极限00LIMLIM,XXYYFXY，00LIMLIM,YYXXFXY和重极限00,LIM,XYXYFXY都存在，则三者相等推论21若累次极限00LIMLIM,XXYYFXY与00LIMLIM,YYXXFXY存在但不相等，则重极限00,LIM,XYXYFXY必不存在4二元函数极限存在的命题及几种常见的求解方法41极限存在的命题命题12极限0LIMPPPDFP存在的充要条件是对于D中任一满足条件0NPP且0LIMNNPP的点列NP它所对应的

25、函数列NFP都收敛且极限相等证明必要条件设0LIMPPPDFPA，则对任给的正数，使得当00PUPD时，都有|FPA另一方面，对于D中任一满足条件0NPP，且0LIMNNPP的点列NP，对于上述0，NZ，使得当NN时，有00NPUPD，从而|NFPA即函数列NFP收敛充分条件设对D中任一满足条件0NPP，且0LIMNNPP的点列NP，有LIMNNPA，则可用反证法推出0LIMPPPDFPA事实上，倘若0LIMPPPDFPA，则存在1600，（无论多么小），总存在一点00PUPD，但0|FPA现依次取1111,23N，则存在12,NPPP，使得01NPUPN，而0|NFPA显然点列NP00UPD

26、，且0LIMNNPP，但当N时，NFP不趋于A，这与假设相矛盾所以必有0LIMPPPDFPA命题22极限0LIMPPPDFP存在的充要条件是当,XY沿径向路径0COSXXR，0SINYYR趋向点00,XY时，,FXY的极限都存，保持相等，且关于幅角0,2一致证明必要条件易得充分条件设0000,2LIMCOS,SINRFXRYRA对任给的0，存在正数0，当0R，0,2，有00|COS,SIN|FXRYRA,所以当22000RXXYY时，0,2，有00|COS,SIN|FXRYRA即00,LIM,XYXYFXY例8求下列极限,FXY22LNXYXY的极限解令COSXR，SINY,有22,0,0LI

27、MLNXYXYXY0LIM2COSSINLNRRR,因为|COSSIN|2，且0LIMLN0RRR,所以220,0LIMLN0XYXYXY42极限求解的几种常见的方法421利用定义417利用定义求二重极限,LIM,XYFXY时我们往往先以YKX代入,FXY然后去求LIM,YKXXFXY，即令,XY沿各种不同的直线方向趋向,，看所得的结果A是否与K有关如果结果A与K无关，那么极限有可能存在这时，我们用定义去验证A是不是所以求的极限，当然,XY沿各种直线趋向,的结果相同时，也可能跟某一曲线趋向,的结果不同，这时极限仍然不存在例9求2222,0,0LIMXYXYXY解因为22222222001LIM

28、LIM1XXYKXKXXYXYKX2211KK，与K有关，所以2222,0,0LIMXYXYXY不存在422利用极限定义求解二重极限（包括非正常极限）需要事先“估计”或“猜出”极限的可能值例10求22,0,0LIM|XYXY解由于分子的次数高于分母的次数，且分子、分母中的每一项均非负，从而“估计”所求极限应为0因为22222|2|XYXXYYXY,所以22|XYXY从而有222222|0|XYXYXYXYXY所以0，取，则当220XY时有22|0|XY423利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限51等价无穷小代换例11求33,0,0,0,0SINLI

29、M,LIMXYXYXYFXYXY18解因为0,0XY，故有330XY，所以33SINXY等价于33XY，故由原式为333322,0,0,0,0,0,0SINLIMLIMLIMXYXYXYXYXYXXYYXYXY注无穷小替代求极限时，要理解替换过程的本质，不可随意替换利用等价无穷小替代求解求极限其实质就是在极限运算中同时乘一个或者除一个等价无穷小，也就是我们通常所说的“乘除时可以替换，加减时不可随意替换”2讨论当0X，0Y，二元函数,FXY的极限，利用变量代换把二重极限化为一元函数中的已知极限转化，相应有0T从而求得结果例12求2222,0,0LN1LIMXYXYXY解令22XYU，则当0X，0

