最小二乘法原理及应用【开题报告+文献综述+毕业论文】.Doc

1、毕业论文开题报告信息与计算科学最小二乘法原理及应用一、选题的背景和意义最小二乘法（LEASTSQUARE）历史简介1801年，意大利天文学家朱赛普皮亚齐发现第一颗小行星谷神星，经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行到太阳背后，使得皮亚齐失去谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星。但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道，奥地利天文学家海因里希奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作天体运动论通过他的历史我们可以了解到最小二乘法是一种数学优化技术。通过最小化误差的平

2、方和寻找相关数据的最优化函数的匹配。利用最小二乘法的方法可以很简便的求得我们所需要的未知数据。并使得我们所求得的数据与实际数据之间误差的平方和成为最小。最小二乘法还可以用于曲线拟合。其他一些问题也可以通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达二、国内外研究现状、发展动态发展最小二乘法的动因是天文学和测地学中处理数据的需要。陈希孺先生所著数理统计学史中记载了这样一段历史。最小二乘法在19世纪初发明后，很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计，自1805年至1864年的60年间，有关最小二乘法的研究论文达256篇，一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版，亦收

3、入有关方法的介绍。世界各国对最小二乘法的研究一直继续着。近年来，国内外专家学者对最小二乘法的研究兴趣与日俱增，他们多方位、多角度、多途径地对最小二乘法进行了广泛的拓展，取得了一系列研究成果。这些研究，既丰富了最小二乘法的内容，又完善了最小二乘法的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。三、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）最小二乘法是运筹学和统计学的重要组成部分，是应用最优化函数研究求得未知数的重要工具，是沟通已知数据与未知数据之间的桥梁，也是研究函数在某个区间内最优化的重要工具。就因为这样，很多专家学者对最小二乘法进

4、行研究。在前人研究的基础上，本文首先介绍最小二乘法的产生背景以及国内外状况，然后从最小二乘法的定义出发来研究拟合，MATLAB实现等一些相关的结论四、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）（一）研究方法利用网络、书籍，杂志等渠道收集与最小二乘法问题相关的信息资料,然后对资料加以整理分类，筛选出有用的信息。和老师同学进行讨论，运用已学的分析方法，对筛选出来的资料加以终结、归纳，为写正文作准备。（二）准备工作最小二乘法的历史是渊源的，从古至今，人们从来没有停止过最小二乘法的深入研究。很多人都会根据需要来研究最小二乘法的推广。在关于最小二乘法的研究上，我采取了先对已知最小二乘法定义了解的基础上，再根据

5、这些最小二乘法得出新的相关知识，然后就所有可用资料结论来完成对这项研究进行全面的认识而后集结成文。这次研究资源的主要取向是图书馆藏书、网上的刊物及博硕士论文，通过对资料的整理、对知识点的理解、掌握，编写而成。主要思想是在对最小二乘法理解基础上，深入研究完善系统知识并推广五、毕业论文（设计）提纲1引言11最小二乘法历史简介12最小二乘法基本概念2最小二乘法原理及拟合21最小二乘法原理22最小二乘法的直线拟合221直线拟合定义222法方程组23最小二乘法曲线拟合231非线性最小二乘法问题3MATLAB实现31MATLAB实现的意义32MATLAB实现最小二乘法的拟合321MATLAB实现之实例六、

6、主要参考文献1邹乐强，最小二乘法原理及其简单应用J河南职校论坛2010,232施吉林刘淑珍；计算机数值方法（第三版）M，北京高等教育出版社，20091031043施吉林刘淑珍；计算机数值方法（第三版）M，北京高等教育出版社，20091051064施吉林刘淑珍；计算机数值方法（第三版）M，北京高等教育出版社，20091071085高富德最小二乘法的初等证明J玉溪师专学报，1989,4126丁丽娟数值计算方法M北京北京理工大学出版社,19971271307庄楚强,吴亚森应用数理统计基础M广州华南理工大学出版社,20008罗批,郭继昌,李锵,等基于偏最小二乘回归建模的探讨J天津大学学报2002,35

