从高考卷看函数思维的培养.DOC

1、从高考卷看函数思维的培养 2014 年浙江省高考 文科 数学卷 的感想 李悦 （ 海盐第二 高级中学 浙江海盐 314300） 随着高中段教育的普及，普通高中的生源结构发生了较大的变化，有不少学生在学习态度、学习习惯、学习方法等方面存在问题，表现为记忆习惯差，又懒得记，基本公式、定理掌握不牢固；性情浮躁，眼高手低，数学运算能力低下且不愿意主动改进；初高中教材不对接，数学知识脱节的情况相当严重，初中数学新课程降低了因式分解、分式运算、等式变形、解方程等教学 要求，削减了二元二次方程组解法、韦达定理、判别式、以及许多平面几何的重要定理，而这些知识又是高中数学学习所必需的重要基础我们查看试卷发现 2

2、014 年浙江文科试卷中的第 4、 7、 8、 9、 10、 12、 15、 17、 19、 21、 22 题，要么直接是函数题目，要么是与函数可以发生联系的题目，题型涵盖了选择、填空和解答的各个题型，难度包含了易、中、难 3个级别因此，函数思维培养日益重要， 函数意识和函数思想，是指用函数的观点、概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题当学生忘记所有数学的时候，留在他们头脑里的只有数学的思想， 所以高考试题十分重视数学思想的考查，许多题目的分析和解答都蕴含着重要的思想方法因此，要引导学生有意识地站在思想的高度分析问题解决问题，形成能力，提高数学素养，使学生具有数学的直觉、悟性、眼光 我将 将

3、结合 2014 高考试题， 谈 谈函数意识和函数思想的培养 1 夯实基础，重视基本函数的把握 高中所学过的基本初等函数有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数与对数函数、三角函数，要非常熟悉这些函数的性质，主要的性质有单调性、奇偶性、周期性、最大值与最小值、零点与定点等，要熟悉这些函数的图象及其图 象变换，能够在题目中辨别或分离，进而利用初等函数的相关知识解决问题 . 2014 年文科 15 设函数 f(x)= 22 , 0, 0x x xxx，若 f(f(a)=2，则实数 a= 分析：若 0a ，无解；若 0a ，解得 2a 。 2014 年文科 4为了得到函数 y=sin

4、3x+cos3x 的图象，可以将函数 y= 2 cos3x 的图象 A.向右平移 4 个单位 B. 向左平移 4 个单位 C. 向右平移 12 个单位 D. 向左平移 12 个单位 分析：利用二合一公式把函数合成 )43sin(2 xy ，再利用平移公式进行平移。 2014 年文科 8在同一直角坐标系中，函数 f(x)=xa(x0),g(x)=logax 的图象可能是 分析： A 没有幂函数的图像； B )0()( xxxf a 中 ,1a xaxg log)( 中 10 a 不符合题意； C )0()( xxxf a 中 10 a xaxg log)( ,1a 中不符合题意；D )0()(

5、xxxf a 中 10 a xaxg log)( 中 10 a 符合题意；故选 D 这题主要考察幂函数和对数函数的基本图像问题，但学生极易出现错误 。 2 主动出击，将含参结构视为或转化为函数的意识和能力 函数的本质就是自变量与函数值的一种对应关系，高中所学的函数多数为一种关系式所以，哪里有字母，哪里就有函数；哪里有含参结构，哪里就有函数，要让学生切实理解函数的本质概念，突破字母、 y的思维定势限制，在含有参数的结构中，选定合适的主 变量，构成一定的函数关系，再利用函数的手段和工具解决问题 . 2014 年文科 第 7题 入口宽，解题途径比较多考生 解题的切入点不同，运用的思想方法不同，便形成

6、了“投入”与“产出”的差异， 可以有效区分考生不同的思维水平。 可计算可分析角度多样，我们从 构造 函数零点的角度分析： 已知函数 f(x)= x3+ax2+bx+c，且 09 分析：设 kfff )3()2()1( ，则一元三次方程 0)( kxf 有三个根 -1，-2， -3 所以 )3)(2)(1()( xxxakxf 由于 )(xf 的最高次项的系数为 1，所以 1a ，所以 966 kc 。 2014 年文科 第 9题构造二次函数求最值 设 为两个非零向量 ba, 的夹角，已知对任意实数 t ， atb 的最小值为 1（ ） A.若 确定，则 a 唯一确定 B.若 确定，则 b 唯一

