1、第四部分 常微分方程,微分方程是与高等数学微积分(微分 + 积分)密切相关的一个内容, 在很多问题的讨论中都会遇到. 学习这部分内容, 是想让大家对高等数学的微积分有更深入的了解. 微分方程的内容相当丰富, 我们只要求大家能理解微分方程的有关概念, 会求解简单的一阶微分方程.,学习任务一 微分方程的基本概念,1. 什么是微分方程？例(微分方程问题) 设曲线通过点(2, 1)且在曲线上任意(x, y)点的切线斜率为2x，求曲线的方程. Solution 设曲线方程为y =f(x).,根据题意知,这就是一个微分方程,它里面含有自变量x，含有未知函数y(x),更关键的是含有未知函数的导数.,微分方程
2、的定义 将含有自变量x, 含有未知函数y(x), 更关键的是含有未知函数的导数的方程称为微分方程.在中学知道, 含有未知量的等式称为方程. 微分方程中当然含有未知量, 与以前的方程不同, 微分方程含有自变量x、含有因变量(即未知函数)y. 之所以称为微分方程是因为它里面含有未知函数的导数.,所谓求解微分方程, 就是要将y是x的怎样的函数全部求出来, 当然不是求x等于多少、y等于多少. 例如, 因为 , 由于所以其中C为任意常数.,2. 什么是微分方程的阶、微分方程的阶、微分方程的初始条件？(1) 微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数就是该微分方程的阶. 微分方程是按未知函数的导数的最高阶
3、数进行划分的，不同阶数的微分方程求解的方法也很不相同.微分方程 是一阶微分方程. 又如 、 、 等都是一阶微分方程.,还需注意, 微分方程 可以写成 也可以写成 dy = 2x dx, 也就是说dy = 2x dx是一阶微分方程. 类似地, 2xydy + (x2 + y2)dx = 0也是一阶微分方程. 在微分方程中, 由于导数的最高阶是2, 因此它是二阶微分方程. 只要求大家会求解一阶微分方程.,(2) 满足微分方程的任何函数都是该微分方程的解. 例如, 对于微分方程 来说, 由于 , 所以y = x2 + 3是微分方程的解. 同理, 对于任意常数C, 由于 , 所以y = x2 + C是
4、微分方程的解. 因为 , 因此y = 4x2 + 3不是微分方程的解.,对于微分方程ydy + xdx = 0, 由方程x2 + y2 = 2所确定的隐函数y = y(x)的导数 进而ydy + xdx = 0, 于是由方程x2 + y2 = 2所确定的隐函数y = y(x)是微分方程ydy + xdx = 0的解, 有时侯直接说x2 + y2 = 2是微分方程的解. 类似地, 对于任意常数C, x2 + y2 = C也是微分方程ydy + xdx = 0的解.,一般来说, 一个微分方程有无穷多个解. 我们将不含任意常数的解称为微分方程的特解. 对于n阶微分方程来说，将含n个(独立)任意常数的
5、解称为该微分方程的通解. 通解的意思是, 可能除有限多个特解外, 其余所有的解都具有同样的形式, 只是任意常数的取值不同而已. 对于微分方程 , y = x2 + C是微分方程的通解, 而y = x2 - 3是微分方程的特解.,对于微分方程ydy + xdx = 0, x2 + y2 = C也是微分方程的通解, x2 + y2 = 2是微分方程的特解. 对于微分方程通解：特解：y = 0.,(3) 一般来说, 确定出通解中任意常数所给出的条件称为微分方程的初始条件. 一般来说, 一阶微分方程的初始条件是 意思是对于所求的函数y(x)当x取x0时, y取y0. 例如, 在前面的例子中, 已知曲线通过点(2, 1), 意味着当x取2时, y取1, 它就是初始条件, 可以写成,更具体地说, 当有了初始条件后, 将其代入微分方程 的通解y = x2 + C中, 即1 = 22 + C, 可得出C = -3, 于是满足初始条件 的特解为y = x2 - 3.,二阶微分方程的初始条件是意思是对于所求的函数y = y(x)当x取x0时，y取y0；当x取x0时，函数y = y(x)的导数取,