7、67837869杜天玉，蔡波，王吉，陈振雄最小二乘法及其在MATLA中的应用J福建厦门10王可等基于MATLAB实现最小二乘曲线拟合J北京广播学院学报，2005,122525611王武义,徐定杰,陈键翼误差原理与数据处理M哈尔滨哈尔滨工业大学出版社,2002毕业论文文献综述信息与计算科学最小二乘法的原理及应用一、国内外状况国际统计学会第56届大会于2007年8月2229日在美丽的大西洋海滨城市、葡萄牙首都里斯本如期召开。应大会组委会的邀请，以会长李德水为团长的中国统计学会代表团一行29人注册参加了这次大会。北京市统计学会、山东省统计学会，分别组团参加了这次大会。中国统计界（不含港澳台地区）共有

8、58名代表参加了这次盛会。本届大会的特邀论文会议共涉及94个主题，每个主题一般至少有35位代表做学术演讲和讨论。通过对大会论文按研究内容进行归纳，特邀论文大致可以分为四类即数理统计，经济、社会统计和官方统计，统计教育和统计应用。数理统计方面。数理统计作为统计科学的一个重要部分，特别是随机过程和回归分析依然展现着古老理论的活力，一直受到统计界的重视并吸引着众多的研究者。本届大会也不例外。二、进展情况数理统计学19世纪的数理统计学史,就是最小二乘法向各个应用领域拓展的历史席卷了统计大部分应用的几个分支相关回归分析,方差分析和线性模型理论等,其灵魂都在于最小二乘法不少近代的统计学研究是在此法的基础上

9、衍生出来,作为其进一步发展或纠正其不足之处而采取的对策,这包括回归分析中一系列修正最小二乘法而导致的估计方法。数理统计学的发展大致可分3个时期。20世纪以前。这个时期又可分成两段，大致上可以把高斯和勒让德关于最小二乘法用于观测数据的误差分析的工作作为分界线，前段属萌芽时期，基本上没有超出描述性统计量的范围。后一阶段可算作是数理统计学的幼年阶段。首先，强调了推断的地位，而摆脱了单纯描述的性质。由于高斯等的工作揭示了最小二乘法的重要性，学者们普遍认为，在实际问题中遇见的几乎所有的连续变量，都可以满意地用最小二乘法来刻画。这种观点使关于最小二乘法得到了深入的发展，20世纪初到第二次世界大战结束。这是

10、数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期。许多重要的基本观点和方法，以及数理统计学的主要分支学科，都是在这个时期建立和发展起来的。这个时期的成就，包含了至今仍在广泛使用的大多数统计方法。在其发展中，以英国统计学家、生物学家费希尔为代表的英国学派起了主导作用。战后时期。这一时期中，数理统计学在应用和理论两方面继续获得很大的进展。三、研究方向数理统计方法在工农业生产、自然科学和技术科学以及社会经济领域中都有涉及而最小二乘法在这些领域内都有广泛的应用。我从学习最小二乘法，最小二乘法拟合，MATLAB实现，在它们的基础上加上自己得出的一些结论。以便我们更好、更清楚理解最小二乘法崇高地位。四、存在问题国家统计部

11、门的数据质量后认为，公众不喜欢枯燥的统计数字。因此，他们建议采取各种措施，加强数据生产者和使用者之间的联系。学生在学习数理统计学中的最小二乘法，要让他们了解其历史背景及学习的意义来调动学生的积极性。并且要求学生能够更好的学习重要的理论知识，五、参考依据1邹乐强，最小二乘法原理及其简单应用J河南职校论坛2010,232施吉林刘淑珍；计算机数值方法（第三版）M，北京高等教育出版社，20091031043施吉林刘淑珍；计算机数值方法（第三版）M，北京高等教育出版社，20091051064施吉林刘淑珍；计算机数值方法（第三版）M，北京高等教育出版社，20091071085高富德最小二乘法的初等证明J玉

12、溪师专学报，1989,4126丁丽娟数值计算方法M北京北京理工大学出版社,19971271307庄楚强,吴亚森应用数理统计基础M广州华南理工大学出版社,20008罗批,郭继昌,李锵,等基于偏最小二乘回归建模的探讨J天津大学学报2002,3567837869杜天玉，蔡波，王吉，陈振雄最小二乘法及其在MATLA中的应用J福建厦门10王可等基于MATLAB实现最小二乘曲线拟合J北京广播学院学报，2005,122525611王武义,徐定杰,陈键翼误差原理与数据处理M哈尔滨哈尔滨工业大学出版社,2002（20_届）本科毕业设计信息与计算科学最小二乘法原理及应用摘要本文主要对数理统计中的最小二乘法及其直线

