矩阵的初等变换在线性代数中的应用[文献综述].doc

1、毕业论文文献综述 信息与计算科学 矩阵的初等变换在线性代数中的应用 一、 前言部分 线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出 物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括 y/

2、x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 矩阵的初等变换起源于解线性方程组 ， 是线性代数的一个基本概念 ， 也是研究矩阵的一个非常重要的工具 。 矩阵作为线性代数中最基本的一个概念，在数学的各方面的有重要的意义。最基本 的应用当然是在线性方程方面。但是，矩阵的意义其实可以说就是线性代数的意义，因为线性代数的每一个概念都与矩阵有着密切关系。而线性代数是整个高等数学的基础之一，可以应用

3、到整个数学的方方面面，而其本身在物理学、生物学、经济学、密码学等方面发挥着重要作用。 1 矩阵的初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用 。 文章就详细地总结了矩阵的初等换在求逆矩阵 、 求矩阵的秩 、 求过渡矩阵 、 求向量组的秩及向量组的极大线性无关组 、 解方程组 、 化二次型为标准型以及求标准正交基等问题中的应用 。本文就讨论 应用矩阵初等变换的一些性 质解决有限维向量空间中这些问题 。 2 二、 主题部分 2.1 矩阵和线性代数的概念介绍 2.1.1 线性代数的概念介绍 1 线性代数（ Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量 ，向量空间 （或称

4、线性空间） ，线性变换 和有限维 的线性方程组 。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和 泛函分析 中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示 。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于 自然科学 和社会科学中。线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。 2.1.2 矩阵初等变换的概念介绍 初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的。初等变换有三类： 1. 位置变换：矩阵的两行（列）位置交换； 2. 数乘变换：数 k 乘以矩阵某行（列）的 每个元素； 3. 消元变换：矩阵的某行（列）元素

5、同乘以数 k，然后 加到 另外一行（列）上。 3 初等矩阵： 由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵。 则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵。 1. 交换阵 E(i,j)：单位矩阵第 i 行与第 j 行位置交换而得； 2. 数乘阵 E(i(k)：数 k 乘以单位矩阵第 i 行的每个元素（其实就是主对角线的 1 变成k）； 3. 消元阵 E(ij(k)：单位矩阵的第 i 行元素乘以数 k，然后 加到 第 j 行上。 其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得。 4 2.2 线性代数的历史背景和发展 2.2.1 线性代数的发展史 由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于

6、十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到 n 维向量空间的过渡 矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点 1888 年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环 作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。 “ 代数 ” 这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成

7、“ 阿尔热巴拉 ” ，直到 1859 年，清代著名的数学家、翻译家 李善兰 才将它翻译成为 “ 代2 数学 ” ，一直沿用至今。 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 主要理论成熟于十九世纪 ，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著九章算术）。 线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位； 在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。 该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念

8、抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的； 随着科 学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。 5 2.2.2 矩阵的发展史 根据世界数学发展史记载，矩阵概念产生于 19 世纪 50 年代，是为了解线性方程组的需要而产生的。 然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。在我国的九章算术一书中已经有描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它的解决实际问题，所以没能形

9、成独立的矩阵理论。 1850 年， 英国数学家西尔维斯特（ SylveSter， 1814 1897）在研究方程的个数与未知数的个数不相同的线性方程组时，由于无法实用行列式，所以引入了矩阵的概念。 1855 年，英国数学家凯莱（ Caylag， 1821 1895）在研究线性变换下的不变量时，为了简洁，方便，引入了矩阵的概念。 1858 年，凯莱在矩阵论的研究报告中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零距阵等概念，以及利用伴随阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零距阵等结 论，定义了转置阵、对称阵，反对称阵等概念。

10、1878 年，德国数学家弗罗伯纽斯（ Frobeniws， 1849 1917）在他的论文中引入了矩阵的行列式因子，不变因子和初等因子等概念，证明了 2 个矩阵等价当且仅当它们有相3 同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义， 1879 年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念。 矩阵的理论发展非常迅速，到 19 世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到 20 世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它已经发展成为在物理，控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量的应用数学分支。 6 2.3 矩阵的初等变换 在计算行列式时，利用行列式的性质可以将给定的行列时化为上（下）三角形行列式，从而简化