30、Y时，0U，于是2222,0,00LN1LN1LIMLIMXYUXYUXYU3讨论当X，YA，（0A常数或）时，二元函数,FXY的极限，作变量代换，相应有T，利用已知一元函数的极限公式例13求21LIM1XXYXYAXY，其中0A解因为21111XXXYXYXYYXYXY，当X，YA时，令XYT，相应有T，则1LIM1XYXYAXY1LIM1TTTE所以211LIM1LIM1XXXYXYYXYXXYAYAXYXY1LN1LIMXYXXYYXYXYAEAE例14求22,LIMXYXYXYE解因为22XYXYE2222XYXYXYXYXYXYEEEE，19当X，Y时令XYT，相应有T，22,LIM

31、LIM0TXYXYXYXYTEE而且,LIM22LIMLIM0XYXYXYXYXYXYXYEEEE,所以22,LIMXYXYXYE0424利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷限量8充分利用无穷小的性质，与一元函数类似，在求极限过程中，以零为极限的量称为无穷小量，有关无穷限量的性质也可以推广到二元函数中来例15求2223232LIMXYXY解2223232LIMXYXY223232LIM332XYXYXXY，而22321|2XY为有界变量，又32LIM30XYX，故原式0425应用累次极限来求函数的重极限一般情况下，累次极限存在并不能保证二重极限存在，但若二元函数,FXY满足定理1的条件，就可以利

32、用累次极限00LIMLIM,XXYYFXY或00LIMLIM,YYXXFXY来计算二重极限例16求4422,0,0LIMXYXYXY解因为22244222222|YYXXYXYXYXY，所以对任意00,XU，442220LIMYXYXXY一致的成立；而对00,YU，442220LIMXXYYXY存在，根据定理1有4422,0,0LIMXYXYXY44222000LIMLIMLIM0XYXXYXXY20426利用极坐标作变量代换在计算比较复杂的二重极限时，通过选用适当的变量代换，可使复杂的极限问题转化为简单的极限问题在二重极限计算时，利用极坐标变换是一种重要方法，尤其是当函数中含有22XY这个因

33、式时，利用极坐标COS,SINXY当,趋于极点时的极限问题，即0LIMCOS,SINF对于0,2一致地等于L，实际应用时常将其转化为仅与有关的函数极限，起到了化多元为一元的作用例17计算2222001COSLIMTANXYXYXY解设COS,SINXY，当,0,0XY时，0，原式可写为201COSLIMTAN202SINLIM12COS220COSSINLIM212即2222001COSLIMTANXYXYXY12例18计算222200LIMXYXYXY解设COS,SINXY，当,0,0XY时，0，原式可写为222220COSSINLIM220LIMCOSSIN212SIN因为0,2，随着取值

34、不同，其极限值也不相同，所以该极限不存在427取对数法这一方法适合于幂指函数求极限，对于二元函数，也可以象一元函数那样，先取对数，然后再求极限例19求极限22,0,0LIMXYXYXY21解令22,XYFXYXY，则22LN,FXYXYXY，22,0,0LIMXYXYXY222222,0,0LIMLNXYXYXYXYXY因为221|2XYXY，而令22TXY，则2222,0,0LIMLNXYXYXY0LIMLN0TTT所以22,0,0LIMLN0XYXYXY，于是22,0,0LIMXYXYXY01E428迫敛法8设在点000,PXY的领域内有,HXYFXYGXY且0000,LIM,LIM,XY

35、XYXYXYGXYHXYA（常数），则00,LIM,XYXYFXYA例20求22,LIM,LIMXXYXYXYFXYXY解因222|XYXY，故2210|2XYXY，从而有22102XXXYXY，而,0,01LIM2XXY0，所以22,LIM0XXYXYXY以上通过举例说明了重极限的一些常用的方法可以看出来，求二重极限的技巧比较高，也比较灵活，跟累次极限相比要复杂得多，究其原因，是由于平面上的动点趋向某一点的方式要比直线上的动点趋向某一点的方向要复杂我们知道在一维空间里，左右极限存在且相等是极限存在的充分必要条件但是对二重极限来说，即使沿平行于X轴方向与沿平行于Y轴的方向的极限存在而且相等，还

