行列式的计算方法[开题报告].doc

1、 毕业论文 开题报告 信息与计算科学 行列式的计算方法 一 选题的背景、意义 1.1 选题的背景 1 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在 1683年写了一部叫做解伏题之法的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。 1693年 4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作解伏题元法中也提出了行列式的概念与算法。 1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer， 1704 1752) 在其著作线性代数分析导引中，对行列式的定义和展开法则给出了

2、比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730 1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde， 1735 1796) 。范德 蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论

3、的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。 继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。 1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方 阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。 继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比 (J.Jacobi，1804 1851)，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，

4、指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文论行列式的形成和性质标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在 19 世纪也 得到了很大发展。整个 19 世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。 1.2 选题的意义 2 行列式的应用在消元法 、 矩阵论 、 坐标变换，多重积分中的变量替换，解行星运动的微分方程组 、 将二次型及二次型束化简为标准型等诸多的问题中都有广泛的应用，然而这些应用最终都离不开行列式的计算，它是行列

5、式理论中的一个重要问题 。 超出了代数的范围 ，成为解析几何 、 数学分析 、 微分方程 、 概率统计等数学分支的基本工具 。 行列式是代数学中线性代数的重要分支，是研究高等代数的一个重 要工具。行列式的理论和方法，是研究现代科学技术的重要方法，在众多的科学技术领域中应用都十分广泛。对行列式在高等数学中的应用作了总结 ,初步揭示工科数学两门重要的基础课线性代数与高等数学之间密切的联系。利用行列式去解决一些问题，使复杂问题简单化，在解决问题方面起到抛砖引玉的效果。 二 研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 行列式的定义 3,4 行列式 在 数学 中，是一个 函数 ，其 定义域 nn 的 矩阵

6、 A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向 面积 或 体积 的概念在一般的 欧几里得空间 中的推广。或者说，在 n 维 欧几里得空间中，行列式描述的是一个 线性变换 对 “体积 ”所造成的影响。 由 n个数组成 n阶行列式等于所有取自不同行列的元素的乘积的代数和 记作： 简记作 ()或ijdet a D ，数 ija 称 为行列式 D的元素。 其中 12npp p 是一个 n 阶排列， 12()np p p 为这个排列的逆序数。 n个元素的乘积的代数和 () 1212121 n np p p p p npD a a a 12121 1 1 2 12 1 2 2

7、 21212( 1 )nnnnn n np p pp p npnaaa a aa a aDa a aa 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的； 2、 n 阶行列式由 n 项的代数和 3、 n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n 个元素的乘积； 4、每项 1212 np p npa a a的符号为 121 np p p 5、 一阶行列式 aa 不要与绝对值记号相混淆 . 定理 n阶行列式 ()ijdet a 的一般项可记为 1 2 1 21 1 2 2( ) ( )( 1 ) nn nni i i j j j i j i j i ja a

8、 a 。 1 2 1 2nni i i j j j n其 中 与 均 是 阶 排 列 。 2.2 行列式的性质 5,6,7 性性 质质 1 行列式与它的转置行列式相等 . 性性 质质 2 互换行列式的两行（列） , 行列式变号 . 证明：设行列式11( 1 ) i j np ip jp npD a a a a 1为 排 列 i j np p p p 的逆序数。 ijrr 1111 j i np jp ip npD a a a a 1()i j np p p p 与 1()j i np p p p 的奇偶性不同。 于是 1 .DD 推推 论论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零 .

9、性性 质质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式 . 推推 论论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 推推 论论 行列式中如果有一行（列）元素等于零，则此行列式的值为零 性性 质质 4 若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零 . 性性 质质 5 行列式具有分列（行）相加性 . 注 :如果行列式的某一行 (列 )所有元素都是两个项的和 ,则此行列式等于两个行列式的和， ,具体如下 : 即 1 1 1 2 1 1 12 1 2 2 2 2 212()()()i i ni i nn n n i n i n na a a a

10、aa a a a aDa a a a a则行列式等于下列两个行列式之和： 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 1 2 211i n i ni n i nn n i n n n n i n na a a a a aa a a a a aDa a a a a a性性 质质 6 把行列式的某一 列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行列式不变 ()i j i jc kc r kr 1 1 1 1 12 1 2 2 21i j ni j nn n i n j n na a a aa a a aa a a a1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 21()()