11、行列式的计算， 把行列式的某些性质引用到矩阵上，会给我们研究矩阵带来很大的方便，这些性质反映到矩阵上就是矩阵的初等变换 . 定义 1 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换 : (1) 交换矩阵的两行 (交换 两行 ,记作 ); (2) 以一个非零的数 乘矩阵的某一行 (第 行乘数 ,记作 ); (3) 把矩阵的某一行的 倍加到另一行 (第 行乘 加到 行 ,记为 ). 把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义 (相应记号中把 换成 ).7 初等行变换与初等列变换统称为 初等变换 . 注 :初等变换的逆变换仍是初等变换 , 且变换类型相同 . 例如，变换 的逆变换即为其本身；变换

12、 的逆变换为 ；变换 的逆变换为 或 . 定义 2 若矩阵 经过有限次初等变换变成矩阵 , 则称矩阵 与 等价 , 记为（或 ） . 注 ：在理论表述或证明中，常用记号“ ”，在对矩阵作初等变换运算的过程中常用记号“ ” . 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质 : (1) 反身性 ; (2) 对称性 若 ,则 ; (3) 传递性 若 , ,则 . 一般地 , 称满足下列条件的矩阵为 行阶梯形矩 阵 : (1) 零行 (元素全为零的行 )位于矩阵的下方 ; (2) 各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大（或说其列标一定不小于行标） . 4 一般地 , 称满

13、足下列条件的阶梯形矩阵为 行最简形矩阵 ： (1) 各非零行的首非零元 都是 1； (2) 每个首非零元所在列的其余元素都是零 . 8 定理 1 任意一个矩阵 nmijaA 经过有限次初等变换 , 可以化为下列标准形矩阵 注 : 定理 1 的证明也实质上给出了下列结论 : 定理 2 任一矩阵 A 总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵 , 并进而化为行最简形矩阵 . 根据定理 1 的证明及初等变换的可逆性 ,有 推论 如果 A 为 n 阶可逆矩阵 , 则矩阵 A 经过有限次初等变换可化为单位矩阵 E , 即9 定义 3 对单位矩阵 E 施以一次初等变换得到矩阵称为 初等矩阵 . 三种初等变

14、换分别对应着三种初等矩阵 . (1) 的第 行 (列 )互换得到的矩阵 (2) 的第 行 (列 )乘以非零数 得到的矩阵 5 (3) 的第 行乘以数 加到第 行上 ,或 的第 列乘以数 加到第 列上得到的矩阵 10 2.5 矩阵的初等变换应用举例 2.5.1 利用初等变换求多项式的最大公因式 求多项式的最大公因式，一般采用辗转相除法和分解法，还可用初等变换的方法来求解 。 命题 1 设 1 ( ), ( ) ( )nf x f x P x，令 11( ) 0()0 ( )fxAxfx经 初 等 变 换 得1 1 111( ) ( )()( ) ( )nn n nd x d xAxd x d x

15、，其中，11( ) ( )ijd x d x， , 1,2, , ,i j n 则 1 1 1( ) ( ( ), , ( )nd x f x f x 命题 2 设 1 ( ), ( ) ( )nf x f x P x,令（其中 ()Ax 去掉第一行则为单位矩阵） 12( ) ( ) ( )1 0 0()0 0 0nf x f x f xAx经初等列变换得到， 11 1 1 111( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )inn n i n ng x g x g xc x c x c xAxc x c x c x其中 ( ) ( ) , 1, 2 , ,ijg x