36、远远不能保证二重极限的存在更进一步，纵然沿各种直线方向的极限都存在，而且相等，也不足以保证二重极限的存在5二元函数极限不存在的命题及常见的判定方法51极限不存在的命题命题113设1ED，0P是1E聚点，若01LIMPPPEFP不存在，0LIMPPPDFP也不存在22命题214设1E，2ED，0P是它们的聚点，若存在极限011LIMPPPEFPA，022LIMPPPEFPA,但12AA，则0LIMPPPDFP不存在命题314若累次极限00LIMLIM,XXYYFXY与00LIMLIM,YYXXFXY存在但不相等，则重极限必不存在52极限不存在的两种常见判定方法15首先,ZFXY在区域D内有定义，

37、且00,XY是点D内的一个聚点方法一设1YYX，2YYX是D中两条不同的连续曲线，满足00LIMIXXYXY，1,2I，如果0LIM,IIXXFXYXA12AA或者对某个I12I，0LIM,IXXFXYX不存在，则00,LIM,XYXYFXY不存在这是一种判定二元函数极限不存在的基本方法，它表明了若采用不同的曲线极限不同，则二重极限不存在例21讨论22,XFXYXXY当,0,0XY的极限解这个函数的定义是去掉包含原点的X负半轴XOY平面，当点,XY沿直线0YKXK趋于点0,0时220LIMXYKXXXXY202LIMXXXXKX20LIM1XXXXK02LIM11XXXK2111K结果说明22

38、,0,0LIMXYXXXY不存在方法二设,GXY与,HXY分别在1D，2D上有定义，而12DDD，且00,XY是D的一个聚点又设00LIM,XYGXY不存在，而00LIM,XYHXYB（定数），如果,FXY满足下列三个条件之一1,FXYGXYHXY；232,FXYGXYHXY且0B；3,GXYFXYHXY，且0B；则00,LIM,XYXYFXY不存在下面给出2的证明证明若不然，设00,LIM,XYXYFXYA（定数），由于，00,LIM,XYXYHXYB0不妨设0B，对于给定的02B，存在0，使得当点,XY22,|0,GXYXYXYD且就有|,|2BHXYB，从而,2BHXY，,XYG，于是当

39、,XYG时，有,FXYGXYHXY,进而有00,00,LIM,LIM,XYXYXYFXYGXYHXY0000,00LIM,LIM,LIM,XYXYXYXYFXYFXYHXYHXYAB这与已知矛盾故00,LIM,XYXYFXY不存在例22判定001LIMSINXYXYEYX不存在解取,SINXYGXYYX，1,XYEHXYXY则1SINXYEYX,GXYHXY可以证明00LIMSINXYXYYX不存在事实上，选取路径2SIN0YXBXB即可而00LIM,1XYHXY，故001LIMSINXYXYEYX不存在参考文献1华东师范大学数学系数学分析下册第三版M北京高等教育出版社,2006,911002

40、孙千高二元函数极限的存在性J青海大学学报，2005,23（2）7780243许汪涛关于多元极限的概念J陕西师范大学继续教育学报,2003,20（3）981004翟明娟多元函数重极限的几种求法J晋东南师范专科学校学报,2003,20250515罗志敏，汪琳一类多元函数极限的计算J科技创新导报,2008262422436赵丽琴，白云芬累次极限与二重极限的关系研究J石家庄学院报,2005,7319207黄克武论重极限与累次极限的等价性J云南教育学院报,1995,11（5）20238于英凤关于多元函数的极限J辽宁师范大学学报（自然科学版）,1987,（2）951019张同琦浅议二元函数重极限与累次极限的关系J渭南师范学院报,2000,15（5）697010陈继修，於崇华，金路数学分析第二版下册M北京高等教育出版社,199912012511裴礼文数学分析中典型问题与方法第2版M北京高等教育出版社,1993,62262712阎明刚用定义证明多元函数极限的一个方法J商丘师专学报（自然科学版）,1988,2535713张俊显二重极限的研究J石家庄大学报，2000,12（1）242614王旭琴二重极限与累次极限的关系J南昌高专学报