11、()i j j ni j j jijn n i n j n j n ja a k a a aa a k a a ac k ca a k a a a定理 18 函数 22det : ( )M F F 是 22的矩阵当一列固定不变时是另一行的线性函数。也就是，如果 , 都在 2F 中， 是一个数值，那么 de t de t de t 和 de t de t de t . 定理 29 交换行列式中的第 r 行跟第 i 行将改变行列式符号。 d e t , d e tP r s A A. 类似的 交换行列式的第 r 列跟第 i 列也改变行列式的符号。那就是 d e t , d e t ,A P r s

12、 A r s 2.3 行列式的计算方法与运用 2.3.1 分块矩阵的初等变换在行列式中的应用 5 分块矩阵是在处理基数较高的矩阵时所采用的一种方法，即把一个大矩阵看成是由一些小矩阵构成，就如矩阵由数构成的一样。特别在运算中把这些小矩阵当成数来处理，这就是所谓的分块矩阵。 用广义初等矩阵所作的分块矩阵的初等变换，是矩阵运算中极为重要的手段，它能够使一些困难的问题变得容易处理。下面分别给出它在矩阵的行列式、矩阵求逆、矩阵的秩和矩阵特征值等方面的应用。 公式 1 设 A为 n阶可逆矩阵， ,为两个 n维向量，则 11A A A . 公式 2 设 A为 n阶可逆矩阵，其中 1B 为 2n 阶矩阵， 2

13、B 为 2n 阶矩阵，则11 2 2 2 1A B B A E B A B . 公式 3 设 A为 n阶可逆矩 阵， U， V均为 n维向量， *A 为 A的伴随矩阵， TV 为 V的转置，则 *TTA U V A V A U . 公式 4 换元公式1 1 1 2 12 1 2 2 212nnn n n na x a x a xa x a x a xa x a x a x =11nnn ija x A = nD tx . 2.3.2 范德蒙行列式的应用 7 形如行列式122 2 2121 1 11 2 21 1 1 nnn n na a ad a a aa a a称为 n 阶的范德蒙行列式 。

14、 用连乘号 ， 这个结果可以简写为 ： 122 2 2121 1 11 2 21 1 1nnn n na a aa a aa a a 1 ijj i n aa 由这个结果立即得出 ： 范德蒙行列式为零的充分必要条件 12, , , na a a ， 这 n 个数中至少有两个相等 。 2.3.3 Laplace展开 10 所谓 Laplace展开定理就是指，如果在 n阶行列式中任意选定 k行（列）， 11 kn ，则出现 在这 k行（列）中一切 k阶子式与它们相应的代数余子式的乘积之和等于原行列式。 2.3.4 化成三角形行列式法 3,5,7 先把行列式的某一行 （ 列 ） 全部化为 1， 再利

15、用该行 （ 列 ） 把行列式化为三角形行列式 ，从而求出它的值 ， 这是因为所求行列式有如下特点 ： 1） 各行元素之和相等 ； 2） 各列元素除一个以外也相等。 2.3.5 行列式乘积法 在行列式中，如果每个元素都可分解为乘积之和 1 1 2 2i j i j in n ja b a b a b 的形式，那么该行列式就可转化为两个矩阵乘积的行列式，只要分解的这两个矩阵的行列式比较容 易计算，则可由公式 AB A B计算出原行列式的值 。 2.3.6 待定系数法 11 此方法是数学中的重要方法，它是对数学问题，根据求解问题的固有特征，可转化为一个含有待定系数的恒等式，然后利用恒等式性质求出未知

16、系数，从而获得问题解决的方法，用待定系数法求行列式的思想是：若行列式中含有未定元 x，则行列式一定是关于 x 的一个多项式，且当取某些值，如 x=a 能够使行列式的值为零，根据多项式整除理论 ,则行列一定可以被 x- a 这个线性因子整除，即行列式的表达式里应该含有该 因子，如果可以找出行列式的所有因子，求出待定常数即可得到行列式的值 。 2.3.7 加边法 12 一般计算行列式，是将其进行降阶，但对于某些行列式，我们可以反过来，在保持原行列式值不变的基础上再加上一行一列（增加的一行一列元素一般是由 1 和 0 构成），把 n 阶行列式转化为 n+1 阶行列式，只要巧妙地选取 12, , ,