16、g x j n， 则 1( ) ( ( ), , ( )ing x f x f x ， 且 1 1 1 1( ) ( ( ) ( ) , , ( ) ( ) )i n ng x c x f x c x f x 。 11 2.5.2 用矩阵的初等变换求逆矩阵 方法一 因为 11( , ) ( , )A A E E A ，所以对矩阵 ( , )AE 施行一系列初等变换将其左半部分化为单位矩阵 E ，这时其右半部分就是 1A . 6 方法二 因为 11AEAEA ，所以对矩阵 AE实行一系列初等列变换，将其上半部分化为单位矩阵 E ，这时其下半部分就是 1A . 2.5.3 用矩阵的初等变换求解矩阵

17、方程 1. 易知 AX B 型的矩阵方程解为 1X A B ，又 11( , ) ( , )A A B E A B ，所以对矩阵 ( , )AB 做一系列初等行变换，将其左半部分化为单位矩阵 E ，这时其右半部分就是 X . 2. 易知 XAB 型的矩阵方程解为 1X BA ，又 11AEAB A B ，所以对矩阵( , )AB 做一系列初等列变换，将其上半部分化为单位矩阵 E ，这时其下半部分就是 X . 12 2.5.4 用矩阵的初等变换求矩阵的秩 、 向量 组的秩 、 极大线性无关组 由于初等变换不改变矩阵的秩 ， 且任意一个 m n 矩阵 ， 均可以经过一系列初等行变换化为 m n 阶

18、梯矩阵 ;因此我们要确定一个矩阵的秩 ， 当它不是阶梯矩阵时 ， 我们可以先利用初等行变换将其化为阶梯矩阵 ， 然后就可以由阶梯矩阵的秩确定原矩阵的秩 。 例 1. 已知1 1 5 11 1 2 33 1 8 11 3 9 7A ，求 ()RA 解：213 1 3 24 1 4 2321 1 5 1 1 1 5 11 1 2 3 0 2 7 43 1 8 1 0 2 7 41 3 9 7 0 4 1 4 8rrr r r rr r r rA 12121 1 5 10 2 7 40 0 0 00 0 0 0rr31 0 1270 1 220 0 0 00 0 0 0。 因为有两个非零行向量，所以

19、 ( ) 2RA 。 注：如果我们要求向量组的秩，可把每一向量作为矩阵的列，从而转化为求矩阵的秩，还可求极大线性无关组 . 7 若求向量组 1 1,1,3,1 T ， 2 1,1, 1, 3 T ， 3 5, 2, 8, 9 T ， 4 1,3,1, 7 T 一个最大无关组，并把其余向量用 最大无关组表示 . 由前面矩阵可得该向量组的秩为 2， 1 ， 2 是一个是一个最大无关组，且可得 3 1 2 4 1 237 ,222 13 2.5.5 用矩阵的初等变换解线性方程组 将线性方程组的增广矩阵进行若干次的初等行变换 ， 化为行最简形矩阵 ， 即可很容易地求出该线性方程组解的情况 .行最简形矩

20、阵特点是 :（ 1） 非零行在矩阵的最下方 ；（ 2） 矩阵的各非零 行的第一个非零元素都等 1；（ 3） 第一个非零元素所在的列中 ， 其余元素均为零 . 例 2 求解线性方程组 1 2 3 41 2 3 41 2 3 4313 3 4 45 9 8 0x x x xx x x xx x x x 解：对方程组的增广矩阵 1 1 3 1 13 1 3 4 41 5 9 8 0B 施以初等行变换，化为行最简形矩阵 322 1 23 1 1 23 ( 4 )1 1 3 1 1 1 1 3 1 13 1 3 4 4 0 4 6 7 11 5 9 8 0 0 4 6 7 1rrr r rr r r r

21、B 3 3 5102 4 43 7 1012 4 40 0 0 0 0 。 因为 ( ) ( ) 2 4R A R B ，故方程有无穷多解 ，取 3 1 4 2,x c x c（其中 12,cc 为任意常数），则方程组的全部解为1 1 22 1 231423 3 52 4 43 7 12 4 4x c cx c cxcxc 。 14 8 2.5.6 用矩阵的初等变换求过渡矩阵 已知 1 2 3 1 2 3, , , , ,AB ，由 1 2 3 1 2 3, , , , A 可得 1 2 3 1 2 3, , , , A 又 1 2 3 1 2 3, , , , B ，所以有 11 2 3 1

