换元法在数学解题中的应用[开题报告].docx

1、 毕业论文 开题报告 信息与计算科学 换元法在数学解题中的应用 一 选题的背景、意义 1.1 选题的背景 1 从一种形态转化到另一种形态，这是数学发展的一个杠杆，也是集体常用的手段。数学史上这样的例子很多，无论是对一些具体问题的解决，还是在经典的数学方法中，都无不渗透着这一思想。解题中常用到的换元法，其实也是这一思想的具体体现。 由于条件与结论中的变量关系在形式上的隐蔽，它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现，即使看出它们之间的联系，也由于表面形式的复杂而不易直接求解。但当我们进行适当的变量代换，把问题的条件和结论作形式上的转换，这样就容易揭示出它们之间的内在联系，把问题化难为易，化繁为

2、简。掌握了换元思想，不但可以比较顺利地解决一些较难的题目，还可以用多种方法解答同一个个问题，提高我们的思维。 当然，为了使问题得到解决，这种转换应该是有效的。什么是有效的转化？总的来说，有利于问题解决的转化就是有效转化。在具体问题中，针对转化的 有效性，人们做了很多的探讨。以换元法为例，就有很多文章探讨了解方程中的换元技巧，积分中的换元技巧等等。每一类问题又由于其具体形式的不同，换元的形式也多种多样。分析各种还原形式的共同规律，可以捡起归纳为以下几类：定积分换元法、不定积分换元法、三角换元、二重积分换元法、含无理递推式的换元法和换元法在其他方面的应用。 1.2 选题的意义 2 换元法在解决定积

3、分、不定积分、三角函数、二重积分、含无理递推式等数学问题中有着广泛的应用，换元法是解决复杂繁琐数学问题的重要工具。 解数学问题时，当遇到代数中式子较烦或解法比较复杂时，如果能从式子的特殊性中挖掘并发挥换元的因素，这样往往能够产生更为简洁的解法，把繁难的计算和推理简化。从而达到化难为易、化深为浅、化繁为简的目的。这就是简化解题方案，寻求最佳解题法的有效方法。 当遇到题中含有几个变量或次数较高问题时，我们可以考虑用换元法，能否消去某些变量或降低变量次数，起到减元降次的作用。 解题过程中，当遇到已知条件多而分散或者已知条件和结论之间似乎缺少必然的联系，有时甚至好像隔着一条难以逾越的鸿沟，这时完成解题

4、的关键在于发现它们之间的联系 。此时就应该考虑引进中介元素，起到桥梁作用，把问题解决。 一些无现成模式可用的数学命题，换元往往就是寻找解题思路的过程，恰当的换元，可为解题提供新的信息和依据，解题思路也就伴随而生。因而换元法是寻找解题突破口，叩开解题之门的钥匙。 许多问题隐含在深处，不易被发现，若能恰当地换元，则可把隐含的问题显示出来 二 研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 换元法的一些基本概念 在数学解题中，对于引进辅助未知元素解题的方法我们称为换元法。 解数学问题时，如果直接解决原问题有困难，或原问题不易下手，或由原问题的条 件难以直接得出结论时，往往需要引入一个或若干个 “ 新元 ”

5、 代换问题中原来的 “ 元 ” ，使以 “ 新元 ” 为基础的问题求解比较容易，解决以后将结果恢复为原来的元，即可得原问题的结果。换元法又称变量代换法或辅助元素法。 2.2 换元的实质 换元的实质就是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得到简化的一种解题方法。换元法的基本思想是通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，使问题发生有利的转化，从而达到解题目的。 2.3 换元法在解题中的应用 在解数学题时 , 把某个式子看成一个整体 ,用一个变量去代替它 ,从而使问题得到简化。换元的实质是转化 , 关键是构造元和设元 ,理论依据是等量代换 , 目的是变换研究对象 ,将问题移至新对象

