函数泰勒展开式的应用【开题报告+文献综述+毕业论文】.Doc

1、1毕业论文开题报告数学与应用数学函数泰勒展开式的应用一、选题的意义初等函数中，多项式是最简单的函数。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述的问题。除此之外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）研究的主要内容包括如何利用不同型余项泰勒公式即带皮亚诺余项的泰勒公式和带拉格朗日余项的泰勒公式解决数学问题。解决的主要问题包括如何利用泰勒公式解决数学问题利用泰勒公

2、式求极限中的应用；利用泰勒公式求判断级数的敛散性中的应用；泰勒公式在证明不等式中的应用；泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用；泰勒公式在行列式中的应用；泰勒公式在近似计算中的应用；泰勒公式在求初等函数的幂级数展开式中的应用。三、研究步骤、方法及措施（1）研究步骤第一步确定论文选题和查阅收集关于本课题的资料，完成任务书；第二步整理资料完成开题报告和文献综述，初步形成论文框架；第三步通过刊物查阅和网上资料收集，充实资料；第四步整理思路，完成初稿并充实内容，自行进行初步的检查；第五步在指导老师的监督与指导下，按要求修改初稿；第六步修改毕业论文完成第二稿、第三稿，最后定稿。（2）主要方法文献研究法、

3、比较研究法、经验总结法2（3）主要措施1翻阅图书馆的文献资料2上网查询资料3分析专家的观点4研读原著四、毕业论文提纲1两种余项的泰勒公式2常见函数的泰勒展开式3泰勒公式的应用五、主要参考文献1陈晓萌泰勒公式在不等式中的应用J昌潍师专学报,2000,022赵临龙多项式的泰勒展开式的应用J高师理科学刊,2008,053王新,任佩文泰勒展开式不同形式的各种应用J高等函授学报自然科学版,2009,014安丽微泰勒公式及其应用J素质教育论坛,2009,035程龙生谢莉冯予TAYLOR展开式的推广及在统计分析中的应用A中国现场统计研究会第九届学术年会论文集C1999年6王素芳,陶荣,张永胜泰勒公式在计算及

4、证明中的应用J洛阳工业高等专科学校学报,2003,027王书华浅谈泰勒公式的应用J科技风,2010,038潘劲松泰勒公式的证明及应用J廊坊师范学院学报自然科学版,2010,049赵小样泰勒公式的证明及其应用推广J科技风,2008,0310张天虹泰勒公式在解题中的研究J数学教学与研究,2009,51949511龚冬保泰勒公式在解题中的妙用从2008年的几道数学考研题说起J高等数学研究,2008,0512华东师范大学数学系，数学分析第三版M北京高等教育出版社，20013毕业论文文献综述数学与应用数学函数泰勒展开式的应用1、本课题研究的意义多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种

5、运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。2、目前国内的研究现状本人以19992010十一年为时间范围，以“泰勒公式”“泰勒公式的应用”、为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内

6、外对泰勒公式及其研究进展主要分配在1、带不同型余项泰勒公式的证明；2、泰勒公式的应用举例。3、本课题的研究方向和重点泰勒公式是高等数学中的一个重要的内容,但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数,而对泰勒公式的应用方法并未进行深入讨论在高等数学教材中,一般只讲泰勒公式,对其在解题中的应用介绍很少。但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用。一、带不同型余项泰勒公式的证明，即1带皮亚诺余项的泰勒公式；2带拉格朗日余项的泰勒公式；3带积分型余项的泰勒公式的证明。二、泰勒公式的应用举例。本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用1、泰勒公式在极限计算中的应用；在函数极限运算中,不定式极限

7、的计算始终为我们所注意,因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解,会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用；泰4勒公式是微分学中值定理推广。然而它在判断级数和广义积分的敛散性中的应用则很少提及,事实上,它在这方面的应用起着不可替代的作用,我将通过应用泰勒公式对无穷小量或无穷大量的阶进行估计,寻找简便有效的判定级数及广义积分的敛散性的方法。3、泰勒公式在行列式中的应用；函数的泰勒公式在数值计算及数学论中占有很重要的地位,我将通过借助于罗尔定理及函数

8、的泰勒多项式的行列式表示,给出两个函数之间的泰勒公式的关系,借助于这种关系给出其应用4、泰勒公式在近似计算中的应用；利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式，余项应当以拉格朗日型表达，以便于误差的估计。5、泰勒公式在证明等式、不等式中的应用；对于一般不等式，泰勒公式可适用于题设中函数具有二阶和二阶以上的导数，且最高阶导数的大小或上下界可知的命题；对于积分不等式上，泰勒公式适用于已知被积函数二阶和二阶以上可导，且又知最高阶导数的符号的类型题目；对于积分等式，泰勒公式适用于被积函数具有二阶或二阶以上连续导数的命题。6、泰勒公式在求初等函数的幂级

9、数展开式中的应用；利用基本初等函数的幂级数展开式，可通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式。7、泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用。4、本课题研究所存在的问题泰勒公式不仅仅可以用来判断函数的单调性、极值，也可尝试利用它来研究函数的凹凸性及判断拐点。同时，在利用泰勒公式对函数极值的判定时，可以相似地推出函数拐点的判定。本次论文所设定的拟解决的关键问题和难点是在解题中怎么分析题设条件及其形式特点,并把握处理规则,如何比较好地利用泰勒公式来提高解题的技巧，如何对泰勒公式的证明和七个应用做一个系统的归纳和总结。5、参考文献1陈晓萌泰勒公式在不等式中的应用J昌潍师专学报,20

