2005年高考理科数学全国卷Ⅲ试题及答案.DOC

1、2005 年高考数学试卷及答案 王新敞 新疆奎屯市第一高级中学 E-mail: 第 1 页 （共 9 页） 2005 年高考 理 科数学全国卷试题及答案 （四川 陕西 云南 甘肃 等地区用） 源头学子小屋 奎屯王新敞 新疆 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 . 共 150 分 . 考试时间 120 分钟 . 第 I 卷 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） 如果事件 A、 B 相互独立，那么 P（ A B） =P（ A） P（ B） 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k

2、 次的概 率 Pn(k)=Ckn Pk(1 P)n k 一、 选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 奎屯王新敞 新疆在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的） 1.已知 是第三象限的角，则 2 是（ ） . A.第一 或 二象限的角 B.第二 或 三象限的角 C.第一 或 三象限的角 D.第二 或 四象限的角 2. 已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为（ ） . A.0 B.-8 C.2 D.10 3.在 (x-1)(x+1)8 的展开式中 x5 的系数是 ( ) A.-14 B.14 C.-28 D.2

3、8 4.设三棱柱 ABC-A1 B1C1 的体积是 V， P.Q 分别是侧棱 AA1.CC1 上的点，且 PA=QC1，则四棱锥 B-APQC 的体积为（ ） A. V61B. V41C. V31D. V215. )3x4x 22x3x 1(lim 221x =（ ） A.- 21 B. 21 C.-61D.616.若55ln,33ln,22ln cba,则 ( ) A.abc B.cba C.cab D.bac 7.设 0 x2 ,且 x2sin1 =sinx-cosx, 则 ( ) A.0 x B.4 x47C.4 x45D.2 x238. xxxx 2coscos2cos1 2sin2

4、2 ( ) 球的表面积公式 S=4 2R 其中 R 表示球的半径， 球的体积公式 V= 334R ， 其中 R 表示球的半径 2005 年高考数学试卷及答案 王新敞 新疆奎屯市第一高级中学 E-mail: 第 2 页 （共 9 页） A.tanx B.tan2x C.1 D.219.已知双曲线 1222 yx的焦点为 F1.F2，点 M 在双曲线上且 021 MFMF，则点 M 到 x 轴 的距离为 ( ) A.34B.35C.332D. 3 10.设椭圆的两个焦点分别为 F1.F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若三角形 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A.

5、22B.212C. 22 D. 12 11.不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）个 A.3 B.4 C.6 D.7 12.计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 09 和字母 AF 共 16 个计数符号 奎屯王新敞 新疆这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进 制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如用十六进制表示： E+D=1B，则 A B=（ ） A.6E B.72 C.5F D.B0 二 、 填空题 : 本大题共 4 小题，每

6、小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上 奎屯王新敞 新疆 13.已知复数 z0=3+2i, 复数 z 满足 z z0=3z+z0， 则 z= 奎屯王新敞 新疆 14.已知向量 ),10,k(OC),5,4(OB),12,k(OA ，且 A.B.C 三点共线，则 k= . 15.设 l 为平面上过点 (0,1)的直线， l 的斜率等可能地取 -2 2 ,- 3 ,- 25 ,0, 25 , 3 , 2 2 , 用表示坐标原点到 l 的距离，则随机变量的数学期望 E = 奎屯王新敞 新疆 16.已知在 ABC 中， ACB=90， BC=3， AC=4， P 是 AB 上的点，则 P 到

7、 AC.BC 距离的的乘积的最大值是 奎屯王新敞 新疆 三 、 解答题（共 76 分） 17.（本小题满分 12 分） 甲 .乙 .丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响 奎屯王新敞 新疆已知在某一个小时内，甲 .乙都需要照顾的概率是 0.05，甲 .丙都需要照顾的概率是 0.05，乙 .丙都需要照顾的概率是 0.125 奎屯王新敞 新疆 1）求甲 .乙 .丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率？ 2）计算在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率？ 18.（本小题满分 12 分） 四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形， 2005 年高考数学试卷及答案

