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1、第二章 刚体的转动,1刚体的定轴转动一.刚体 ： 无形变。 物体内任意两质点距离保持不变。 二.平动与转动1.平动： 刚体内任一给定直线在运动中其方位始终保持不变。 活塞、升降机等。特点：各质点的运动状态完全一样。2.定轴转动定义： 刚体内各质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，此直线称为转轴。转轴固定称为定轴转动。,三.刚体的定轴转动,特点：,各点转动的角位移、角速度、角加速度都相同。,可用角量进行描述。,刚体的运动均可视为平动与定轴转动的合成。,四.角速度矢量：,定义：,转轴上的有向线段。,r,大小线段长短,方向 : 右手螺旋判定,定轴转动： 的方向？,可用正负表示方向。,速度,m,2 刚体

2、的角动量 转动动能 转动惯量,一. 角动量,1. 质点的角动量,观察地球绕日运动：,O,rmvsin = 恒量,地球的角动量,定义：,L = rmv,大小和方向？,2.刚体的角动量,各质量元角动量之和。,转轴,转动惯量J,L= J,二.转动动能,组成刚体各质点的动能之和。,三. 转动惯量1.定义：,若为连续分布：,2.物理意义：,J m , 转动惯性大小的量度。,单位：kg m2,质点系：,动量: mv,角动量： J,例题 P106 例4,r,dm,在圆盘上取一半径为 r 的圆环,r,dJ = r2 dm = r22r dr = 2r3 dr,= mR2,几种刚体的转动惯量见表 41,J 与哪

3、些因素有关？,决定转动惯量的因素 转动惯量 J = miri2 或 J=r2 dm 是物体转动惯性大小的量度，它的大小由物体的质量、质量分布和转轴的位置三个因素来决定。 请看下面的实例。,o,结论： (1) 刚体的转动惯量是由质量、质量分布、转轴位置三个因素决定的。 (2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡是提到转动惯量，必须指明它是对哪个轴的才有意义。,一.力矩,1.定义：,f,r,d,M = f d = f r sin,定轴转动：力矩的方向可用正负号表示。,若力不在垂直转轴的平面内，则如何？,2.合力矩, 代数和。,作用：,3 力矩 转动定律,3.内力的力矩,o,z,取任意两个质点，分

4、析力矩。,r1,r2,F12,F21,d,1,2, r1 sin1 = r2 sin2 = d, M = F21 r2 sin2 F12r1 sin1,= 0,所有的内力成对出现，所以有：,例题：有一大型水坝高110米，长1000米，水深100米，求水作用在大坝上的力；及这个力通过大坝基点Q且与x轴平行的轴的力矩。,思路：力与力矩均是变量，要分部分求和。,dF,dA,y,h,dF = ( P0 + g ( hy )dA,L,力矩：,Q,y,dM = y dF,x,二.转动定律,导出思路：牛顿第二定律。,取质点mi ，其将绕oz轴作圆周运动。分析受力：,mi,0,z,ri,Fi,Fi,切向：,同

5、乘以 ri,法向力矩为零，内力矩为零。,三.平行轴定理,zc,c,过质心转轴,z,d,m,J = Jc + md2,例题. 一质量为m=2.0kg的物体A，用细绳跨过一滑轮B和一弹簧C相连接，如图所示。已知弹簧的劲度系数k=20N/m，滑轮的半径R=0.1m，绕轴的转动惯量J=0.03kgm2，设绳与滑轮之间不打滑，A与斜面间及滑轮转轴处摩擦不计，绳轻且不可伸长，斜面倾角为37，取重力加速度g=10m/s2，求： A下滑的加速度 A下滑的最大速率 3.A从静止释放（此时弹簧处于原长）沿斜面下滑的最大距离。,m,R J,k,分析： 这是一个由质点、刚体和弹簧组成的系统。当质点A由静止释放后，A沿

6、斜面下滑，滑轮B同时转动，弹簧被拉长。A开始做边加速运动，当弹簧被拉到某一长,度时，作用在A上的合外力为零，作用在B上的合外力矩亦同时为零，此时A的速度最大，B的角速度最大。若此时A所处的位置为O，则物体A以O为平衡位置在斜面上做谐振动。,处理这类问题常用的方法有两种： 方法一：应用牛顿定律与转动定律。 方法二：应用机械能守恒定律。,分析滑块受力：,选圆盘B为研究对象，受力如图 a 就等于滑轮边缘的切向加速度 .,T2 = kx,由以上四式解得：,当 x = 0.6 m 时，a = 0 x 0 方向沿斜面向下 x 0.6 m 时，a 0 方向沿斜面向上,由运动学关系知,积分,得,当 a = 0

7、 时， x = 0.6 m v = vm= 1.2 m/s,4. 定轴转动动能定理,一. 力矩的功,力的功： dW = F ds (直线运动),力矩的功： dW = M d (定轴转动),导出：考虑力做功，见图,m,f,r,d,dW = f cosds = f cosr d,= f r sind= M d, 外力矩的功。,二.动能定理,质点： W外 + W内 = Ek Ek0,刚体：,导出：,W 外力矩的功，仅在定轴转动时成立。,例题 如图，求1.杆处在水平位置的角加速度；2.竖直位置的角速度，角加速度；3.竖直位置质心与端点的加速度。,解1.,o,p,2. 重力矩做功：,重力矩为 0, =

8、0,3.,竖直位置，只有法向加速度：,3 角动量 定理 角动量守恒定律,一.角动量定理 力矩对时间的积累效应,动量定理：,角动量定理：,导出：,角动量定理,冲量矩,二. 角动量守恒定律,若,则：,即可得：,L、均为恒量。,L、乘积为恒量。,例 题 求人在盘上跑一周，人与盘相对地转动的角度。,解： 见图,角动量守恒：,J J= 0,人对台的角速度：,人跑一周所需的时间：,人对地的角度：,车对地的角度：,1.强相互作用：短程力，它使原子核牢固的保持为一个整体，尽管质子间存在很大的排斥作用。,2.电磁力：长程力，它使原子核与电子能聚集在一起形成原子。,3.弱相互作用：短程力，能引起粒子间的某些过程，例如中子和原子的放射性衰变，以及其它粒子的衰变。,4.引力：长程力，在宇宙的构造和演化过程中起主要作用。,小常识：自然界中的四种基本相互作用,宏观物体之间所能观测到的，只有电磁力与引力。我们已经认识到物质世界千变万化的现象，归根结底只通过这四种基本相互作用起作用。,类型,作用距离（m）,强相互作用,弱相互作用,电磁相互作用,引力相互作用,1,10-13,10-2,10-38,10-15,10-18,长,长,相对强度,