椭圆型偏微分方程的求解及其应用[文献综述].docx

1、毕业论文文献综述 信息与计算科学 椭圆型偏微分方程的求解及其应用 一、 前言部分 微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。早在18 世纪初，人们已经将弦线振动的问题归结为弦振动方程，并开始探讨了它的解法。随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性。 有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问

2、题，这就需要求出数学物理方程中的许多特定问题的解答。随着电子计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也有可能计算出解得足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化（如天气预报）和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用 1。 许多复杂的自然现象，其运动规律、过程和状态都是通过微分方程这种数学形式来描述的。当我们研究只有一个自变量的运动过程时出现的微分方程称为常微分方程。当一个微分方程除了含有几个自变量 和未知数外，还含有未知数的偏导数时，称为偏微分方程 2-6。在偏微分方程中，偏导数自然是不可缺少的。例如： ,uua x y f x yxy（ 1.1.1） 拉普拉斯方程

3、 2223 2 2 2 0uuuu x y z （ 1.1.2） 热传导方程 222 ,uua f x t utx（ 1.1.3） 波动方程 2 222 ,u a u f t x yt （ 1.1.4） 等都是偏微分方程。其中， u 为未知数， a 为常数， ,axy 、 f 为已知函数。 偏微分方程的一般形式为 112, , , , , , , , 0nn x xF x x x u u u （ 1.1.5） 其中： F 为已知函数； 12, , , nx x x 为自变量； u 是关于这些自变量的未知数。应注意 F 中必须含有未知函数 u 的偏导数。 偏导数方程（ 1.1.5）中所含有偏导数

4、的最高阶数为该偏微分方程的阶。如（ 1.1.1）是一阶偏微分方程，方程（ 1.1.2） （ 1.1.4）是二阶偏微分方程。 如果一个偏微分方程对于未知函数及其所有偏导数都是线性的，则称之为线性偏微分方程，否则称为非线性方程。如（ 1.1.1）、（ 1.1.2）、（ 1.1.4）都是线性方程。 我们将主要研究二阶线性偏微分方程，因为它们在物理、力学和其它 自然科学以及工程技术中经常出现，常称为数学物理方程。 n 个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式为 , 1 1i j inni j x x i xi j ia u u b u c u f （ 1.1.6） 不失一般性，可以假设 ij jiaa

5、，且 ija ， ib ， c 及 f 是空间 nR 中某区域 内的函数，如果方程（ 1.1.6）中的自由项 0f ，则称方程为齐次方程，否则称为非齐次方程。 设方程（ 1.1.5）的阶数为 m ，函数 12, , , nu u x x x 在区域 nR 中具有 m 阶连续偏导数，且代入方程（ 1.1.5）后成为恒等式，则称 u 为区域 内方程 (1.1.5)的一个解。容易验证函数 2u x y ， sinv x y都是方程 222 0uuu xy （ 1.1.7） 的一个解。称方程（ 1.1.7）为二维拉普拉斯（ Laplace）方程或二维调和方程。由复变函数理论知，任何一个解析函数 fz的

6、实部和虚部都是方程（ 1.1.7）的解。 考察两个自变量的二阶线性偏微分方程 1 1 1 2 2 2 1 22x x x y y y x ya u a u a u b u b u c u f ， （ 1.1.8）其中 ija ， ib ， c ， f 都是 x ， y 的连续可微实值函数，并且 11a ， 12a ， 22a 不同时为零。 在你一点 00( , )xy 的一个领域内考察自变量变换 ( , )xy ， ( , )xy . （ 1.1.9）假设它的 Jacobi 行列式 00( , )( , ) 0( , ) xyxx xyDJ D x y ， 由隐函数存在定理知该变换是可逆的，即

7、存在逆变换 ( , )xx ， ( , )yy 。直接计算，有 x x xu u u， y y yu u u， 将其代入方程 (1.1.8)，得 * * * * * * *1 1 1 2 2 2 1 22a u a u a u b u b u c f ， （ 1.2.0） 其中 *cc ， *ff ， *ija ， *ib 可以分别用 ija ， ib 以及 和 的各阶偏导数表示。特别地 * 2 21 1 1 1 1 2 2 22xyxya a a a ， * 2 22 2 1 1 1 2 2 22xyxya a a a . （ 1.2.1） 希望选取一个变换（ 1.1.9），使方程（ 1.2