8、王新敞 新疆奎屯市第一高级中学 E-mail: 第 3 页 （共 9 页） 平面 VAD底面 ABCD 奎屯王新敞 新疆 1）求证 AB面 VAD； 2） 求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小 19.（本小题满分 12 分） ABC 中，内角 A .B .C 的对边分别为 a .b .c ，已知 a .b .c 成等比数列，且 Bcos 43 奎屯王新敞 新疆 （ 1）求 CA cotcot 的值； （ 2）若 23BCBA ，求 ca 的值 奎屯王新敞 新疆 20.（本小题满分 12 分） 在等差数列 an中，公差 d 0,且 a2 是 a1 和 a4 的等比中项 ,已知 a1,

9、a3, ,a,a,a,an321 kkkk 成等比数列，求数列 k1,k2,k3, ,kn 的通项 kn 奎屯王新敞 新疆 21.（本小题满分 14 分） 设 11,yxA . 22,yxB 两点在抛物线 22xy 上， l 是 AB 的垂直平分线 奎屯王新敞 新疆 1）当且仅当 21 xx 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F ？证明你的结论； 2）当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上截距的取值范围 奎屯王新敞 新疆 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= ,1,0x,x2 7x4 2 (1)求函数 f(x)的单调区间和值域； （ 2）设 a 1, 函数 g(

10、x)=x3-3a2x-2a, x 0,1, 若对于任意 x1 0,1, 总存在 x0 0,1, 使得 g(x0) =f(x1)成立，求 a 的取值范围 奎屯王新敞 新疆 2005 年高考 理 科数学全国卷 试题及答案 A BCDV2005 年高考数学试卷及答案 王新敞 新疆奎屯市第一高级中学 E-mail: 第 4 页 （共 9 页） （ 必修 +选修 ） （四川 陕西 云南 甘肃 等地区用） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B C A C C B C D D A 13. 31 2i 奎屯王新敞 新疆14. 23 奎屯王新敞 新疆15.74

11、奎屯王新敞 新疆16.3 奎屯王新敞 新疆 17.（本小题满分 12 分） 甲 .乙 .丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响 奎屯王新敞 新疆已知在某一个小时内，甲 .乙都需要照顾的概率是 0.05，甲 .丙都需要照顾的概率是 0.05，乙 .丙都需要照顾的概率是 0.125奎屯王新敞 新疆 1）求甲 .乙 .丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率？ 2）计算在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率？ 解：记“甲机器需要照顾”为事件 A，“乙机器需要照顾”为事件 B，“丙机器需要照顾”为事件 C，由题意三个事件互不影响，因而 A， B， C 互相独立 (1)由已知有： P（ A B） =

12、P(A) P(B)=0.05, P（ A C） = P(A) P(C)=0.1 P（ C B） = P(B) P(C)=0.125 解得 P（ A） =0.2, P(B)=0.25, P(C)=0.5, 所以甲 .乙 .丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率分别为 0.2;0.25;0.5. (2)记事件 A 的对立事件为 A ，事件 B 的对立 事件为 B ，事件 C 的对立事件为 C ， 则 P(A )=0.8, P(B )=0.75, P(C )=0.5, 于是 P(A+B+C)=1-P(A B C )=1-P(A ) P(B ) P(C )=0.7. 故在这一个小时内至少有一台需要

13、照顾的概率为 0.7. 18.（本小题满分 12 分） 四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形， 平面 VAD底面 ABCD 奎屯王新敞 新疆 1）求证 AB面 VAD； 2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小 证法一： （ 1）由于面 VAD 是正三角形，设 AD 的中点为 E，则 VE AD，而面 VAD底面 ABCD，则 VE AB 奎屯王新敞 新疆 又面 ABCD 是正方形，则 AB CD，故 AB面 VAD 奎屯王新敞 新疆 （ 2）由 AB面 VAD，则点 B 在平面 VAD 内的射影是 A，设 VD 的中点为 F，连 AF， BF

14、 由 VAD 是正，则 AF VD，由三垂线定理知 BF VD，故 AFB 是面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的平面角 奎屯王新敞 新疆 设正方形 ABCD 的边长为 a， 则在 Rt ABF 中， ,AB=a, AF=23a， tan AFB =33223aaAFAB 故面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小为 332arctan 奎屯王新敞 新疆 证明二： （）作 AD 的中点 O，则 VO底面 ABCD 1 分 EFA BCDV2005 年高考数学试卷及答案 王新敞 新疆奎屯市第一高级中学 E-mail: 第 5 页 （共 9 页） 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为