13、和曲线拟合进行了整理归纳，并在此基础上给出了几个特殊的例子。关键词特殊最小二乘法统计量性质拟合MATLAB实现LEASTSQUAREPRINCIPLEANDAPPLICATIONABSTRACTTHISPAPERFOCESESONTHELEASTSQUAREMETHODINMATHEMATICALSTATISTICSANDTHELINEARANDCURVEFITTINGAREARRANGEDININDUCTION,ANDONTHISBASISGIVESSEVERALSPECIFICEXAMPLESKEYWORDSSPECIALLEASTSQUARESSTATISTICSPROPERTIESFI

14、TTINGMATLABCLOSE1引言最小二乘法是一种传统的参数估计方法，它早已经被大家所了解。但是很多同学对最小二乘法的认识还是很模糊，仅仅是把最小二乘法理解为简单的线性参数估计。事实上，最小二乘法在参数估计、系统辨识以及预测、预报等众多领域都有着广泛的应用。本文就最小二乘法的引入、最小二乘法原理的简单证明、最小二乘法在曲线拟合和直线拟合，还有最小二乘法的MATLAB实现。以及经济领域的模型参数估计等应用方面进行简单的阐释。本文的一些理论建立在学习过高等代数、数值分析及了解简单的经济计量学的基础上。本文的理论简明易懂，仅对现实中常见的问题用最小二乘法理论结合阐释。11最小二乘法历史简介最小二

15、乘方法最早是有高斯提出的，他用这种方法解决了天文学方面的问题，特别是确定了某些行星和彗星的天体轨迹。这类天体的椭圆轨迹由5个参数确定，原则上，只要对它的位置做5次测量就足以确定它的整个轨迹。但由于存在测量误差，由5次测量所确定的运行轨迹极不可靠，相反，要进行多次测量，用最小二乘法消除测量误差，得到有关轨迹参数的更精确的值。最小二乘法近似将几十次甚至上百次的观察所产生的高维空间问题降到了椭圆轨迹模型的五维参数空间。12最小二乘法基本概念假如想了解某个地方的月降雨量，一个月的观测当然不够，任何一个月都可能是异常晴朗或异常多雨。相反，人们应该研究几个月或至少一年甚至十年，并将所有数据加以平均。平均的

16、结果对任何一个具体的月份并不一定能完全符合，但凭直觉，这个结果所给我们的标准降雨量图形将比只研究一个月所得到的结果要准确得多。这个原理在观察和实验科学领域是通用的。它是通过多次测量消除测量误差及随机波动。木匠的格言“量两次，再下手”也正是这个常识的一个例子。在降雨的例子中，我们用一个数来代表或一定程度地近似整个测定数据的效果。更一般的，鉴于各种理论和实际的原因，常用低维来近似说明高维的对象。在下面几种工作中都可以采用这个方法，象消除误差或忽略无关细节，从干扰数据中提取信号或找出趋势，将大量数据降低到可管理的数量或用简单的近似来代替复杂函数。我们并不期望这个近似值多么精确，事实上，在许多时候它也

17、不用很精确。但尽管如此，我们还是希望它能保持对原始数据的相似之处。在线性代数领域，我们希望将一个高维空间的向量投影到低维子空间，完成这个工作的最普遍和最便于计算的方法之一就是最小二乘法。2最小二乘法原理及拟合21最小二乘法原理最小二乘法定义设有一列实验数据（XI，YI）I0,1,2,3,，N,他们大体分布在某条曲线上，通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法，找出的函数关系称为经验函数。在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。这类问题通常有两种情况一种是两个观测量X与Y之间的函数形式已知，但一些参数

18、未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是X与Y之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。后一种情况常假设X与Y之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。在我们研究两个变量X，Y之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据X1，Y1，X2，Y2XM，YM；将这些数据描绘在XY直角坐标系中，可以得到M个点，这种图形称为“散点图”，如果从图中粗略看出这些点大致散落在某直线近旁，我们认为Y与X之间近似为一线性函数，可以令这条直线方程为Y计A0A1X（1）其中A0、A1是任意实数。为建立这直线方程就要确定A0和A1，将实测值YI与利

