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函数的凸性及应用[文献综述].doc

1、毕业论文文献综述 信息与计算科学 函数的凸性及应用 一、前言部分 (说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点) 凸函数是一类重要的函数。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数都有着十分重要的作用。凸函数的定义,最早是由 Jersen 给出的。各文献中对凸函数的定义不尽相同,在大学的数学分析或高等数学教材中,常常只研究具有二阶导数的凸函数。 本文首先给出凸函数的定义以及对凸函数的基本性质进行总结。然后由基本性质进行延伸,进一步给出凸 函数的应用。对于凸函数的应用,本文拟将主要介绍以下的几点:凸函数在证明 Jens

2、en 不等式时的应用;凸函数在 Hadamard 不等式中的证明的应用;凸函数在分析不等式中的应用等。 二、主题部分 (阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述) 凸函数具有一些非常优良的性质 1,有着较好的几何和代数性质,在数学各个领域中都有着广泛的应用。 1905 年丹麦数学家 Jensen 首次给出了凸函数的定义,经过近百年努力,凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展,在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。 凸函 数是一类非常重要的函数,应用函数的凸性,不仅可以科学、准确的描述函数的图像,而且也有证明不等式的凸函数方法,同时,凸函数也是优化问题中重要的研究对象

3、,它研究的内容非常丰富,研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用,所以研究凸函数的性质及应用就显得尤为重要。 2.1 凸函数的定义 2.1.1凸函数一些基本定义 通过数学分析的学习,对于函数 2xxf 和 xxf 的图像,我们很容易看出它们之间的不同点:曲线 2xy 上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线 xy 则相反,在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。通过这两个函数,我们把前一种特性的1 曲线称为凸的,后一种为凹的。对于凸的我们称其函数为凸函数。 数学分析 2给出了凸函数的基本定义:设 f 为定义在区间 I 上的函数,若对 I 上的任意两点 1x , 2x 和任意实数 1,0 总

4、有 2121 11 xfxfxxf ,则称 f 为I 上的凸函数。 葛丽萍 3 介绍了以下的结论: 若区间 I 上的任意三点 321 xxx ,总存在 23231212 xx xfxfxx xfxf ,这个条件是 f 为 I 上的凸函数的充要条件,该证明在数学分析中已经详细的给出了。同理,通过推广,可以得出另一个更进一步的充要条件:在区间 I 上的任意三点 321 xxx ,有 232313131212 xx xfxfxx xfxfxx xfxf 成立,则 f 为 I 上的凸函数。并且若 f 为区间 I 上的二阶可导函数,则在 I 上 f 为凸函数的充要条件为 Ixxf ,0 。 2.1.2严

5、格凸函数的定义 江芹 ,陈文略 4给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间 I 上严格凸函数的判定方法。 定义:凸函数的定义为函数 f 满足以下不等式 2121 11 xfxfxxf ,其中 f 为区间 I 上的函数, 1x , 2x 为 I 上的任意两点和 1,0 。当上面的不等式变为 2121 11 xfxfxxf 时,其余条件不变,该函数称为严格凸函数。 判定方法: 1、设 f 为区间 I 上可导函数, f 在 I 上严格递增,则 f 在区间 I 上是严格凸函数。反之,不成立; 2、设 f 为区间 I 上二阶可导函数 ,在 I 上 ,0 xf .则 f 在区间I 上是严格凸函数。 2.1.3

6、凸函数的等价描述 林银河 5详细论述了凸函数的等价描述,由此得出:若 )(xf 在 I 上有定义,则以下 3个命题等价: 1 )(xf 在 I 上为凸函数; 2 0iq , 121 nqqq , , 21 Ixxx n 有)()()()( 22112211 nnnn xfqxfqxfqxqxqxqf ; 2 3 0iq ,且 ),1( niqi 不全为零, , 21 Ixxx n 有 nnnnnn qqq xfqxfqxfqqqq xqxqxqf 212211212211 )()()()(。 其中命题 2 就是著名的 Jensen不等式。在 Jensen不等式中令 ),2,1(1 ninqi