7、确定 C.若 a 确定，则 唯一确定 D.若 b 确定，则 唯一确定 分析：依题意，对任意 t ， atb 1 恒成立，所以 1c o s2)( 22 batbat 恒成立，若 为定值，则当 b 为定值时，构造的二次函数才有最值。 2014 年文科 第 10题构造函数，利用函数的奇偶性， 考查分段函数，最值及恒成立问题 如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A处进行射击训练。已知点 A到墙面的距离为 AB，某目标点 P沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P的仰角 的大小（仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角）。若 AB 15m,AC

8、=25m, BCM=30 ,则 tan的最大值是 分析：由勾股定理知， 20BC ,过点 P 作 BCPQ 交 BC 于 Q ,连接 AQ , 则AQPQtan,设 mBQ ，则， mCP 20 因为 30BCM , 所以22 2 2 520332 2 5)20(33t a nmmmm 。 所以当 0m 时取最大值341520 ， 故 tan 的最大值是 9343334 3 强化重点，加强对三次函数的研究 将导数知识引进高中后，以“导数”为工具研究函数的性质成为可能 .作为多项式函数的代表，三次函数 )0a(dcxbxax)x(f 23 已经成为中学阶段一个非常重要的函数，而利用导数研究它的图

9、象和性质也是体现导数应用的代表 .近几年来的浙江高考 ,多次以三次函数为背景进行命题 ,有创新性小题 ,有综合性大题 ,能力立意要求极为明显 .2014年高考 文科 第 21 题 考查三次函数的单调性、最值 等基础知识，同时考查学生的推理论证能力，分类讨论等综合解题的能力和创新意识 。要让学生 （ 1）使学生理解导数与函数单调性的关系，能正确求函数的导数，能正确规范解决不含参数的所有三次函数的单调性、极值最值、零点等基本问题； （ 2）通过举例画图让学生理解：“导数值等于零”仅仅是“函数取得极值”的必要条件，而不是充分条件 .可以举函数 2xy 在 0x 处作为充分性成立的例子 ,函数 3xy

10、 在 0x 处作为充分性不成立的例子； （ 3）研究一些特殊的三次函数，能快速推出相应结论，并能将结论推广为一般情况，这个研究过程和取得的成果对解题大有 帮助 . 2014 年文科 第 21题已知函数 )0(3)( 3 aaxxxf 。若 )(xf 在 1,1 上的最小值记为 )(ag 。 （ 1）求 )(ag ； （ 2）证明：当 1,1x 时，恒有 4)()( agxf 。 分析：（ 1）因为 0a ， 11 x ，所以 i 当 10 a 时，若 ax ,1 ，则 033)(,33)( 23 xxfaxxxf 故 )(xf 在 a,1 上是减函数； 若 1,ax ，则 033)(,33)(

11、 23 xxfaxxxf 故 )(xf在 1,a 上是增函数。所以 3)()( aafag ii 当 1a 时，有 ax ，则 033)(,33)( 23 xxfaxxxf ，故 )( xf 在 1,1上是减函数，所以 afag 32)1()( 。 综上 ， 1,32 10,)( 3 aaaaag （ 2）令 )()()( agxfxh ， i 当 10 a 时 3)()( aafag ，若 1,ax ， 33 33)( aaxxxh ，得33)( 2 xxh ， 则 )(xh 在 1,a 上是增函数，所以 )(xh 在 1,ax 上的最大值是334)1( aah ，且 10 a ，所以 4)

12、1( h 。 故 4)()( agxf ； 若 ax ,1 ， 33 33)( aaxxxh ，得 33)( 2 xxh ，则 )(xh 在 a,1 上是减函数，所以 )(xh 在 ax ,1 上的最大值是 332)1( aah 。 令332)( aaat ， 则 233)( aat 知 )(at 在 1,0 上是增函 数。所以 4)1()( tat ，即 4)1( h 。 故 4)()( agxf ii 当 1a 时， afag 32)1()( ，故 33)(,23)( 23 xxhxxxh ，此时)(xh 在 1,1 上是减函数，因此 )(xh 在 1,1x 上的最大值是 4)1( h 。 故4)()( agxf 综上 ， 当 1,1x 时恒有 4)()( agxf 。 “加强 函数 基础”不再是一个简单的“双基”问题了，而是一项系统工程了，它还包括初高中的衔接，良好的学习态度、学习习惯的养成，学习方法的指导 。