6、的知识背景中去研究 ,把分散的条件联系起来 ,隐含的条件显露出来 ,或者把条件与结论联系起来 ,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化、陌生问题熟悉化 .通过引进新的变量 (辅助元素 ) ,可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式 , 在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有着广泛的应用。 2.3.1 定积分换元法 定理 11 若函数 )(xf 在 , ba 上连续，函数 )(tx 满足下列条件： (i) )(t 在 , 上连续且 )(,)( tbta ; (ii) ba )(,)( ； (iii) )(t 在 ),( 上连续。 则 dtttfdxxfba )

7、()()(例 用代换 xx sin 求积分 210 xdx解 xxf )( 在定义域 ),( I 上连续； xx sin 当 0x 时 1nt ； 21x 时，6)1(2 nt 其中 21,n 是任意整数，又)21,0()6)1(,(,s i n|),( 221 nnnttxxI 故816)1(2c o s41c o ss i n 126)1(2102221 nntt d ttx d x nnn n 定理 22 若 )(xf 在闭区间 , ba 上，可积，则 baba dxxbafdxxf )()(推论 1 若 )(xf 在 , ba 上可积，则 bb dxxbfdxxf00 )()(推论 2

8、 bbbaba dxxbfxfdxxfdxxbafxfdxxf 00 )()(21)(,)()(21)(例 计算 40 2sin1 2sin1 dxxxI 解 利用推论 1 ， 4b ，故 40 24040 t a n2c o s1)4(2s i n1 )4(2s i n1 x d xdxxxdxxxI41404t a n)1( s e c40 2 xdxx 定理 32 设 )(xf 在 ,ba上 可 积 ， 则 对 任 意 的 a和 b有 2 )()()( baaba dxxbafxfdxxf . 推论 3 )(xf在 ,a上可积，则 aa dxxfxfdxxf 0 )()()(例 计算 1

9、6516399c o ss in51 c o ss in dxxxxI解 利 用 定 理 3 知，2,165,163 baba ,00)2c o s ()2s i n (51)2(c o s)2(s i nc o ss i n51c o ss i n 416341639999 dxdxxxxxxxxxI 公式 13 若函数 )(xf 在区间 , ba 上连续，函数 )(tx 在区间 , 上有连续导数 )(t ，当 t 在 , 上变化时，函数 )(tx 的值在 , ba 上变化，并且 ba )(,)( ，则 dtttfdxxfba )()()( 2.3.2 证明定积分等式 换元法是换元法是证明积

10、分等式的最常用方法 ,其基本思路是 :利用定积分与积分变量无关的性质 ,利用适当的变量替换将积分等式的一端向另一端转化。常用的换元思路如下 : (1) 若等式一端的被积函数或其主要部分为 )(xf ，而另一端为 )( xf ，则可作代换)(xt ； (2) 若等式两端的被积表达式相同，则代换依据等式两端的积分限； (3) 含参变量的积分等式通常需要利用变量替换将含参变量的积分变形处理。 例 设 )(xf 连续 ， 证明 baba dxxbafdxxf )()(证 令 xbat ，则有 bababa dxxfdttfdxxbaf )()()(2.3.3 不定积分换元法 定理 35 (第一换元法

11、)设 )(ug 的原函数为 )(uF , )(xu 可导，则有换元公式：CxFCuFduugdxxxg )()()()()( 例 duuxdxdxxxdxx x 1012101010 21)12()12(21)12()12(21)12(CxCu xu 111211 )12(2211121 定理 45 （第二类换元积分法）设 )(tx 是单调可导函数，且 0)( t ，又设 )()( ttf 具有原函数 )(tF ，则 CxFCtFdtttfdxxf )()()()()( ，其中 )(x 是)(tx 的反函数。 例 求 dxxx )2( 17解 令 tx 1 ，则 dttdx 21，于是 dtt

12、tdxxx )1(2)1( 1)2( 1 277CxtCtdttt ln2121ln14121ln14121 7776 2.3.4 二重积分换元法及其推导方法 以定积分的换元法为基础 , 推导二重积分的换元积分公式 , 它的一般步骤是 : 1) 在直角坐标系中化二重积分为二次积分 ; 2) 将二次积分的内层积分利用定积分换元法把旧的积分变量换成一个新的积分变量 ; 3) 改变二次积分的顺序 , 使另一个旧变量的积分居于内层 , 再将此内层积分利用定积分换元法把旧的积分变量换成另一个新的变量 ; 4) 把关于两个新变量的二次积分变回到二重积分 定理 56 若函数 ),( yxf 在有界闭区间 D