19、用式1计算值（Y计A0A1X）的离差YIY计的平方和（YIY计最小作为“优化判据”。令YIY计（2）把式1代入式2中得YIA0A1XI（3）当YIY计平方最小时，可用函数对A0、A1求偏导数，令这两个偏导数等于零。亦即MA0XIA1YI（4）XIA0XI2A1XI,YI（5）得到的两个关于A0、A1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出A0YI/MA1XI/M（6）A1MXIYIXIYI/MXIXI（7）这时把A0、A1代入式1中，此时的式1就是我们回归的元线性方程即数学模型。22最小二乘法的直线拟合对给定数据点XI，YII0,1,，M，在取定的函数类中,求PX,使误差的平方和E2最小，E2

20、PXIYI2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点XI，YII0,1,M的距离平方和为最小的曲线YPX。求拟合函数PX的方法称为曲线拟合的最小二乘法。函数PX称为拟合函数或最小二乘解，同时也称为经验函数。直线拟合则拟合函数为YPXAXB。221最小二乘参数估计法前面最小二乘法的原理中指出，用最小二乘法估计参数时，要求观测值YI的偏差的加权平方和为最小。对于等精度观测值的直线拟合来说，由式（3）可使AANIIIXAAY1210（8）最小即对参数A（代表A0，A1）最佳估计，要求观测值YI的偏差的平方和为最小。根据式（8）的要求，应有,0211012100NIIIAANIIIXAAYXAAYA0211

21、012101NIIIAANIIIXAAYXAAYA整理后得到正规方程组,21010IIIIIIYXXAXAYXANA解正规方程组便可求得直线参数A0和A1的最佳估计值0A和1A。即2220IIIIIIIXXNYXXYXA（10）221IIIIIIXXNYXYXNA（11）222法方程组法设给定的离散点所对应的法方程组为MINOJIIJJIMIIIINYXAWYXSWAAA02021,0,求最小二乘解XS的关键是求待定参数,1,0NJAJ,即处取得极小值。将在某点,101,0NNAAAAAA由函数取极值的必要条件,1,0,0NKAK得MIIKNJIIJJINKXYXAW00,2,1,00即NJM

22、IIKIIJMIIKIIINKXYWAXXW000,2,1,0令,2,1,0,1010MMRRRRYYYFNRXXX并定义内积MIIKIIKMIIKIJIKJXYWFXXW00,于是将方程组写作在离散点的法方程。称为函数系,00XXFANNJKJKJ例题1用最小二乘法拟合下列数据表1I0123456IX00020406081012IY09192833405765解1在坐标平面上描出点（XI,YI）I0,1,2，6，2根据散点的分布情况，选用线性函数P0XA0A1X作拟合函数，故取F1X1,F2XX3建立法方程组，这里N1，M6,WI1根据法方程组相关公式MIIKIIKMIIKIJIKJXFYW

23、FFXFXFWFF00,计算得到60260160222602,1601,11820,125,643,247IIIIIIIIIIIIIIIYXWFFYWFFXWFFXWFFWFF法方程组为18201252164324247FF用直接三角分解法解得A00834,A1457从而P00834457X为所求的拟合方程。23最小二乘法的曲线拟合若F（X）是由实验或观测得到的，则其函数通常由函数表（XI,FXI）I0,1,2,M给出。有前面叙述的内容，由函数表给出函数关系通常有下列两种方法方法一，使用多项式插值方法二，三次样条插值。使用多项式插值会带来两个问题，问题之一，当所给的数值点较多时，多项式次数要高

24、，会出现数值震荡，即所谓的龙格现象；问题之二，由于数值本身带有误差，使用插值条件来确定函数关系不合理。三次样条插值克服了多项式插值的第一个缺陷，但是求三次样条插值带来了很大的计算量。曲线拟合的最小二乘方法可以克服数值震荡，同时不引起大的计算量。那么，什么是曲线拟合的最小二乘法呢对函数表在函数空间中求S（X），使MIN0022XSXFXSWXFXSWMIMIIIIIII就是曲线拟合的最小二乘法问题，其中WI是点XI处得权。这个问题的实质是F（X）为离散情形的最佳平方逼近问题。这样求连续函数的最佳平方逼近的方法可以用到曲线拟合的最小二乘法问题上来。具体做法简述如下。求SX的问题等价于求多元函数MI