22、 2 3, , , , AB ，称系数矩阵 1P A B 为从基 A 到基 B 的过渡矩阵 .因为 11( , ) ( , )A A B E A B ，所以 1( , ) ( , )AA B E A B对 实 行 一 系 列 的 初 等 变 换，当 A 化为 E 时， B 化为过渡矩阵 P . 例 3 向量 组 1 2 3(1 , 2 , 3 ) , ( 2 , 3 , 4 ) , ( 3 , 4 , 6 )T T T ，和 1 (1, ,4)T ， 2 ( 1 ,1 , 2 ) , ( 1 , 0 , 0 )TT都是 3R 的基，求由 1 2 3( , , )A 到基1 2 3( , , )

23、B 的过渡矩阵 P . 解： 2131231 2 3 1 1 1 1 2 3 1 1 1( , ) 2 3 4 2 1 0 0 1 2 4 1 23 4 6 4 2 0 0 2 3 1 1 3rrrrAB 23 2 2 31 2 1 3( 1 )2221 0 1 7 1 3 1 0 0 2 0 20 1 2 4 1 2 0 1 0 1 4 1 00 0 1 9 1 1 0 0 1 9 1 1rr r r rr r r r 所 以 基 1 2 3,A 到基 1 2 3,B 的 过 渡 矩 阵 为2 0 214 1 09 1 115 。 2.5.7 用矩阵的初等变换化二次型为标准形 对任意二次型

24、1 2 3( , , )f x x x 一定存在可逆线性替换 X CY 将其 化为标准形 .即存在可逆矩阵 C ，使 ()TC AC 对 角 矩 阵。于是构造 2nn 矩阵 AE对 A 每进行一次同种的初等变换，当矩阵 A 化为对角矩阵时，矩阵 E 将化为可逆矩阵 C.所以有TC AC 和 EC C 9 即 AEAEC 对 实 行 一 系 列 同 样 类 型 的 初 等 行 、 列 变 换对 实 行 一 系 列 同 样 类 型 的 初 等 变 换因此得到可逆矩阵 C 和对应的可逆线性替换 X CY ，在此变换下二次型1 2 3( , , )f x x x 化为标准形 . 例 4 用初等变换法将

25、下面的二次型化为标准形 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 2 4 4 4f x x x x x x x x x x x x 解：二次型 1 2 3( , , )f x x x 的矩阵为 1 2 22 2 22 2 1A 2 1 3 1 3 22 1 3 1 3 22 , 22,1 2 2 1 0 0 1 0 02 2 2 0 2 2 0 2 02 2 1 0 2 5 0 0 31 0 0 1 2 2 1 2 00 1 0 0 1 0 0 1 10 0 1 0 0 1 0 0 1c c c c c cr r r r r rAE 令 1 2 00 1 10 0

26、 1C做可逆线性代换 X CY ，则 (1 , 2 , 3 )TC A C d ia g ，二次型化为标准形 2 2 21 2 3 1 2 3( , , ) 2 3f x x x y y y 16 2.5.8 用矩阵的初等变换求标准正交基 任给 n 维欧式空间 nR 的一组基，利用施密特正交法可求出一组正交基，再单位化，求出一组标准正交基，但正交化的过程计算繁琐，其实利用矩阵的初等变换，较容易地得到相同结果 . 设 1, 2 ,i in 是 n 阶的任意一组基，以为列向量构成矩阵 ijAa，则 TAA 是一个 n 阶正定矩阵，必与单位矩阵 I 合同，即存在 n 阶矩阵 Q ，使得 TTQ A AQ E （ 1） 即 TAQ AQ E （ 2） （ 1）式表明对 TAA做一系列同样类型的初等行列变换，可将 TAA化为单位矩 （ 2）式表明 AQ 是正交矩阵，即 AQ 的列向量是 nR 的一个标准正交基，可以通过对矩阵 A 实行对矩阵 TAA实行的同样系列的初等列变换求出，即