7、就得到如下定义:设 )(xf 在区间 I 上有定义, )(xf 称为 I 上的凸函数,当且仅当 , 21 Ixxx n 有n xfxfxfn xxxf nn )()()()( 2121 。 葛丽萍 3介绍了函数 f 在区间 I 上可导的等价条件:若 f 为区间 I 上的可导函数,可得出以下等价条件。 ( 1) f 为 I 上的凸; ( 2) f 为 I 上的增函数; ( 3)对 I 上的任意两点 1x ,2x ,有 2 1 1 2 1 f x f x f x x x。 2.2 凸函数的一些性质 2.2.1凸函数的连续性 凸函数是数学分析中的一类重要函数,而函数的连续性又是函数性态的一项基本而又

8、重要的特征。由于 Jensen 定义中并没有对函数作出连续性及可导性假设, Jensen 意义下凸函数并不一定是连续函数,而连续函数也不一定是凸函数,从凸函数的定义出发,研究连续函数与凸函数的关系。那么我们就会提出这样的问题:当连续函数 )(xf 满足何种条件时,)(xf 是区间 I 上的凸函数;当凸函数 )(xf 满足何种条件时, )(xf 是区间 I 上的连续函数;连续凸函数在区间 I 上具有何种性质? 例如函数 1,2 1,)( xxxxf ,我们容易证明 )(xf 在 1,1 上是凸函数,但 )(xf 在 1,1上不连续。存在函数 3)( xxf ,可以得出函数在 R 上是连续的,但是

9、函数在 R 上不是凸函数。 上面这个例题说明 凸函数并不一定是连续函数,而连续函数也不一定是凸函数。 宋方 6提出,如果连续函数 )(xf 为凸函数,必定满足以下定义:对任意的 Ixx 21, 及 1,0 ,恒有: 2121 11 xfxfxxf 。 例:证明连续函数 2)( xxf 是一个凸函数。 分析:因为 2222112212122221122211 )( xqxqxxqqxqxqxqxq ,只要存3 在 1 2 1 2, 0, 1 q q q q就能说明函数 )(xf 是一个凸函数。显然能够找到满足条件的120.4, 0.6qq 性质 7:若 )(xf 在区间 I 上连续,且满足 )(

10、)()( 212 11122 xfxx xxxfxx xxxf 或 0)(1)(1)(12211xfxxfxxfx 其中 Ixx 21, ,则 )(xf 是 I 上的凸函数。 2.2.2凸函数的微积分性质 刘鸿基,张志宏 8指出凸函数是一类重要的函数,有着较好的分析性质,而关于凸函数,一般教材大都从几何意义方面引出定义,描述为:凸曲线弧段上任意两点联结而成的弦,总是 位于曲线弧段的下方;或者,当曲线各点处存在切线时,凸曲线弧全部位于曲线上各点处切线的下方。前者往往作为定义使用,后者是凸函数的充分必要条件,也可以作为定义作用。刘鸿基,张志宏 8举证了凸函数的 4个等价性定义,并对凸函数的微积分性

11、质予以讨论,得到两个重要的微积分性质: 1.设 )(xf 在区间 ),( ba 内可导,则 )(xf 在 ),( ba 上是凸函数的充分必要条件是:对任意 点 ),(0 bax ,恒有 )()()( 000 xxxfxfxf 。 2.设 )(xf 是 ba, 上的凸函数,则 )()2()()(2 )()( abbafdxfabbfafba 性质 2分析:因为 )(xf 是闭区间 ba, 上的凸函数,因而是连续的,也是可积的。 当 bbax ,2时, 2, baaxbax, 因此有 bxbaxbaa 2。 根据定义,可得2 )()(2 xfxbafbaf 即 )()(22 xfxbafbaf 。