25、NJIIJJNXFXAWIAAAI02010,的极小值，由去极小值的必要条件可得法方程,2,1,0,0NKFANJKJKJ其中内积（，）表示和式即MIIKIIKMIIKIJIKXXFWFXXW00J,）（由于其线性无关，可以证明法方程的系数矩阵非奇异，于是秋季法方程得到NKAAKK,2,1,0,从而得到S（X），他是存在的且唯一的，称S（X）是XF在中的最小二乘逼近函数。在实际问题中,我们常常会碰到用指数函数BXAEXS，幂函数BAXXG，或者三角函数BXAXHSIN等非线性函数拟合给定的一组数据，这时拟合函数是关于待定参数的非线性函数，按最小二乘法准则，用极值原理建立的法方程组蒋是关于待定参

26、数的非线性方程组，称这类数据拟合问题为非线性最小二乘法问题，其中某些特殊的情形可以转化为线性最小二乘法问题求解。对某些问题，同时含有线性理论的因素，这时不能将非线性问题转化为线性最小二乘法问题，而只能按最小二乘法原则，用极值原理建立法方程组。这里得到的法方程组将是关于待定参数的非线性方程组。用合适的求解非线性方程组的方法求解即可得非线性最小二乘法问题的解。下面是非线性最小二乘法问题的简单例子。例题2用函数SINBXAY拟合数据表2X0102030405060708Y0611161820191713解这是一个非线性最小二乘法问题，按照最小二乘法原理，应选取参数A，B是的表达式812SINIIIY

27、BXAI达到极小值。通过对I关于A和B求偏导，并置这些偏导数等于0得81810COSSIN20SINSIN2IIIIIIIIBXAYBXABIBXYBXAAI从上两个返程中分别解出A并置这两个值相等，得方程81818181COSSINCOSSINSINIIIIIIIIIIIIIBXBXXBXYXBXBXY再从这个方程中用非线性方程求根的数值方法（如弦截法）解出参数B。最后可以计算这个方程的任一边作为A的值。不借助计算机，上述问题得不到具体的A和B的值。用MATLAB解决此问题时，需要借助FMNSEARCH函数（求多元函数的极小值）来求281SINIIIYBXAI的极小值。具体做法分两步第一步创

28、建函数FITFUN,FITFUN实际上返回I的值；第二步用FMINSEARCH求FITFUN的极小值。最后得到所求结果为02503SIN97511XY具体的方法请参考MATLAB实现中的附录1。3MATLAB实现31MATLAB实现的意义在处理实验数据时，常用最小二乘法，通常使用计算器的统计功能来间接计算，计算量大，不但极易出现按键错误，而且不方便核查校对，耗时费力，同时也无法找出误差较大甚至错误的数据点。本文在详细给出最小二乘法的理论推导过程的基础上，针对不同类型的拟合问题，包括一般的线性问题和非线性问题，用具体实例的形式给出了如何使用MATLAB去求解它们。最小二乘法原理在很多领域都有着广

29、泛的应用，利用MATLAB求解非常方便。MATLAB是MATHWORKS公司推出的一种科学计算软件，是集数值计算、符号运算及出色的图形处理、程序语言设计等强大功能于一体的科学计算语言。用MATLAB处理实验数据仅需编写十几行几乎像通常笔算式的简练程序，运行后就可得到所需的结果。应用它既克服了最小二乘法计算量大等缺点，又使繁琐、枯燥的数值计算变成种简单、直观的可视化操作过程，且能较准确地标记实验数据点和绘出拟合曲线。32MATLAB实现之实例例题3已知某土豆种子实验中关照强度与土豆产量的统计数据如表3，求产量与关照强度之间的函数关系。表3已知该数据可能满足的原型函数为BAXY，试求出满足上面数据

30、的最小二乘解的值。首先绘出离散点图，在图1中我们用红五星代表离散点。从图形来看，离散点大致落在一条直线上，故可以用线性拟合来求出离散点问满足的关系。假设所求直线为BAXY，下面应用最小二乘法原理求出A和B。令1012IIIBAYM最小二乘法原理就是求出使M取得最小值时的A和B，如果把M看作是自变量为A和B的函数，由多元函数取最值的条件可知，上述问题可以通过求方程组X01020304050607080910Y232012647029070328853600839090421474519148232512750,0,BAMBBAMA的解来解决，即令1011010202IIIIIIIBAXYBMXB

