用能观标准型实现；反之，用能控。例求如下传递函数-青岛理工大学.ppt

1、现代控制理论,青岛理工大学自动化工程学院,2015-09-24,3.7 能控标准型和能观标准型,状态变量的非唯一性导致了系统状态空间模型的非唯一性。,若在状态空间的一组特定基底下，系统的状态空间模型具有某种特定形式，则称这种形式的状态空间模型为标准型（规范型）。,如约当标准型，是以系统的特征向量为状态空间基底所导出的标准型，它便于求解状态转移矩阵、判断可控性和可观性。,SISO系统，变换为:便于状态反馈设计的能控标准型I/II；便于状态观测器设计的能观标准型I/II。,一、单输入系统的能控标准型,1：能控标准I型,若SISO系统的状态空间模型为,且,其中， 为系统矩阵特征多项式的系数，则称该状

2、态空间模型为能控标准I型。,1) 能控标准型一定是能控的？ 寻找判据2）一定存在线性变换将状态能控的状态空间模型化为能控标准型？ 构造转换矩阵,两个问题：,能控标准型一定是能控的？,秩判据,故系统能控。,线性变换不改变能控性，只有状态完全能控的系统才能转化为能控标准型。,能控标准I型的转化方法,取,有：,凯莱哈密顿定理：,能控标准I型直接写出传递函数,例 写出以下传递函数的能控标准I型。,解：,无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。,所以：,能控标准I型为：,例,2：能控标准II型,若SISO系统的状态空间模型为,且,其中， 为系统矩阵特征多项式的系数，则称该状态空间模型为能控标准

3、II型。,能控标准型一定是能控的,秩判据,故系统能控。,能控标准型II的转化方法,取,能控标准型与能观标准型是对偶系统，能观标准型的讨论可以借助能控标准型来进行，所以能控标准型的2条结论都适用于能观标准型。,二、单输出系统的能观标准型,若系统的动态方程具有能观标准形式，则系统一定是状态完全能观的。,变换的步骤也可借用对偶系统化为能控标准型的步骤。,若系统能观，则它的动态方程一定能通过非奇异变换化为能观标准形式。,1：能观标准I型,若SISO系统的状态空间模型为,且,其中， 为系统矩阵特征多项式的系数，则称该状态空间模型为能观标准I型。,能观 I与能控 II互为对偶,对偶,2：能观标准II型,若

4、SISO系统的状态空间模型为,且,其中， 为系统矩阵特征多项式的系数，则称该状态空间模型为能观标准II型。,能观 II与能控 I互为对偶,由对偶性原理，类似于I型中的分析，有：,对偶,能控能观标准型的优点是以明显形式直接和系统特征多项式系数联系起来。这有利于我们讨论系统的综合问题。,能观标准II型直接写出传递函数,例 写出以下传递函数的能观标准II型。,解：,无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能观标准型。,所以：,能观标准II型为：,3.8 系统的结构分解,结构分解的意义,状态不完全能控的系统：1）哪部分状态能控，哪部分状态不能控；2）是否存在线形变换将能控状态和不能控状态区别开来。,状态

5、不完全能观的系统：1）哪部分状态能观，哪部分状态不能观；2）是否存在线形变换将能观状态和不能观状态区别开来。,不能控系统,能控的状态变量,不能控的状态变量,能控子系统,不能控子系统,1. 按能控性分解,2. 按能观性分解,明显表示出系统的内部结构特性,深刻反映系统的传递特性,3. 按能控能观性分解,一、按能控性分解,如果线性定常系统： 是状态不完全能控的，它的能控性判别矩阵的秩,则存在非奇异变换：,将状态空间描述变换为：,其中：,非奇异变换阵：前n1列为能控性矩阵中n1个线性无关的列，其余列在保证Rc非奇异下任选。,能控性分解示意图：,其中 是n1维能控部分：,其中 是n-n1维不能控部分：,

6、u不能直接控制 ，而 未来信息中又不含 的信息。,能控部分,不能控部分,证明：变换矩阵,1). 不唯一，变换后两个子系统的阶次唯一，但状态空间表达式可能不同。,2). 系统的极点集合是由能控子系统的极点集合和不能控子系统的极点集合 组成。,注：,3). 状态不完全能控的系统的传递函数矩阵等于其能控子系统的传递函数矩阵。,不能控子系统,能控子系统,（3）分解系统,二、按能观性分解,如果线性定常系统： 是状态不完全能观的，,它的能观性判别矩阵的秩：,则存在非奇异变换：,将状态空间描述变换为：,其中：,非奇异变换阵：前n1列为能观性矩阵中n1个线性无关的行，其余行在保证Ro非奇异下任选。,能观性分解