8、.0）有比方程（ 1.1.8）更简单的形式。注意到（ 1.2.1）式中的 *11a 与 *22a 有相同的形式，如果我们能够解出方程 221 1 1 2 2 220x x y ya a a （ 1.2.2） 的两个线性无关的解 1( , )xy ， 2( , )xy ，那么取 1( , )xy ， 2( , )xy ，就能保证*11 22 0aa。这样，（ 1.2.0）式就较（ 1.1.8）式大为化简。现在考察这种选取的可能性7。 我们知道关于 的一阶偏微分方程（ 1.2.2）的求解问题可以化为求下述常微分方程在 ,xy 平面上的积分曲线问题： 2211 12 2220a d y a d x

9、d y a d x . （ 1.2.3） 设 1( , )x y c 是方程（ 1.2.3）的一族积分曲线，则 1( , )z x y 就是方程（ 1.2.2）的一个解。称方程（ 1.2.3）的积分曲线为方程（ 1.1.8）的特征线，方程（ 1.2.3）有时亦称为特征方程。 偏微分方程可根据它的数学特征分为三大类型，即抛物型、双曲型、椭圆型。这三类偏微分方程描述了不同本质的物理现象，其应用是极其广泛的 8。 我们可以看到，两个自变量的二阶线性方程通过自变量的可逆变换能够化成哪种标准形，要看二次型 221 1 1 2 2 2,2Q l m a l a lm a m 的代数性质如何让来定，或者说，

10、由于 ,lm平面上的二次曲线 ,1Q l m 的性质而定。由于这个曲线可以是一个椭圆、一个双曲线或者一个抛物线，故我们相应地定义方程在一点的类型如下： 若方程（ 1.1.8）中二阶偏导数项的系数 11 12 22,a a a 在区域 中某点 00,xy 满足 122 11 22 0a a a ， 则称方程在 00,xy 为双曲型的；若在点 00,xy 满足 122 11 22 0a a a ， 则称方程在点 00,xy 为抛物型；若在点 00,xy 满足 122 11 22 0a a a ， 则称方程在点 00,xy 为椭圆型的 1。 给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。对于偏微分方程也一

11、样。换句话说，为了完全确定一个物理状态，只有相应的偏微分方程是不够的，必须给出它的初始状态和边界状态，即给出外加的特定条件，这种特定条件称为定解条件。描述初始时刻物理状态的定解条件称为初值条件或初始条件，描述边界上物理状态的条件称为边界条件或边值条件。一个方程配上定解条件就构成定解问题 7。 那么我们如何求解偏微分方程的定解问题呢？ 数学物理方程中有许多是线性方程，与其对应的已经给出很多求准确解的方法，如特征线法、分离变量法、格林函数法、积分变换法 及复变函数法等 1。 求解有界区域上的线性偏微分方程定解问题的基本方法 分离变量法。分离变量法的理论基础是 Fourier 级数展开（一个函数按照

12、某个具体的完备正交函数系展开）。 对于包含无限区域或半无限区域的偏微分方程的定解问题，经常采用积分变换法。这种方法是通过函数变换，减少泛定方程中自变量的个数，把偏微分方程问题转化为常微分方程问题，使计算大为化简。 差分法是求解偏微分方程常用的数值解法。它的基本原理是：首先，将问题离散化，用差商代替微商，将微分方程和定解条件都用代数方程来代替；然后，解这些代数方程构 成的方程组，得到定界问题的近似解 7-10。 二、 主题部分 众所周知， 17 世纪微积分创立后，常微分方程理论立刻就发展起来。即应用常微分方程于几何与力学问题的全新的计算。结果是在天体力学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，

