1、知识点5-向量组的最大无关组,向量组秩的定义及求法,2.,最大线性无关组的定义,1.,线性相关与线性无关,定义,则称向量组 A 是线性相关的，否则,称它线性无关,给定向量组 A：,如果存在不全为零的数,使,对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关.,如果有,一、最大线性无关组,验证,解：,向量组的最大无关组不是唯一的.,都是最大无关组吗？,解：,是线性无关的,是线性相关的，,每组向量加一个向量后就线性相关，,它们都是最大无关组.,所以不是最大无关组.,在向量组,中，,1. 若向量组A本身线性无关，则A 就是其一个最 大无关组；,2.全由零向量组成的向量组，没有最大无关组；,注,3.向量组的任一
2、向量能由它的最大无关组线性表示.,定义：向量组的最大无关组所含向量的个数称为向量组的秩,二、向量组的秩及求法,则该向量组的秩为r.,定理1：向量组与其任何一个最大无关组是等价的;,证明 :设向量组A的秩为r, A的一个最大无关组为,(1) A1中的向量都是A中的向量,所以A1可由A 线性表示；,(2) 任意 ,当 时, 可由线性A1表示；,当 时, 线性相关, 而,线性无关, 可由A1线性表示.,故A可由A1线性表示因此 A与A1等价,定理1：向量组与其任何一个最大无关组是等价的;,推论1：向量组的任意两个最大无关组间是等价的;,推论2：向量组的任意两个最大无关组含有向量的个数相同;,例1 已
3、知,求,的最大无关组及向量组的秩.,解,是最大无关组.,向量组 的秩,即为矩阵 的秩,性质1:,是最大无关组.,等于最大无关组的向量的个数。,向量组的秩是3.,组中任意s+1个向量（如果有）必线性相关,是一个最大无关组.,是线性相关.,一般取阶梯头所在的列作为一个最大无关组.,求最大无关组的步骤：,将A只用初等行变换化为阶梯形矩阵B.,是它的一个最大无关组.,一般取阶梯头所在的列作为一个最大无关组.,2.求出B的秩，如,解,例2 已知向量组A：,求A的一个最大无关组及向量组的秩.,是一个最大无关组.,个维列向量.,三、向量组的秩和对应矩阵秩的关系,第个列向量记作,个维行向量.,按行分块,按列分
4、块,第个行向量记作,这两个向量组都来源于同一个矩阵A;不同的是来自于两种不同的分块方法.,定义:矩阵A按行分块得到行向量组的秩称为A的行秩， 按列分块得到列向量组的秩称为A的列秩。,证明:设,则A的行秩=A的列秩=向量组的秩.,定理2:设,A的列秩,有性质知，,则A的行秩=A的列秩=向量组的秩.,AT的列秩,A的行秩=,An是可逆矩阵,A的行向量组是线性无关,A的列（行）向量组中有r 个列（行）向量线性无关，,且任意r+1个（如果有）列（行）向量均线性相关.,推论:,A的列向量组是线性无关,例3 设A是5*3的矩阵，且R(A)=3，下述4个命题中,（A）A的3个列向量必线性无关。（B）A的5个
5、行向量必线性相关。（C）A的任意3个行向量必线性无关。（D）A的行向量中有3个行向量是线性无关的。,不正确的是（ ）,解： 由 R(A)=3 知，,而A的列向量只有3个，,所以，A的3个列向量必然线性无关，,所以，A的列秩=3，,故（A）正确。,例3 设A是5*3的矩阵，且R(A)=3，下述4个命题中,（A）A的3个列向量必线性无关。（B）A的5个行向量必线性相关。（C）A的任意3个行向量必线性无关。（D）A的行向量中有3个行向量是线性无关的。,不正确的是（ ）,解： 由 R(A)=3 知，,而A的行向量有5个，,A的5个行向量必然线性相关，,所以，A的行秩=3，,故（B）正确。,例3 设A是5*3的矩阵，且R(A)=3，下述4个命题中,（A）A的3个列向量必线性无关。（B）A的5个行向量必线性相关。（C）A的任意3个行向量必线性无关。（D）A的行向量中有3个行向量是线性无关的。,不正确的是（ ）,解： 由 R(A)=3 知，,A的行向量中有3行向量是线性无关的,由A的行秩为3知,故(D)正确.,显然（C）不正确.,最大无关组的定义及向量组秩的定义,矩阵的秩向量组的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩,将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换,小 结,矩阵的秩与向量组的秩的关系：,3最大无关组的求法：,一般取阶梯头所在的列作为一个最大无关组.,