12、 4 根据定积分性质 dxxfdxxfdxxf bbabaaba 22 )()()( 对于 dxxfbaa 2 )( , 令 tbax 则 dttbafdttbafdxxf bbababbaa 222 )()()()( 所以2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b ba b a b a ba f x d x f a b t d t f x d x f a b x f x d x 2 2 ( ) ( ) ( )22 bab a b a bf d x f b a 再者,若令 ab xbt ,则 btatx )1( ,于是 0110( ) ( ( 1 ) ) ( ) ( ) (

13、1 ) ) ba f x d x f a t t b a b d t b a f t a t b d t 10( ) ( ) (1 ) ( ) b a tf a t f b d t 11( ) ( ( ) ( ) )22 b a f a f b 综上所述,结论成立。 2.2.3关于凸函数性质的总结 王华 9提出常见的凸函数定义有八个,此处就其中几个定义间的关系、几何意义作进一步思考,来得出有关凸函数的性质。 根据文中所阐述和定义的,归纳出以下性质: 1当 f 在 I 上一阶可导, f 在 I 凸 , 0 Ixx )()()( 000 xfxxxfxf 。由于 )()( 000 xfxxxff

14、是过点 )(,( 00 xfx 的曲线的切线,不等式的几何意义是:上凸曲线总在曲线上任一点的切线之 上。 2 f 在 I 上二阶可导, f 在 I 凸 ,Ix 0)( xf 。 3若 f 在 I 上可导,则下述两个不等式等价( 1) )()()( 11212 xfxxxfxf ;( 2) 2 )()()2( 2121 xfxfxxf 。 4若 f 在 I 凸,则下述两个不等式等价( 1) Ix 有 0)( xf ;( 2) Ixx 21, 有2 )()()2( 2121 xfxfxxf 。 5若 f 在 I 凸 ,则( 1) Ix0 ,有 )( 0xf , )( 0 xf 都存在,且 )()(

15、 00 xfxf ;5 ( 2) f 在 I 连续。 例:证明上(下)凸函数都是连续的。 针对性质 5 分析: Ix0 ,取 20 xxx ,据定义得式20201010 )()()()( xx xfxfxx xfxf ()又据其几何意义,函数1010 )()()( xx xfxfxF 是单调函数,故当 01 xx 时1010 )()( xx xfxf 单调有 上 界 ; 01 xx 时2020 )()( xx xfxf 单 调 有 下 界 , 于 是 极 限1010 )()(lim01 xxxfxfxx 及2020 )()(lim02 xxxfxfxx 存在,而这两个极限即 )( 0xf 及

16、)( 0 xf ,故对式( *)取极限,即可得)()( 00 xfxf 。 同时可知 1 0 2 00 1 0 2l i m ( ) ( ) 0 l i m ( ) ( ) x x x xf x f x f x f x即 )()(lim)(lim00201 xfxfxf xxxx 。故 )( xf 在 I 的内点连续,即 f 在 I 上连续是 f在 I 上 (下)凸的必要条件。 2.3 凸函数的一些应用 2.3.1凸函数的应用概述 凸函数的应用领域非常广泛,特别是在不等式的证明中,函数凸性的应用显著地体现在求最值、不等式的证明上。利用凸函数的性质证明有关不等式,可以使难度较大且证明过程复杂的问

17、题转化为证明比较容易,证明过程简单的问题,关键是寻找合适的凸函数,若不能直接找出,则可以对不等式进行适当的变形,从而达到证明不等式的目的。凸函数在数学规划中有着广泛的应用背景 ,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。邹自德 10指出:凸函数具有较好的几何和代数性质,由凸 函数可以引导出各种平均值并对这些平均值进行比较。 例:几何平均值不大于算数平均值(利用凸函数导出常用的不等式) 分析:设 0a , 1a 考虑指数函数 xya , (0, )x 是凸函数,从而对1 2 1 2, , , (0 , ) , , , , (0 , ) ,nnx x x 12 1, , , ( 0 , 1 ) ,