17、nx x x ，结合行列式的性质，便可计算出行列式的值 。 三 研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 3.1 研究方法与技术路线 主要是以查阅资料 ,以现有 的知识水平 , 充分理解掌握行列式的定义、行列式的性质、行列式的展开计算以及行列式的简单应用，结合其它人所做的行列式的计算和应用方面的相关研究文献，大量阅读分析这些行列式计算的相关文献，结合一些相对复杂的高阶行列式的具体计算来探讨行列式的计算方法，并对行列式的计算方法进行总结归纳升华 。 3.2 研究难点 （ 1）需要加强代数学知识的学习，除了行列式章节知识；也需要熟练掌握三角行列式等一些特殊行列式的计算结果；矩阵的初等变换和分

18、块矩阵理论和特征值和特征向量理论等也有助于行列式的计算。 （ 2）行列式的计算相对来说 是代数学中的一个重点和难点，要充分理解掌握其中的知识有很大的难度，特别是哪些高阶的不规整的行列式的计算，计算量比较大，如何做到降阶或者采用数学归纳法等需要对行列式的性质有较好的把握才能灵活运用以达到一题多解和快速求解。 （ 3）该论题需要把一些其它学科知识融入到行列式的计算之中，比如：利用微积分法，利用幂级数变换、待定系数法、差分方程求解多项式行列式等等，这些要求对其它学科知识掌握的比较好。 3.3 预期达到的目标 通过这次论文的撰写更好的掌握行列式的知识，包括行列式的历史背景，行列式的定义和性质以及行列式

19、 的一些应用；能更深的理解和领悟 有关行列式的计算和应用等方面的文献著作，能较好的计算一些较复杂的行列式 。 掌握参考文献资料的查找方法和论文写作的基本要求和技巧，培养自己利用所学知识分析和解决问题的能力，从而提高自己对所学多学科知识融会贯通的能力。 四、论文详细工作进度和安排 第一阶段（ 2010年 11 月 5日 2011年 1月 10 日）： 确定毕业论文题目， 查阅文献，收集 相关信息、资料。 完成文献检索、开题报告及外文翻译的初稿。 第二阶段（ 2011年 1月 10 日 2011年 3月 11 日）： 完成毕业论文的数据收集、论文初稿。 第三阶段（ 2011年 3月 11 日 20

20、11年 5月 3日）： 进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改， 将完成毕业论文交给指导教师审阅 。 第四阶段（ 2011年 5月 23 日 2011年 5月 28 日）： 准备并进行毕业论文答辩。 五、主要参考文献： 1 罗定职业技术学院高等代数精品课程 .行列式的发展史 OL .网址：http:/58.253.247.130/xnjpkc/gdds/kewyd_3.htm.2008,9. 2 数学论文论坛（行列式的计算与应用 ） OL.网址：http:/ 2007.10. 3 陈宝谦 , 张源 .线性代数（经济数学基础 2） M.天津 :天津大学出版社 .P155. 4 同济大学数学教研

21、室编 . 线性代数 M . 北京 :高等教育出版 .1989,6. 5 刘剑平 ,施劲松 ,曹宵临 .线性代数 M.上海：华东理工大学出版社 .2004,8.P4176. 6 李启文 ,谢季坚 .线性代数内容、方法与技巧 M.武汉：华中科技大学出版社 .2003,9.P157. 7 陈志杰 .高等代数与解析几何（上） M.北京：高等教育出版社 .2000,4.P106145. 8 彭国华 ,李德琅 . Linear AlgebraM . 北京：高等教育出版社 .2006,5. 9 王殿军改编 ， Stephen H.Friedberg Arnold J.Insel Lawrence E.Spence原著 .Linear Algebra（线性代数第四版） M.北京： 高等教育出版社 .2000,6. 10 王耕禄 .线性代数 M.北京 :北京理工大学出版社 .P2076. 11 王开帅 .用待定系数法计算行列式 J . 唐山 ： 唐山高等专科学校学报 .2001,12.14(4). 12 刘仲奎 ,杨永葆等 .高等代数 M.北京：高等教育出版社 .2003,5.