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4 对称矩阵的相似矩阵,定理5 对称矩阵的特征值为实数.,证 设复数 为对称矩阵 A 的特征值 , 复向量 x 为 对应的特征向量,即Ax = x , x0 。,两式相减,得,是实系数方程组,由,知必有实的基础解 系,所以对应的特征向量可以取实向量.,定理6,证,定理7 设 A为 n阶对称矩阵,是A的特征方程的r重根,则矩阵A E的秩R(AE)=nr,从而对应特征值恰有r个线性无关的特征向量.,定理8 设A为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，使 P-1AP= 其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.,证 设 A的互不相等的特征值为,它们的重数依次为,根据定理5及定理7知,对应特征值,把它们施密特标准正交化,知这样的特征向量共可得n个.,按定理6知对应于不同特征值的特征向量正交,故这 n个单位特征向量两两正交 。于是以它们为列向量构成正交矩阵P,并有,例1 设,解 由|AE| = 0 , 求 A 的全部特征值.,
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