13、 连续，函数组 (1)： ),( ),( vuyy vuxx，将 uov 平面的区域 D 一对一地变换为 xoy 平面上的区域 D ，且函数组 (1)在 D 上对 u 与 v 存在连续偏导数， Dvu ),( 有 0),( ),(),( vu yxvuJ，则 DD dudvvuJvuyvuxfd x d yyxf ),(),(),(),( 例 求曲线 )0,0()( 2 babyaxbyax 与 0y 所围成的区域 D 的面积。 解 作代换： 即：)(2)(2vubyvuax ，则 D 由抛物线 vu2 和直线 vu 围成。所以2),(;10: 2 abvuJuvuuD ,1212),(101

14、0abdvduabdudvvuJd x d ySDD 2.3.5 三角函数换元 三角换元法是指根据题中已知条件，引进一个或多个三角函数来代替题中表达式中的某些字母或代数式，把一个较复杂的问题转化为三角问题，在利用三角函数的性质及三角恒等式去解决。 三角换元法是数学中常用的思想，它是根据待求解式子的结构特征，巧妙地设置新的变量来替代表达式中的某些式子或变量，对新的变量求出结果后，返回去再求出原变量的结果。换元法通过引入新的变量，将分散的条件联系起来，使超越式化为有理式、高次式化为低次式、隐性关系式化为显性关系式，从而达到化繁为简、变未知为已知的目的。 例 求 )2( xxxy 的值域。 解 由

15、0)2( xx ，得 20 x ，所以 111 x .令 2,2,s in1 x ，则)4s i n (211c o ss i n1s i n1s i n1)1(11 22 xxy故当 4 （这时 221x ）时， 21max y ；而当 2 （这时 0x ）时，0miny 21,0 y 2.3.6 无理递推数列换元 无理递推式数列问题这类问题的焦点都可以归结到求数列的通项 . 处理这类问题的一种重要方法就是换元法 . 通过换元 ,可以化无理递推式为有理递推式 ,从而建立新型的递推关系 . 我们可以利用整体换元、三角换元、对数换元、多次换元来解决这类问题。 例 已知 )0(.1 4 11 aa

16、xxx nn ，求数列的通项公式 nx 。 解 因为 011 x ，所以 0,0,0 32 nxxx .对 4 1 nn axx 两边取常用对数得)lg(lg41lg 1 axx nn 。设 11 lg,lg nnnn xbxb 则 )lg(41 1 abb nn 。即abb nn lg4 1 。恒等变形得 ababa nn lg31)lg31( 1 即 41lg31lg311 ababnn .由0lg 11 xb ,得 aab lg31lg311 .从而， 1)41)(lg31(lg31 nn aab .故)41(13111 1lglg)41(131)41(lg31lg31 naaaab n

17、nn .又因为 nn xb lg ,所以 , 2)41(131 )1(2163lglg 1nnn yyax n .令nn yt1 .则111 nn yt.故23)23(2263 221 nnnn tttt .从而， 21 )23(223 nn tt .两边取常对数得)23lg (22lg)23lg ( 1 nn tt .令 )23lg( nn tb ,则 )23lg( 11 nn tb .故nn bb 22lg1 ,即 )2lg(22lg1 nn bb .从而， 22lg 2lg1 nnbb .由 11x ,知 11y ,进而 11t .于是， 5lg)231lg(1 b,即 5lg2lg25

18、lg2lg1 b.因此，12)5(lg2lg nnb ,即 125lg2lg)23lg ( nnt .从而 125)23(2 nnt ,即12532 nnt .故 12532 nny,即 122 532 nnx,因为 0nx 所以35212 nnx. 三 研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 3.1 研究方法与技术路线 主要是以查阅资料 ,以现有的知识水平 , 充分理解掌握换元法的定义、换元法相关定理及其推论，以及换元法的简单应用。结合其它人所做的换元法的相关总结和应用方面的相关研究文献，大量阅读分析这些与换元法相关的文献，结合换元法在具体数学问题中的计算来探讨换元法在数学中的具体应

