1、圆的方程复习提高课 教案 1 教学目标 通过对圆的方程这一单元典型问题的研究，帮助学生进一步深化和掌握有关圆的问题，把基础知识进行综合应用，培养学生的数学思维能力，分析综合能力，提高学生的解题技能 教学重点和难点 重 点： 圆的方程的三种形式，圆的切线，直线和圆，圆和圆间的位置关系，和圆有关的数值问题 难 点： 基础知识的灵活应用数学知识间的相互连系，联想和迁移能力的养成 教学过程设计 本节课是一节复习提高课，以新的探索发现，研究为主线，教师向学生说明目的和问题后，就充分 地让学生去思考，设计，试解，教师最后对学生的解法进行归纳，总结注意从多个角度去启发培养学生的创造能力 同学们，本节课就 “
2、 圆的方程 ”“ 圆的切线 ”“ 与圆有关的数值问题 ” 进行研究，老师列举一些典型的问题，请同学们展开思路去探索，老师最后进行归纳总结 问题 1选择题 (1)方程 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1=0表示圆，则 a的取值范围是 A一个圆， B两个圆， C半个圆， D两个半圆， (3)圆 x2 y2 4x 4y 6=0截直线 x y 5=0所得弦长等于 (4)圆 x2 y2 2x=0和圆 x2 y2 4y=0的位置关系是 A相离， B，外切， C内切， D内切 分析与解答 (1)方 程 x2 y2 Dx Ey F=0 表示圆的条件 D2 E2 4F 0 即 a2 (2a)2 4(2a2
3、 a 1) 0， 3a2 4a 4 0 (2)方程成立的条件是 |x| 10 ，即 |x|1x1 或 x 1在x1 或 x 1的条件下，平方 x2 2|x| 1=1 (y 1)2 整理 x2 y2 2|x| 2y 1=0 当 x1 时， |x|=x x2 y2 2x 2y 1=0， (x 1)2 (y 1)2=1 当 |x| 1时， |x|= x x2 y2 2x 2y 1=0， (x 1)2 (y 1)2=1 故应选 (D) (3)x2 y2 4x 4y 6=0即 (x 2)2 (y 2)2 (4)x2 y2 2x=0， (x 1)2 y2=1圆心 O1(1， 0)，半径 r1=1 x2 y
4、2 4y=0， x2 (y 2)2=4圆心 O2(0， 2)，半径 r1=2 两圆相交，故应选 (C) 分析与解答 依题题作出草图，进行分析思考 A： x2 y2 2x=0 (x 1)2 y2=1 圆 A 的圆心 (1， 0)，半径 r=1 设所求圆 C 的圆心为 (a， b)，半径 R由 A、 C两圆相切，连心线 AC的长等于 1 R=1 CQ 显然第一个方案计算量要大于第二个方案，我们采用第二个方案 问题 3从圆 (x 1)2 (y 1)2=1 外一点 P(2， 3)向这个圆到切线，求切线的方程， (课本第 108 页 25 题 ) 汇集同学们的各种创见 解法一 若切线的斜率 K存在，设切
5、线方程为 y 3=K(x 2) 即 Kx y 3 2K=0，已知圆的圆心为 (1， 1)，半径为 1 若切线的斜率不存在，则 x=2，直线 x=2过 (2， 3)点与圆相切，故所求切线方程为 3x 4y 6=0或 x=2 解法二 当 k 存在时，设切线方程为 y 3=K(x 2) 得 (1 k2)x2 2(2k2 2k 1)x 4(k2 1)=0 令判别式 =4(2k 2 2k 1)2 4(1 k2)4(k 2 1)=0 当 k 不存在时，另一条切线为 x=2， 故所求切线方程为 3x 4y 6=0，或 x=2， 解法三 设切点为 Q(x0， y0)，过 P 的切线为 PQ，圆 C 的圆心为
6、(1，1),半径 r=1 PQC 为直角三角形， CQ2 PQ2=CP2 (x0 1)2 (y0 1)2 (x0 2)2 (y0 3)2=(2 1)2 (3 1)2 化简得 x0 2y0 4=0 (1) 又切点 Q 在圆上， (x0 1)2 (y0 1)2=1 (2) 故所求切线方程为 3x 4y 6=0或 x=2 以 PC 为直径的圆的方程为 (x 1)(x 2) (y 1)(y 3)=0 它与圆 (x 1)2 (y 1)2=1相交，设两圆交点为 Q，由于 PQCQ ，因此交点 Q 即为切点 故所求切线方程为 3x 4y 6=0或 x=2 分析与解答 过 (1， 2)点的直线 l： y 2=
7、k(x 1)， 即 kx y k 2=0 过 (1， 2)点向圆 C作两条切线，两条切线的斜率的最大，最小值，就是 k 的最 sin tcos=2 3t 问题 5 已知点 A(3， 0)， B为圆 x2 y2=1 上的一点， AOB 的平分线 OP 交 AB 于 P点，求 P点的轨迹方程 分析与解答 设交点 P 的坐标为 (x， y) B 点的坐标为 (x0， y0) 因 B 点在已知曲线上运动，我们考虑 “ 转化法 ” OP 为 AOB 的平分线，利用角平分线定理 B 点在圆 x2 y2=1 上，代入 经讨论，当 AOB=0 时， AOB 的平分线与 AB 的交点在线段 AB 上，应把这一情况扩充进去