10、00,022赵临龙多项式的泰勒展开式的应用J高师理科学刊,2008,053王新,任佩文泰勒展开式不同形式的各种应用J高等函授学报自然科学版,2009,014安丽微泰勒公式及其应用J素质教育论坛,2009,035程龙生谢莉冯予TAYLOR展开式的推广及在统计分析中的应用A中国现场统计研究会第九届学术年会论文集C1999年56王素芳,陶荣,张永胜泰勒公式在计算及证明中的应用J洛阳工业高等专科学校学报,2003,027王书华浅谈泰勒公式的应用J科技风,2010,038潘劲松泰勒公式的证明及应用J廊坊师范学院学报自然科学版,2010,049赵小样泰勒公式的证明及其应用推广J科技风,2008,0310张

11、天虹泰勒公式在解题中的研究J数学教学与研究,2009,51949511龚冬保泰勒公式在解题中的妙用从2008年的几道数学考研题说起J高等数学研究,2008,0512华东师范大学数学系，数学分析第三版M北京高等教育出版社，20016（20_届）本科毕业设计数学与应用数学函数泰勒展开式的应用7目录1、两种余项的泰勒公式12、常见函数的泰勒展开式33、泰勒公式的应用331利用泰勒公式求极限32利用泰勒公式证明不等式33利用泰勒公式判断级数和广义积分的敛散性34利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点35利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式36利用泰勒公式进行近似计算和误差估计37利用泰勒公式求高阶导数在某

12、些点的数值38利用泰勒公式求行列式的值89函数泰勒展开式的应用摘要文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆,本文针对泰勒公式的应用讨论了九个问题,即应用泰勒公式求极限,证明不等式,判断级数的敛散性,证明根的唯一存在性,函数的凸凹性,拐点,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值关键词泰勒公式；极限；敛散性；凸凹性；拐点对于一些比较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达多项式函数是最为

13、简单的一类函数，它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算，就能求出其函数值，因此，多项式经常被用于近似地表达函数，这种近似表达在数学上常称为逼近英国数学家泰勒（TAYLOR，16851731）在这方面作出了不朽的贡献其研究结果表明具有直到1N阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的N次多项式近似表达本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆，对于超越函数计算具有不可替代的作用本文主要叙述其应用，作者通过阅读大量的

14、参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结本文的主要内容是介绍应用，通过大量一元函数的例题对泰勒公式的作用做一个归纳1两种余项的泰勒公式定义111若函数F在0X存在N阶导数，则有20000000012NNNFXFXFXFXFXXXXXXXOXXN110这里0NOXX为皮亚诺型余项，称1F在点0X的泰勒公式当00X时，（1）0X式变成，2000012NNNFFFFXFXXXOXN称此式为带有皮亚诺余项的麦克劳林公式，定义121若函数F在0X某邻域内为存在直至N1阶的连续导数，则200000002NNNFXFX

15、FXFXFXXXXXXXRXN（2）这里NRX为拉格朗日余项110谢莉冯予TAYLOR展开式的推广及在统计分析中的应用A中国现场统计研究会第九届学术年会论文集C1999年6王素芳，陶荣，张永胜泰勒公式在计算及证明中的应用J洛阳工业高等专科学校学报，2003，027王书华浅谈泰勒公式的应用J科技风，2010，058潘劲松泰勒公式的证明及应用J廊坊师范学院学报自然科学版，2010，049赵小样泰勒公式的证明及其应用推广J科技风，2008，0310张天虹泰勒公式在解题中的研究J数学教学与研究，2009，51949511龚冬保泰勒公式在解题中的妙用从2008年的几道数学考研题说起J高等数学研究，200

16、8，0512华东师范大学数学系，数学分析第三版M北京高等教育出版社，2001APPLICATIONOFEXPANSIONSOFTAYLOR23ABSTRACTTHISPAPERBRIEFLYINTRODUCESTHETAYLORFORMULAANDTHEEXPANSIONOFSEVERALCOMMONFUNCTIONS,THETAYLORFORMULAOFADVANCEDMATHEMATICSISANIMPORTANTPART,ITWILLMAKESOMECOMPLEXANDSIMILARFUNCTIONSTOEXPRESSINTOSIMPLEPOLYNOMIALFUNCTIONSTHEFUN

17、CTIONCHANGESCOMPLICATEDFORMULASINTOTHESIMPLETERMTOMAKEITBECOMEMOREPOWERFULINANALYSISANDSTUDYMATHEMATICALPROBLEMSTHEPAPERDISCUSSESTHETAYLORFORMULAAPPLICATIONISSUESONNINEAREASWHICHARENAMELYPROOFOFINEQUALITY,JUDGESERIESCONVERGENCE,PROOFOFROOTEXISTENCE,CONVEXITYCONCAVITYOFFUNCTION,INFLECTIONPOINTTHEPOWERSERIESEXPANSIONS,APPROXIMATECALCULATION,HIGHERORDERDERIVATIVEDURINGSOMEPOINT,THENUMERICALVALUEOFTHEDETERMINANTKEYWORDSTAYLORFORMULALIMITCONVERGENCEFOLDINGCONVEXITYCONCAVITYINFLECTIONPOINT