19、用，并对换元法在具体数学计算中的应用进行总结 。 3.2 研究难点 （ 1）换元思想在数学多学科计算中都有广泛的应用，论文要求加强数学多学科知识的学习，特别是熟练掌握常用的定积分换元法、不定积分换元法、二重积分计算等问题解决的理论依据与具体应用。 （ 2）换元思想具体到一个题目的计算中怎么 应用相对来说是数学计算中的难点，要充分理解掌握其中的知识有很大的难度，特别是要针对不同的具体问题分别对待计算。如何做到对换元法运用自如，达到简化运算的需要，需对换元法的定理推论性质有较好的把握，才能灵活运用以达到快速求解的目的。 （ 3）该论题需要把一些其它相关知识融入到计算之中，比如：定积分、不定积分以及

20、重积分计算等，含有根式的求导等微分计算，三角变换、最值问题、数列收敛等等，这就要求我们要良好的掌握相关数学知识。 3.3 预期达到的目标 通过这次论文的撰写更好的掌握换元法在数学中的应用，包括换元法在定积 分、不定积分、二重积分、三角换元等方面的应用；也能更深的理解和领悟 有关换元法计算方面的文献著作，能更方便的计算较难解决的数学问题 。 掌握参考文献资料的查找方法和论文写作的基本要求和技巧，培养自己利用所学知识分析和解决问题的能力，从而提高自己对所学多学科知识融会贯通的能力。 四、论文详细工作进度和安排 第一阶段（ 2010 年 11 月 5 日 2011 年 2 月 20 日）： 确定毕业

21、论文题目，查阅文献，收集相关信息、资料。 完成文献检索、开题报告及外文翻译的初稿。 第二阶段（ 2011 年 2 月 20 日 2011 年 3 月 11 日）： 完成毕业论文的数据收集、论文初稿。 第三阶段（ 2011 年 3 月 11 日 2011 年 5 月 3 日）： 进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改， 将完成毕业论文交给指导教师审阅 。 第四阶段（ 2011 年 5 月 23 日 2011 年 5 月 28 日）： 准备并进行毕业论文答辩。 五、主要参考文献： 1 袁肇邦 .关于定积分换元法定理 J.鞍山师范学院学报 .1992,(3):35-37. 2 李开丁 .定积分的二

22、种换元法及其应用 J.高等数学研究 .1999,12(4)： 15-18. 3 童宏胜 .定积分换元公式的几个推论及应用 J.河南广播电视大学学报 .2006,04,(4)： 58-60. 4 李源 .证明定积分等式的几种方法 J.高等函授学报 (自然科学版 ).2010,03,(3)： 23-25. 5 崔玮 .浅谈高等数学中不定积分的求法 J.科技信息 .2010,11,(11)： 518. 6 向长福 .“二重积分换元法”的教学研究 J.科技信息 .2010,11,(11)： 536-937. 7 梅银珍 .二重积分换元公式的一种简便推导方法 J.华北工学院学报 .2004,03,(3)

23、： 166-168. 8 武增明 .用三角换元法求无理函数最值问题的思维视角 J.云南教育 (中学教师 ).2007,10,(1)： 27. 9 叶宗菊 .三角换元法在数学解题中的应用例举 J.科学咨询 (教育科研 ).2009,04,(8)： 64. 10 鲁和平 .求含无理递推是数列通项的换元技巧 J.中等数学 .2007,12,(12)： 13-15. 11欧阳光中等 .数学分析（第 3版） M.北京：高等教育出版社 .2007,04. 12Richard Courant Fritz John-Introduction to Calculus and Analysis I M.世界图书出版公司 .1991. 13Vladimir A.Zorich-Mathematical Analysis II M.世界图书出版公司 .2003.