15、 1， 2 分 则 A（ 12 ， 0， 0）， B（ 12 ， 1， 0）， C（ -12 ， 1， 0）， D（ -12 ， 0， 0）， V（ 0， 0， 32）， 13( 0 , 1 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , ( , 0 , )22A B A D A V 3 分 由 ( 0 ,1 , 0 ) (1 , 0 , 0 ) 0A B A D A B A D 4 分 13( 0 , 1 , 0 ) ( , 0 , ) 022A B A V A B A V 5 分 又 AB AV=A AB平面 VAD 6 分 （）由（）得 (0,1,0)AB 是面 VAD 的法向量 7 分

16、 设 (1, , )n y z 是面 VDB 的法向量，则 1130 3( 1 , , ) ( , 1 , ) 0( 1 , 1 , )22 3 30( 1 , , ) ( 1 , 1 , 0 ) 0 3xn V B yznzn B Dyz 9 分 3( 0 , 1 , 0) ( 1 , 1 , )213c os ,72113AB n ， 11 分 又由题意知，面 VAD 与面 VDB 所成的二面角，所以其大小为 21arccos 7 12 分 （ II） 证法三： 由（）得 (0,1,0)AB 是面 VAD 的法 向量 7 分 设平面 VDB 的方程为 mx+ny+pZ+q=0,将 V.B.

17、D 三点的坐标代入可得 023021021qpqmqnm解之可得qpqnqm3222令 q= ,21则平面 VDB 的方程为 x-y+33Z+21=0 故平面 VDB 的法向量是 )33,1,1( n 9 分 ABCDVyxOz2005 年高考数学试卷及答案 王新敞 新疆奎屯市第一高级中学 E-mail: 第 6 页 （共 9 页） 3( 0 , 1 , 0) ( 1 , 1 , )213c os ,72113AB n ， 11 分 又由题意知，面 VAD 与面 VDB 所成的二面角，所以其大小为 21arccos 7 12 分 19.（本小题满分 12 分） ABC 中，内角 A .B .

18、C 的对边分别为 a .b .c ，已知 a .b .c 成等比数列，且Bcos 43 奎屯王新敞 新疆 （ 1）求 CA cotcot 的值； （ 2）若 23BCBA ，求 ca 的值 奎屯王新敞 新疆 解：（ 1）由 Bcos 43 得： 47sin B 由 acb 2 及正弦定理得： CAB sinsinsin 2 于是： B CACA ACACCCAACA2s i ns i ns i ns i n s i nc o sc o ss i ns i nc o ss i nc o sc o tc o t 7 74s in1s ins in2 BBB奎屯王新敞 新疆 （ 2）由 23 BCB

19、A 得： 23cos Bac ，因 Bcos 43 ，所以： 2ac ，即： 22b 奎屯王新敞 新疆 由余弦定理 Baccab c o s2222 得： 5c o s2222 Bacbca 于是： 9452222 accaca 故： ca 3 奎屯王新敞 新疆 20.（本小题满分 12 分） 在等差数列 an中，公差 d 0,且 a2是 a1和 a4的等比中项 ,已知 a1,a3, ,a,a,a,an321 kkkk 成等比数列，求数列 k1,k2,k3, ,kn的通项 kn 奎屯王新敞 新疆 解：由题意得： 4122 aaa 1 分 即 )3()( 1121 daada 3 分 又 0,d

20、 da 1 4 分 2005 年高考数学试卷及答案 王新敞 新疆奎屯市第一高级中学 E-mail: 第 7 页 （共 9 页） 又 ,2131 nkkk aaaaa成等比数列 , 该数列的公比为 3313 ddaaq ， 6 分 所以 11 3 nk aan 8 分 又 11 )1( akdkaa nnkn 10 分 13 nnk 所以数列 nk 的通项为 13 nnk 12 分 21.（本小题满分 14 分） 设 11,yxA 、 22,yxB 两点在抛物线 22xy 上， l 是 AB 的垂直平分线 奎屯王新敞 新疆 （ 1）当且仅当 21 xx 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F