18、 1 ,nnkk 有 1 1 2 2 1212 n n nx x x xxx na a a a成立。 6 令121 2 1 21 , , , , nxxxnna a a a a an ,则得到 1 121 2 1 2, , , 0 ( ) nnnn a a aa a a a a a n 有。 这就是人们熟知的“几何平均值不大于算数平均值”定理。 梁艳 11指出:凸函数是一类非常重要的函数,在不等式的研究中,凸函数所发挥的作用是无可替代的,可以根据凸凹函数的特性,结合典型事例,来说明凸函数在处理一些有较大难度不等式证明中的应用。 例:证明下列不等式: ( 1) 对任意实数 ,ba 有 )(212

19、 baba eee . 分析:( 1)设 xexf )( ,由于 xexfxf )()( ,而 0)( xexf ,故 xexf )(是 ),( 上的凸函数,由定义可知,有 2 )()()2( bfafbaf ,即 )(212 baba eee . 小结: 在不等式的研究中,凸函数所发挥着很重要的作用,在数学规划中有着广泛的应用背景,我们可以根据凸凹函数的特性,来解决 一系列拥有较大难度的不等式,以及导出一些较难的不等式,如上面所给出的指数不等式,三角函数不等式都能通过凸函数的性质来得到比较直观的证明,可以来导出如 几何平均值不大于算数平均值这一类比较难的不等式,说明了凸函数在处理一些有较大难

20、度不等式证明中有着较好的应用。 2.3.2凸函数在证明 Jensen不等式时的应用 王秋亮 12讨论了凸函数在证明 Jensen不等式时的应用。不论导出不等式还是证明不等式,利用 Jensen不等式的关键在于选取适当的凸函数,并且根据想要构造或证明的不等式的形式选取恰当的值。并且应用数学归 纳法在用凸函数来证明 Jensen不等式时,可以得到较好的效果。 定理 1( Jensen不等式):若设 )(xf 区间 I 上有定义,则以下两条件等价: 1. 在 I 上 )(xf 为凸函数; 2. 1),2,1(0,1 ni iii nibax ,有 )()(11 ini iiini i xfxxf (

21、 *) 分析: 2 1只要令 2n 即得。 1 2应用数学归纳法。当 2n 时,可得函数为凸函数。设 kn 时命题成立,即7 ),2,1(0, kiabax ii ,11 ki ia有 )()(11 ini iini i xfaxaf ,现设, baxi ,及 ),1,2,1(0 kii ,111 ki i令11 kiia , ki ,2,1 ,111 ki ia 。由数学归纳法假设可推得 11 1 1111 1 1 1 1( ) ( ( 1 ) )1( 1 ) ( ) ( ) k i i k ki i k k kikk k k k kxxf x f xf a x a x f x1 1 1 1

22、 1( 1 ) ( ) ( ) ( ) k k k k ka f x a f x f x 11 1 1 111( 1 ) ( ) ( ) ( )11 kk k k kkkf x f x f x= )(11 iki i xf . 这就证明了对任何正整数 )2(n ,凸函数 )(xf 总有不等式( *)成立。 2.3.3凸函数在证明 Hadamard不等式时的应用 郑宁国 13给出了 Hadamard不等式的两种证明方法。讨论了凸函数在证明 Hadamard不等式时的应用。 选取适当的凸函数 来证明 Hadamard不等式,并且根据要证明的不等式的形式选取恰当的值。 Hadamard不等式:设 f

23、 是 ba, 上连续的凸函数,则有 ba bfafdxxfabbaf 2 )()()(1)2(. 分析:根据积分区间具有可 加性,有 xdxfdxxfdxxf bbababaa 22 )()()( . 因为 22 )()(baab ba xbafxdxf (其中令 tbax ), 所以 22( ) ( ) ( ) 2 ( )2 a b a bba a a abf x d x f x f a b x d x f d x)2()( bafab 即有 dxxfabbaf ba )(1)2(。令 )10(,)( ttabbx , 则 1100( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) (