13、而且得到了新的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程的分析的基础上作出的）。开始研究偏微分方程要晚得多。对在物理学中碰到的偏微分方程的研究在 18 世纪中叶导致了分析学的一个新分支 数学物理方程的建立。 J.达浪贝尔（ 1717-1783）、 L.欧拉（ 1707-1783）、 D.伯努利（ 1700-1782）、 J.拉格朗日（ 1736-1813）、 P.拉普拉斯（ 1749-1827）、S.泊松（ 1781-1840）、 J.傅里叶（ 1768-1830）等人的工作为这一科学分支奠定了基础。他们在考察具体地数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为 19 世纪

14、末偏微分方程一般理论发展的基础 5。 早期建立的数学物理方程有根据牛顿引力理论而推导出的描述引力势的拉普拉斯方程和泊松方程。对于建立的数学物理方程，需要作出各种附有具体条件而构成典型问题的解，然后根据实际测量结果来检验和修正相应的物理理论。通过求解数理方程，使人们对自然现象获得更深刻的认识，并能预见新的现象。 随着现代科学和技术的进步，将会不断涌现新的数学物理方程，而其产生和应用的范围已经并且更多地超出了传统的物理学、力学、天文学等领域。例如，在化学、生命科学、经济学等自然科学和社会科学各个领域，以及在资源勘探与开发、大型建筑与水利工程、金属冶 炼工程、通信工程、新能源开发、大气物理、气象预报

15、、航天工程、医疗诊断与材料无损探伤、遗传工程等广泛的工程技术各个领域都涉及到数学物理方程的理论及其重要应 45。 数值天气预报、大型水坝应力分析等许多例子，说明数值求解偏微分方程在各门学科和工程中的应用，解偏微分方程已经成为科学与工程计算的核心内容，包括一些大型的计算和很多已经成为常规的计算。为什么它在当代能发挥这样大的作用呢？第一是计算机本身有了很大的发展；第二是数值求解方程的计算方法也有了很大的发展，这两者对人们计算能力的发展都是十分重要的 9。 分离变量法是求解有界区域的初值问题最常用和最基本的一种解法。用分离变量法求解定解问题的具体步骤是 : （ 1） 设方程满足边界条件的可分离变量的

16、解 ,u x t X x T t ，从而得 5 Xx的固有值问题 000X x X xX X l和关于 Tt的常微分方程 2 0T t a T t （ 2） 解固有值问题，求出固有值 k 和 kXx后，对于每一个 k ，求出常微分方程 2 0k k kT t a T t。 （ 3） 设定解问题的解为 11, , c o s sin sink k kkk k a k a ku x t u x t A t B t xl l l 由初始条件确定 ,uxt 中所包含的待定系数。 设函数 ft在 0, 上有定义，且积分 0 stf t e dt （ si 是复参数） 在 s 的某一区域内收敛，由此积分所

17、确定的（复变）函数 0 stF s f t e dt （ 1.2.4） 称为函数 ()ft 的拉普拉斯变换，记为 ( ) ( )f t F s 也称 ()Fs 为函数 ft的象函数； ft为 ()Fs 的拉普拉斯逆变换，或称为象原函数。记为 1( ) ( )f t F s 。 用差分法（又称网络法）解偏微分方程的边值问题，其基本思想是将形式的区域、微分方程以及 边值条件离散化，转化成由有限个离散点组成的网域和定义在网域上的差分方程，即用一个有限维的差分（代数）方程近似微分方程的边值问题（本属无线维问题），称此过程为差分逼近 10，这里需要讨论的主要问题有 （ 1） 边值问题的差分逼近； （ 2

18、） 差分解得存在、唯一性和收敛性，以及误差估计； （ 3） 相应差分方程组的解法。 用差分方法解椭圆形方程是实用的且已有不同研究和应用成果 1112。 在微分学中，微商被定义为下式的极限 00l i m l i mxxy x x y xd y yd x x x 上式又可以写成 0limxy x y x xdyd x x 0l i m 2xy x x y x xdyd x x 因此，当 x 很小时，有 y x x y xdydx x 或 y x y x xdydx x 或 2y x x y x xdyd x x 这就是说，微商 dydx 用差商来代替，可以有三种形式，我们称 y x x y xd