31、AXYAM根据初始数据整理得A313,B201因此拟合曲线为012133XY上述解题过程在MATLAB环境下，可以直接使用POLYFIT函数实现，具体的命令格式为X01，02，03，04，O5，06，07，08，09，10Y23201，26470，29070，32885，36008，39090，42147，45191，48232，51275PPOLYFITX,Y,1其中POLYFIT函数中的输入参数L表示采用一次多项式方式拟合，即线性拟合。输出参数P是一个L2的行向量，其中P1是X的系数，P2是常数项。例题4对某日隔两小时测一次气温，设时间为TI,气温为CI,I0,2,424数据如下表4TI0

32、24681012141618202224CI15141416202328272625221816分析用精确的解析式子描述一天的气温变化规律是不可能的也是没有必要的，但根据所测得的数据，可以用拟合数据方法求出近似的解析式子。根据一天内气温的变化趋势，我们可以看出用三次多项式拟合比较合理。其图形如下X024681012141618202224Y15141416202326272625221816PLOTX,Y,OGRIDONHOLDONPPOLYFITX,Y,3X1000124Y1POLYVALP,X1PLOTX1,Y1,RAXIS0241228此图的图形可以大致反映该天的天气变化，如果想知道某一

33、时刻的大致温度，我们可以从图中估计出来，当然也可以利用我们所做数据拟合的曲线方程求出大致的温度。在上面的程序中，运行后会得到P的值，即为多项式的系数，由高次向低排列。如本题想要得到17点的大致温度，我们可以利用POLYVAL函数，它是求多项式在某一点处的函数值，其格式为YPOLYVALP,X式中，P是多项式的系数，Y是拟合多项式在点X处的值。在本例题中求得P00061,01474,00246,137390,即拟合的曲线方程为PX00061X301474X200246X137390，所以在17点的温度可以这样求得Y17000610147400246137390,15,求得Y172595014小结

34、本章论文主要介绍了应用较为广泛的最小二乘法，首先简单的介绍了最小二乘法的历史简介和基本概念，是同学们在学校最小二乘法是能够对其有一个初步的了解。接着给出最小二乘法的原理，同时对最小二乘法中重要的部分最小二乘法拟合做一个详细的阐述和证明，通过列举一些生活中常见的例子是同学能够深入的了解最小二乘法在生活中的重要作用。最后则是对最小二乘法问题进行另外一种方法处理MATLAB实现。通过MATLAB软件对最小二乘法问题进行求解，这样可以很简便的处理一些特殊的最小二乘法问题。参考文献1邹乐强，最小二乘法原理及其简单应用J河南职校论坛2010,232施吉林刘淑珍；计算机数值方法（第三版）M，北京高等教育出版

35、社，20091031043施吉林刘淑珍；计算机数值方法（第三版）M，北京高等教育出版社，20091051064施吉林刘淑珍；计算机数值方法（第三版）M，北京高等教育出版社，20091071085高富德最小二乘法的初等证明J玉溪师专学报，1989,4126丁丽娟数值计算方法M北京北京理工大学出版社,19971271307庄楚强,吴亚森应用数理统计基础M广州华南理工大学出版社,20008罗批,郭继昌,李锵,等基于偏最小二乘回归建模的探讨J天津大学学报2002,3567837869杜天玉，蔡波，王吉，陈振雄最小二乘法及其在MATLA中的应用J福建厦门10王可等基于MATLAB实现最小二乘曲线拟合J北

36、京广播学院学报，2005,122525611王武义,徐定杰,陈键翼误差原理与数据处理M哈尔滨哈尔滨工业大学出版社,2002附录1对于前面一节中例2进行MATLAB实现求解过程如下FMINSEARCH函数的使用方法如下XMIN,VALUE,FLAG,OUTPUTFMINSEARCHF,XO其中F是向量参数X的标量函数，XO是搜索开始的向量。输出参数有4个最小值出现的点XMIN，在最小值点的函数值VALUE，一个表明运行成功的标志符FLAG，以及一个算法统计结构OUTPUT。函数FITFUN以向量（A，BT作为自变量，以计算的X和Y值为参数值，返回误差。FUNCTIONERR，A,BNLFITX,YIFNARGINNLFITTHENONLINEARLEASTSQUAREFITTINGYASINBXFORDATA01020304050607080611161820191713ISY19751SIN30250X