24、) ba f x d x b a f t a t b d t b a t f a t f b d t8 = 2 )()()( bfafab . 即有 .2 )()()(1 ba bfafdxxfab所以 Hadamard不等式成立。 2.3.4凸函数在分析不等式中的应用 关于凸函数的理论及应用有许多专门的研究,利用凸函数的概念可以来解决不等式的证明有许多方便之处,现实中常常利用凸函数的概念来证明分析中的一些常见的不等式。李艳梅,李雪梅 14给出了凸函数在分析不等式证明中的应用,利用凸函数的性质及 Jensen不等式,对数学分析中诸多不等式给予证明,从中可举一反三,利用 Jensen不等式的一些

25、特殊情况,可以得到一些常用的分析不等式。 例: Ryxaaaa yxyx ,0,22 . 分析:假设函数 2)( ln,ln)(,)( aafaaxfaxf xxx , ,Rx 有 0)(ln)( 2 aaxf x , 由 Jensen不等式取 21,221 qqn有 121 qq 于是 , Ryx 有 221212 yxyxyx aaaaa 小结:此处运用了凸函数的性质及 Jensen不等式,可以很简洁的证得该分析不等式。 解决不等式的证明有着许多方便之处,凸函数适当的应用,使证明过程更加简洁,结论得出更加的方便。 三、总结部分 (将全文主题进行扼要总结,提出自己的见解并对进一步的发展方向做

26、出预测) 凸函数具有一些非常优良的性质 ,有着较好的几何和代数性质,在数学各个领域中都有着广泛的应用 15。 凸函数是一类非常重要的函数,应用函数的凸性,不仅可以科学、准确的描述函数的图像,而且也有证明不等式的凸函数方法,同时,凸函数也是优化问题中重要的研究对象,它研究的内容非常丰富,研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用。 本文首先对凸函数定 义进行介绍,凸函数的等价性质进行了概述;接下来介绍了凸函数的基本性质,然后由此延伸,进一步提出凸函数的应用,主要集中在下面几方面的应用:凸函数在 Hadamard 不等式证明中的应用,凸函数在证明 Jensen 不等式时的应用,凸函数在9 分析不等式中

27、的应用等方面进行了讨论。 四、参考文献 (根据文中参阅和引用的先后次序按序编排) 1 蒲义书、陈露 .凸函数概论 J.高等数学研究 ,2006, 9( 4): 34-71. 2 数学分析 M.第三版 .北京 : 高等教育出版社, 2006: 148-154. 3 葛丽萍 . 关 于 凸函数的几个充分必要条件 J.文化教育, 2010, (5): 193-193. 4 江芹、陈文略 .严格凸函数的判定 J.高等函授学报 ,2006,19(4): 27-28. 5 林银河 .凸函数的等价描述与 Jensen 不等式 J.丽水师范专科学校学报, 2001, 23( 2): 8-11. 6 宋方 .关

28、于凸函数的定义和性质 J. 数学的实践与认识, 2007, 27(8): 189 194. 7 Jonathan M.Borwein, Jon Vanderwerff. Constructions of Uniformly Convex FunctionsJ. 2000 Mathematics Subject Classification, 2000, 1-10. 8刘鸿基、张志宏 .凸函数的等价定义及其微积分性质的讨论 J.商丘师范学院学报, 2008, 24(6) :123-125. 9 王华 .关于凸函数性质的总结 J.科技教育, 2005, 235-236. 10 邹自德 .凸函数及应

29、用 J.广州广播电视大学学报, 2008, 8(1):104-112. 11梁艳 .凸函数的应用 J.内江师范 学院学报, 2010, 25: 90-91. 12王秋亮 .凸函数在不等式中的应用 J.晋城职业技术学院学报, 2009, 2( 3): 95-96. 13郑宁国 .凸函数的 Hadamard 不等式的两种证明方法 J.湖州师范学院学报, 2005, 27( 2): 15-17. 14李艳梅、李雪梅 .凸函数在分析不等式证明中的应用 J.高等职业教育天津职业大学学报 ,2003,13(1):33-37. 15Zhenglu jiang,Xiaoyong Fu,Hongjiong Tian. Convex Functions and Ineoualities For integralsJ. J.Inequal.Pure and Appl.Math, 2006, 7(5).

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