7、示意图：,能观部分,不能观部分,其中 是n1维能观测部分：,其中 是n-n1维不能观测部分：,对y没有直接影响，而 中又不含 的信息。,关于按能控性分解的注解也适合按能观性分解,即,2). 系统的极点集合是由能观子系统的极点集合和不能观子系统的极点集合组成。,1). 不唯一，变换后两个子系统的阶次唯一，但状态空间表达式可能不同。,3). 状态不完全能观的系统的传递函数矩阵等于其能观子系统的传递函数矩阵。,三、按能控能观性分解,方法一: Step 1.按能控（能观）分解为两个系统 Step 2.对两个子系统分别按能观（能控）分解,经过上述分解（三次线性变换）后，得到系统的规范分解表达式：,系统的

8、极点集合由4个子系统的极点集合组成，它们分别是 的特征值。,从上述方块图可以清楚看出，系统的输入至输出的唯一传递路线是：,因此，系统的传递关系（传递函数矩阵）为：,即系统的传递函数（矩阵）只表示了既能控又能观子系统的输入输出关系，是系统的一种不完全描述，系统的不可控或者不可观部分不会出现在传递函数中。,方法二: Step 1：求系统的约当标准型， Step2：根据能控能观的标准型判据，调整各状态变量 的位置。,3.9 传递函数的实现问题和零极点对消,一、实现问题,真有理实矩阵：,系统实现的特性：,实现的存在性：对于任意的传递函数，只要满足物理上可实现的条件（真有理实矩），则一定能找到其实现。,

9、实现的非唯一性：状态变量非唯一。,二、能控、能观标准型实现,由传递函数建立的状态空间实现为能控、能观标准型。,传递函数直接写出能控标准I型、能观标准II型,单输入单输出系统,传递函数到能观标准I型、能控标准II型（P29）,多输入多输出系统,能控标准型实现,能观标准型实现,两种实现维数不同,维数是否最小,结构是否最简单,三、最小实现,定义：设 为传递函数阵G(s)的一个实现，如果其状态向量的维数为所有实现最小维数，则称之最小实现。,意义：一般情形下，维数越小，越便于系统的分析、设计和综合；在保持系统性能的前提下，最小实现使得系统具有最简单的结构，成本低。,最小实现的求解：Step1： 给出G(

10、s)一个能控实现Step2： 检查的能观性。Step3：若其不能观，按能观性分解，得到其既能控，又能 观的子系统，即最小实现。,判断准则：,最小实现的求解：Step1： 给出G(s)一个能观实现Step2： 检查的能控性。Step3：若其不能控，按能控性分解，得到其既能观，又能 控的子系统，即最小实现。,输入变量比输出变量多时，用能观标准型实现；反之，用能控。,例 求如下传递函数矩阵的最小实现,解：,为严格真的实有理矩阵，,有：,1）采用能控标准I型实现,由秩判据可知，,该实现不能观，不为最小实现，对其进行能观性分解求最小实现。能观性分解后得能观子系统，即最小实现为：,2）采用能观标准II型实

11、现,由秩判据可知，,该实现能控，为最小实现。,再来看一下式子：,等式左边的分母多项式为n 次，右边的分母多项式为 l 次。,等式成立的唯一可能是等式左边式子存在零、极点相消。,可见系统的能控、能观性与传递函数是否存在零、极点相消现象有必然联系。,四、传递函数零极点对消与能控能观的关系,线性定常单输入单输出系统状态完全能控、能观的充要条件是传递函数 无零、极点相消。,单输入单输出系统,系统状态完全能控、能观系统的最小实现（维数对应于传递函数无零、极点相消）,反之，传递函数出现零、极点相消现象，无法确定统是不能控的，还是不能观的，还是既不能控又不能观的。,传递函数的分子、分母有相同因子（s-1）,所以系统应为不完全能控能观的。,显然实现1能控不能观，实现2不能控能观，实现3不能控不能观。,单输入线性定常系统状态完全能控的充要条件是由控制到状态的传递关系 无零、极点相消。,单输出线性定常系统状态完全能观的充要条件是由状态到输出的传递关系 无零、极点相消。,本章小结,两个概念能控性能观性两个判据秩判据模态判据四个特性对偶性标准性结构可分解性传递函数的结构特性,