21、 ？证明你的结论； （ 2）当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上截距的取值范围 奎屯王新敞 新疆 注： 本 小题主要考察直线与抛物线等基础知识，考察逻辑推理能力和综合分析、解决问题的能力 奎屯王新敞 新疆 解法一：（ 1） FBFAlF A 、 B 两点到抛物线的准线的距离相等 因为：抛物线的准线是 x 轴的平行线， 0iy 2,1i ，依题意 1y 、 2y 不同时为 0 所以，上述条件等价于 02121222121 xxxxxxyy ； 注意到： 21 xx ，所以上述条件等价于 021 xx 奎屯王新敞 新疆 即：当且仅当 021 xx 时，直线 l 经过抛物线的焦点 F

22、奎屯王新敞 新疆 （ 2）设 l 在 y 轴上的截距为 b ，依题意得 l 的方程为 bxy 2 ；过点 A 、 B 的直线方程可写为 mxy 21 ，所以 1x 、 2x 满足方程 0212 2 mxx ，即 4121 xxA 、 B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 0841 m ，也就是：321m奎屯王新敞 新疆设 AB 的中点 H 的坐标为为 00,yx ，则有： 812 210 xxx ， mmxy 161200 2005 年高考数学试卷及答案 王新敞 新疆奎屯市第一高级中学 E-mail: 第 8 页 （共 9 页） 由 lH 得： bm 41161 ，于是： 3293

23、21165165 mb 奎屯王新敞 新疆 即： l 在 y 轴上截距的取值范围是 ,329奎屯王新敞 新疆 .解法二： （）抛物线 22xy ，即 41,22 pyx ， 焦点为 1(0, )8F 1 分 （ 1）直线 l 的斜率不存在时，显然有 021 xx 3 分 （ 2）直线 l 的斜率存在时，设为 k， 截距为 b 即直线 l ： y=kx+b 由已知得： 1 2 1 21212221kbkyy xxyyxx 5 分 221 2 1 222121212222kbkx x x xxxxx 22 121212212kbkxxxxxx 7 分 2212 1 04 bxx 14b即 l 的斜率

24、存在时，不可能经过焦点 1(0, )8F 8 分 所以当且仅当 12xx =0 时，直线 l 经过抛物线的焦点 F 9 分 (II)解： 设直线 l 的方程为： y=2x+b, 故有过 AB 的直线的方程为 mx21y ，代入抛物线方程有 2x2+ mx21 =0, 得 x1+x2=-41. 由 A.B 是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式 0m841 ，即321m 由直线 AB 的中点为 )2,2( 2121 yyxx = )m161,81()mx21,81( 0 ， 则 ,b41m161 于是 .329321165m165b 即得 l 在 y 轴上的截距的取值范围是 ),329( 奎

25、屯王新敞 新疆 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= ,1,0x,x2 7x4 2 (1)求函数 f(x)的单调区间和值域； （ 2）设 a 1, 函数 g(x)=x3-3a2x-2a, x 0,1, 若对于任意 x1 0,1, 总存在 x00,1, 使得 g(x0) =f(x1)成立，求 a 的取值范围 奎屯王新敞 新疆 2005 年高考数学试卷及答案 王新敞 新疆奎屯市第一高级中学 E-mail: 第 9 页 （共 9 页） 解： （ 1）对函数 f(x)= ,1,0x,x2 7x4 2 求导，得 f (x)= ,)x2( )7x2)(1x2()x2( 716x4 222

26、 ，令 f (x)=0 解得 x=21或 x=27. 当 x 变化时， f (x), f(x)的变化情况如下表所示： x 0 (0,21 ) 21 )1,21( 1 f (x) - 0 + f(x) 27 -4 -3 所以，当 )21,0(x 时， f(x)是减函数；当 )1,21(x 时， f(x)是增函数 奎屯王新敞 新疆 当 1,0x 时， f(x)的值域是 -4， -3 奎屯王新敞 新疆 （ II）对函数 g(x)求导，则 g (x)=3(x2-a2). 因为 1a ，当 )1,0(x 时， g (x)5(1-a2) 0, 因此当 )1,0(x 时， g(x)为减函数， 从而当 x 0,1时有 g(x) g(1),g(0), 又 g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a, 即当 x 0,1时有 g(x) 1-2a-3a2,-2a, 任给 x1 0,1,f(x1) -4,-3,存在 x0 0,1使得 g(x0)=f(x1), 则 1-2a-3a2,-2a 3,4 ， 即 3a2 4a3a212 , 解式得 a 1 或 a35, 解式得 23a ， 又 1a ,故 a 的取值范围内是 23a1 .