19、ydx x 为函数 y y x 在点 x 处的“向前差商”；称 y x y x xdydx x 为“向后差商”，称 2y x x y x xdyd x x 为“中心差商”。并将它们统称为一阶差商。 下面来考虑由差商代替微商所产生的误差。设函数 y y x 时充分光滑的，由泰勒（ Taylor）公式则有 2 3 4 54 2 ! 3 ! 4 !x x xy x x y x y x x y x y x y x o x 2 3 4 54 2 ! 3 ! 4 !x x xy x x y x y x x y x y x y x o x 去掉最高阶，得到 y x x y x y x o xx y x y

20、x x y x o xx 22y x x y x x y x o xx 由此可见，选取不同的差商去代替微商， 所带来的误差也不同。用“向前差商”与“向后差商”代替微商的误差与 2x 同阶。 当 x 固定时，差商仍然是 x 的函数，所以，对这个函数还可以求它的差商。我们称一阶差商的差商为二阶差商，它可以作为二阶导数（微商）的近似值。对于二阶导数当然也可以有不同的差商去替代。一般我们用对称形式的，即向前差商的向后差商（或向后差商的向前差商）来近似二阶导数，即 y x x y x y x y x xxxyx x 22y x x y x y x xx 容易看出 222y x x y x y x x y

21、 x o xx 即误差与 2x 同阶。 对于多元函数的偏导数，类似地也可用差商近似。例如，对二元函数 ,uxy 在点 ,xy处有 ,u x x y u x yuxx ,u x y y u x yuyy 2 22, 2 , ,u x x y u x y u x x yux x 2 22, 2 , ,u x y y u x y u x y yuy y 2 1 , , , ,4u u x x y y u x x y y u x x y y u x x y yx y x y 上式不妨称为式（ 1.2.5） 将泛定方程中的偏导数用差商去代替，就得到了差分方程。下面以拉普拉斯方程为例来建立对应的差分方程。

22、 二维拉普拉斯方程为 220uuxy用式（ 1.2.5）中相应的二阶差商代入泛定方程，就得到 2, 2 , ,u x x y u x y u x x yx 2, 2 , , 0u x y y u x y u x y yy （ 1.2.6） 在式（ 1.2.6）中，涉及自变量的点共有五个点。因此，它被称为五点差分格式 3。其误差为 22o x y 2。 三、总结部分 用分离变量法求定解问题的关键是确定固有函数和运用叠加原理，这些工作之所以能够进行，就是因为泛定方程和 边界条件是线性齐次的 2。对于包含无限区域或半无限区域的问题，我们经常需要采用积分变换法。这种方法是通过函数变换，减少泛定方程中自

23、变量的个数，把偏微分方程问题转化为常微分方程问题，使计算大为简化。因此，它是工程技术中最常用的一种简捷有效地方法。用拉普拉斯变换法解边界条件为非齐次的混合问题，较分离变量法优越，因为它省去了边界条件齐次化这一步。不过，拉普拉斯逆变换一般难以计算。偏微分方程的各种定解问题，只有当方程比较简单而区域又很规则时，才能运用上述两种解法求出其精确解。工程技术中所提到的定解问题，往往不是由 于方程比较复杂就是由于区域不太规范，以致无法求出其精确解，这时可以运用差分法。只要近似程度满足实际需要，问题就得到了解决 1314。 椭圆方程描述了常定态物理现象。例如，弹性力学中的平衡问题，无粘性流体的无旋运动、亚声

24、速流及渗流问题，位势场（静电磁场和引力场等）问题，热传导中的温度分布，扩散中的浓度分布及导体中的电子密度分布问题等都可用椭圆型方程的定解问题来描述。尽管线性椭圆型方程的理论研究已经较完善了，然而对于绝大多数实际问题，因为定解区域和边值条件复杂，解析解极难寻找，所以用各种近似方法对这些实际问题进行数值研究就很有实际意义和发展前景 15。 四、参考文献 1 谷超豪，李大潜，陈恕行，郑宋穆，谭永基 .数学物理方程 M.北京： 高等教育出版社 ,2002.7. 2 查中伟 .数学物理偏微分方程 M.成都：西南交通大学出版社， 2005.2. 3 O.A.奥列尼克 著，郭思旭 译 .偏微分方程讲义（第三

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